华东师大版七年级数学上册举一反三专题2.2相反数、绝对值【十大题型】(原卷版+解析)

专题2.2相反数、绝对值【十大题型】【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1相反数与绝对值的概念辨析】 1【题型2相反数的几何意义的应用】 2【题型3绝对值非负性的应用】 2【题型4化简多重符号】 3【题型5化简绝对值】 3【题型6利用相反数的性质求值】 4【题型7解绝对值方程】 4【题型8绝对值几何意义的应用】 4【题型9有理数的大小比较】 5【题型10应用绝对值解决实际问题】 6【知识点1相反数与绝对值】相反数：1.概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.2.性质：若a与b互为相反数，那么a+b=0.绝对值：1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a.2.性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【题型1相反数与绝对值的概念辨析】【例1】（2023秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）与-4的和为0的数是（

）A．14 B．4 C．-4 D．【变式1-1】（2023·江苏·七年级假期作业）将符号语言“|a|=a(a≥0)”转化为文字表达，正确的是（

）A．一个数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0【变式1-2】（2023·江苏·七年级假期作业）下列各对数中，互为相反数的是（）A．−+1和+−1 B．−C．−+1和−1 D．+−1【变式1-3】（2023秋·江苏盐城·七年级江苏省响水中学阶段练习）绝对值小于2016的所有的整数的和________．【题型2相反数的几何意义的应用】【例2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？【变式2-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（

）A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定【变式2-2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，已知a，b均为有理数，且a+b=0，则它们在数轴上的位置不可能落在(

)A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段BD上 D．线段AD上【变式2-3】（2023秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）用“⇒”与“⇐”表示一种法则：（a⇒b）＝﹣b，（a⇐b）＝﹣a，如（2⇒3）＝﹣3，则（2023⇒2018）⇐（2023⇒2015）＝__________【题型3绝对值非负性的应用】【例3】（2023秋·云南昭通·七年级校考阶段练习）已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，求a+b的值.【变式3-1】（2023秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）对于任意有理数a，下列式子中取值不可能为0的是（

）A．a+1 B．−1+a C．a+1 【变式3-2】（2023秋·山东潍坊·七年级统考期中）若a−1+b+2=0【变式3-3】（2023秋·七年级课时练习）对于任意有理数m，当m为何值时，5−|m−3|【题型4化简多重符号】【例4】（2023秋·全国·七年级专题练习）化简下列各数：(1)−−23=________；(2)【变式4-1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列化简正确的是（

）A．+−6=6 C．−−9=−9 【变式4-2】（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）在−+2.5，−−2.5，+−2.5，+A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-3】（2023·全国·七年级假期作业）化简下列各式的符号：（1）﹣（＋4）；（2）＋（﹣37（3）﹣[﹣（﹣32（4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}．化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？【题型5化简绝对值】【例5】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简b+c+

【变式5-1】（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期中）如果m=n，那么m，A．相等 B．互为相反数 C．都是0 D．互为相反数或相等【变式5-2】（2023·浙江·七年级假期作业）化简：(1)|−(+7)|；(2)−|−8|；【变式5-3】（2023·全国·七年级假期作业）求下列各数的绝对值：(1)−38；(2)0.15；(3)aa<0(4)3bb>0【题型6利用相反数的性质求值】【例6】（2023·全国·七年级专题练习）已知－213的相反数是x，－5的相反数是y，z的相反数是0，求x＋y＋z【变式6-1】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期中）在数轴上表示整数a、b、c、d的点如图所示，且a+b=0，则c+d的值是________．

【变式6-2】（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）若a+b=0，则ab的值是(

A．−1 B．0 C．无意义 D．−1或无意义【变式6-3】（2023秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知a，b互为相反数，则a+2a+3a+⋯+49a+50a+50b+49b+⋯+3b+2b+b=________．【题型7解绝对值方程】【例7】（2023秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）若|−m|=|−12|，则mA．±2 B．−12或12 C．1【变式7-1】（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）如果x−2=2，那么x是（

A．4 B．-4 C．±2 D．±4【变式7-2】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期中））已知a+1=2,2b−1=7,a<b,【变式7-3】（2023秋·江苏·七年级专题练习）解方程：3x−x【题型8绝对值几何意义的应用】【例8】（2023秋·全国·七年级专题练习）x−1+x−2+A．1 B．1010 C．1021110 D．2020【变式8-1】（2023秋·七年级单元测试）小亮把中山路表示成一条数轴，如图所示，把路边几座建筑的位置用数轴上的点，其中火车站的位置记为原点，正东方向为数轴正方向，公交车的1站地为1个单位长度（假设每两站之间距离相同）回答下列问题：(1)到火车站的距离等于2站地的是和．(2)到劝业场的距离等于2站地的是和．(3)在数轴上，到表示1的点的距离等于2的点有个，表示的数是．(4)如果用a表示图中数轴上的点，那么a表示该点到火车站的距离，当a=2时，a=2或−2．请你结合图形解释等式a−1=2表达的几何意义，并求出当a−1=2【变式8-2】（2023春·浙江·七年级期末）方程x+x−2022=A．1010 B．1011 C．1012 D．2022【变式8-3】（2023秋·七年级单元测试）阅读材料：因为x=x−0，所以x的几何意义可解释为数轴上表示数x的点与表示数0的点之间的距离．这个结论可推广为：x1−x(1)等式x−2=3的几何意义是什么？这里x(2)等式x−4=x−5的几何意义是什么？这里(3)式子x−1+【题型9有理数的大小比较】【例9】（2023·湖北孝感·七年级统考期中））在1，−2，0，32这四个数中，绝对值最小的数是（

A．1 B．−2 C．0 D．3【变式9-1】（2023秋·广东河源·七年级校考开学考试）已知下列有理数，在数轴上表示下列各数，并按原数从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．−5，+3，−−3.5，0，−−2【变式9-2】（2023·浙江·七年级假期作业）（1）试用“<”“>”或“=”填空：①|+6|−|+5||(+6)−(+5)|；②|−6|−|−5||(−6)−(−5)|；③|+6|−|−5||(+6)−(−5)|；（2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数a、b的差的绝对值与它们的绝对值的差的大小关系为|a|−|b||a−b|；（3）请问，当a、b满足什么条件时，|a|−|b|=|a−b|？【变式9-3】（2023秋·湖北黄冈·七年级统考期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列关系正确的是（

）A．|a|＞|b| B．a＞﹣b C．b＜﹣a D．﹣a=b【题型10应用绝对值解决实际问题】【例10】（2023·浙江·七年级假期作业）某汽车配件厂生产一批圆形的零件，现从中抽取6件进行检查，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下表：123456+0.5−0.3+0.10−0.1+0.2(1)找出哪件零件的质量相对好一些？(2)若规定与标准直径相差不大于0.2毫米的产品为合格产品；则这6件产品中有哪些产品不合格？【变式10-1】（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，为了检测4个足球质量，规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．下列选项中最接近标准的是（）A． B． C． D．【变式10-2】（2023秋·山东济南·七年级校考阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是_____．威化咸味甜味酥脆＋10（g）－8.5（g）＋5（g）－7.3（g）【变式10-3】（2023秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）已知零件的标准直径是100mm序号12345直径（mm）+0.10−0.15+0.20−0.05+0.25（1）指出哪件样品的直径最符合要求；（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18~0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22专题2.2相反数、绝对值【十大题型】【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1相反数与绝对值的概念辨析】 1【题型2相反数的几何意义的应用】 3【题型3绝对值非负性的应用】 5【题型4化简多重符号】 6【题型5化简绝对值】 8【题型6利用相反数的性质求值】 10【题型7解绝对值方程】 11【题型8绝对值几何意义的应用】 13【题型9有理数的大小比较】 16【题型10应用绝对值解决实际问题】 18【知识点1相反数与绝对值】相反数：1.概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.2.性质：若a与b互为相反数，那么a+b=0.绝对值：1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a.2.性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【题型1相反数与绝对值的概念辨析】【例1】（2023秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）与-4的和为0的数是（

）A．14 B．4 C．-4 D．【答案】B【分析】与-4的和为0的数，就是-4的相反数4．【详解】解：与-4的和为0的数，就是求出-4的相反数4，故选：B．【点睛】此题考查相反数的意义，掌握互为相反数的两个数的和为0的性质是解决问题的基础．【变式1-1】（2023·江苏·七年级假期作业）将符号语言“|a|=a(a≥0)”转化为文字表达，正确的是（

）A．一个数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0【答案】C【分析】根据绝对值的含义及绝对值的性质逐项判断即可解答．【详解】解：∵一个非负数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，∴A项不符合题意；∵a≥0，表示的是非负数的绝对值，不是负数的绝对值，∴B不符合题意；∵一个非负数的绝对值等于它本身，∴C符合题意；∵a≥0，表述的是非负数的绝对值，不只是0的绝对值，∴选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的含义及绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023·江苏·七年级假期作业）下列各对数中，互为相反数的是（）A．−+1和+−1 B．−C．−+1和−1 D．+−1【答案】B【分析】先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可．【详解】解：A、−+1=−1，B、−−1=1，C、−+1D、+−1故选：B．【点睛】本题主要考查了相反数．先化简再求值是解题的关键．【变式1-3】（2023秋·江苏盐城·七年级江苏省响水中学阶段练习）绝对值小于2016的所有的整数的和________．【答案】0【详解】绝对值小于2016的所有整数为：−2015，…，0，1，…，2015，故-2015+(-2014)+(-2013)+…+2013+2014+2015=(-2015+2015)+(-2014+2014)+(-2013+2013)+…+(-1+1)+0=0；故答案为0.点睛：由于数比较多，不可能挨个求和，故考虑用“互为相反数的两个数的和等于0”这个性质.【题型2相反数的几何意义的应用】【例2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？【答案】(1)-1(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；（2）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．【详解】（1）由点A、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，故点C表示的数是-1．（2）由点D、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，故点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5．【点睛】本题考查了相反数的定义和数轴，解题的关键是根据题意找出原点的位置．【变式2-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（

）A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定【答案】B【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出点A表示的数即可.【详解】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点B表示的数为6，∴点A表示的数为﹣6，故选：B.【点睛】此题考查数轴与有理数，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键.【变式2-2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，已知a，b均为有理数，且a+b=0，则它们在数轴上的位置不可能落在(

)A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段BD上 D．线段AD上【答案】A【分析】根据相反数的性质，数轴的定义可知，a,b位于原点两侧，据此即可求解．【详解】解：∵a，b均为有理数，且a+b=0，∴a,b位于原点两侧，∴a,b在数轴上的位置不可能落在线段AB上，故选：A．【点睛】本题考查了相反数的性质，数轴的定义，数形结合是解题的关键．【变式2-3】（2023秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）用“⇒”与“⇐”表示一种法则：（a⇒b）＝﹣b，（a⇐b）＝﹣a，如（2⇒3）＝﹣3，则（2023⇒2018）⇐（2023⇒2015）＝__________【答案】2018．【分析】根据题意，（a⇒b）=-b，（a⇐b）=-a，可知（2023⇒2018）=-2018，（2023⇒2015）=-2015，再计算（-2018⇐-2015）即可．【详解】解：∵（a⇒b）=-b，（a⇐b）=-a，∴（2023⇒2018）⇐（2023⇒2015）=（-2018⇐-2015）=2018．故答案为：2018．【点睛】本题这是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律．【题型3绝对值非负性的应用】【例3】（2023秋·云南昭通·七年级校考阶段练习）已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，求a+b的值.【答案】5.【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列非常求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】∵|a-2|与|b-3|互为相反数，∴|a-2|+|b-3|=0，∴a-2=0，b-3=0，解得a=2，b=3，所以，a+b=2+3=5．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式3-1】（2023秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）对于任意有理数a，下列式子中取值不可能为0的是（

）A．a+1 B．−1+a C．a+1 【答案】C【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．【详解】解：A．当a=−1时，a+1=0，则a+1=0B．当a=−1时，−1+a=1−1=0C．a≥0，则aD．当a=±1时，−1+a故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负数．【变式3-2】（2023秋·山东潍坊·七年级统考期中）若a−1+b+2=0【答案】3【分析】根据绝对值的非负性求解即可．【详解】解：∵a−1+∴a−1=0，解得：a=1，故a+−b【点睛】本题考查了绝对值的非负性，准确的计算是解决本题的关键．【变式3-3】（2023秋·七年级课时练习）对于任意有理数m，当m为何值时，5−|m−3|【答案】5【分析】根据绝对值的非负性得到|m−3|≥0，得到当m=3时，|m−3|最小，代入求解即可；【详解】解：由绝对值都是非负数，得|m−3|≥0．当m=3时，|m−3|最小，最小值为0，此时5−|m−3|【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用，准确计算是解题的关键．【题型4化简多重符号】【例4】（2023秋·全国·七年级专题练习）化简下列各数：(1)−−23=________；(2)【答案】23−4【分析】根据多重符合化简的法则，化简结果的符合由符号的个数决定，确定符号后可得结果．【详解】解：−−−+−{+[−(+3)]}=3，故答案为：23，−45【点睛】本题考查了化简多重符号，多重符号的化简是由“−”的个数来定，若“−”个数为偶数个时，化简结果为正；若“−”个数为奇数个时，化简结果为负．【变式4-1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列化简正确的是（

）A．+−6=6 C．−−9=−9 【答案】B【分析】根据化简多重符号的方法逐项判断即可求解．【详解】解：A.+−6B.−−8C.−−9D.−+故选：B．【点睛】本题考查有理数的多重符合化简，化简多重符号就是看数字前负号的个数，如果负号的个数是奇数个则最终符号为负号，如果负号个数为偶数个则最终符号为正号．【变式4-2】（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）在−+2.5，−−2.5，+−2.5，+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据多重符号化简原则逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：∵−+2.5=−2.5，−−2.5=2.25，∴正数的个数是2个，故选B．【点睛】本题考查了多重符号化简，解题关键是掌握多重符号化简的原则：若一个数前有多重符号，则看该数前面的符号中，符号“−”的个数来决定，即奇数个符号则该数为负数，偶数个符号，则该数为正数．【变式4-3】（2023·全国·七年级假期作业）化简下列各式的符号：（1）﹣（＋4）；（2）＋（﹣37（3）﹣[﹣（﹣32（4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}．化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？【答案】（1）-4；（2）−37；（3）【分析】根据已知数据结合去括号的法则化简各数，进而得出结果的符号与原式中的“-”号的个数的关系．【详解】解：（1）﹣（+4）＝﹣4；（2）+(−3（3）﹣[﹣（﹣325）]＝﹣（4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}＝π．最后结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，如果一个数是正数，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数．【点睛】本题考查了相反数的意义，正确发现数字变化规律是解题的关键．【题型5化简绝对值】【例5】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简b+c+

【答案】a−b−2c【分析】先由数轴判断a，b，c与0的大小关系，其中a>0,b<0,c<【详解】解：∵a>∴b+c<0，∴b+c故答案为：a−b−2c．【点睛】本题主要考查了数轴上的点以及绝对值的意义，其中正确掌握正负数的绝对值是解题的关键．【变式5-1】（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期中）如果m=n，那么m，A．相等 B．互为相反数 C．都是0 D．互为相反数或相等【答案】D【分析】利用绝对值的代数意义化简即可得到m与n的关系．【详解】解：∵m=∴m=n或故选：D．【点睛】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．【变式5-2】（2023·浙江·七年级假期作业）化简：(1)|−(+7)|；(2)−|−8|；【答案】(1)7(2)−8【分析】（1）先化简括号的符号，然后再根据绝对值的性质化简即可；（2）直接化简绝对值即可．【详解】（1）解：−==7（2）−|−8|=−8．【点睛】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．【变式5-3】（2023·全国·七年级假期作业）求下列各数的绝对值：(1)−38；(2)0.15；(3)aa<0(4)3bb>0【答案】(1)38(2)0.15(3)−a(4)3b【分析】根据正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数即可求解．【详解】（1）|−38|=38；（2）0.15=0.15（3）∵a<0，∴a=−a（4）∵b>0，∴3b>0，∴3b【点睛】本题考查了绝对值的性质，准确把握“正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数”是解题的关键．【题型6利用相反数的性质求值】【例6】（2023·全国·七年级专题练习）已知－213的相反数是x，－5的相反数是y，z的相反数是0，求x＋y＋z【答案】－71【分析】根据相反数的概念求出x，y，z的值，代入x+y+z即可得到结果．【详解】解：∵－213的相反数是x，－5的相反数是y，z∴x=213，y=5，z∴x+y+z=213+5+0=71∴x+y+z的相反数是－713【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键．【变式6-1】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期中）在数轴上表示整数a、b、c、d的点如图所示，且a+b=0，则c+d的值是________．

【答案】−4．【分析】根据题意先确定原点的位置，然后得到c、d表示的数，再进行计算即可．【详解】解：∵a+b=0，∴a与b互为相反数，由数轴可知，如图：

∴a=−2，b=2，c=−8，d=4，∴c+d=−8+4=−4；故答案为：−4．【点睛】本题考查了数轴的定义，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．【变式6-2】（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）若a+b=0，则ab的值是(

A．−1 B．0 C．无意义 D．−1或无意义【答案】D【分析】分b=0，b≠0两种情形计算即可．【详解】当b≠0时，∵a+b=0，∴a=−b，∴ab当b=0时，∵a+b=0，∴a=0，∴ab∴ab的值是−1故选D．【点睛】本题考查了相反数的意义，及其商的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．【变式6-3】（2023秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知a，b互为相反数，则a+2a+3a+⋯+49a+50a+50b+49b+⋯+3b+2b+b=________．【答案】0【分析】根据相反数的概念，得到a+b=0，继而可得出答案．【详解】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0.∴a+2a+3a+==0．故答案为：0．【点睛】本题考查了相反数的概念，属于基础题，注意掌握相反数的概念是关键．【题型7解绝对值方程】【例7】（2023秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）若|−m|=|−12|，则mA．±2 B．−12或12 C．1【答案】B【分析】根据绝对值的性质，进行化简求解即可．【详解】解：|−m|=|−|−m|=1∴m=±1故选：B．【点睛】本题考查了绝对值方程问题，解题的关键是掌握绝对值化简的性质，正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数．【变式7-1】（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）如果x−2=2，那么x是（

A．4 B．-4 C．±2 D．±4【答案】D【分析】根据绝对值意义进行解答即可．【详解】解：∵x−2=2∴x∴x=±4，故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值表示该数在数轴表示的点距原点的距离．【变式7-2】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期中））已知a+1=2,2b−1=7,a<b,【答案】5或7【分析】根据绝对值的意义以及a与b的关系求出a和b的值，代入计算即可．【详解】解：∵a+1∴a=1或-3，b=4或-3，∵a<b，∴a=1，b=4，或a=-3，b=4，a+【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握已知一个数的绝对值，求这个数．【变式7-3】（2023秋·江苏·七年级专题练习）解方程：3x−x【答案】x【分析】根据绝对值的意义，分类讨论求解即可．【详解】解：当x≥0时，3x−x+5=1，解得：x=−2（不符合题意，舍去），当x<0时，3x+x+5=1，解得：x=−1，综上所述：x=∴原方程的解为：x=【点睛】本题考查了绝对值方程，解本题的关键在熟练掌握绝对值的意义．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．【题型8绝对值几何意义的应用】【例8】（2023秋·全国·七年级专题练习）x−1+x−2+A．1 B．1010 C．1021110 D．2020【答案】C【分析】x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：点x到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可．【详解】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020；当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；…当x=1011时，|x-1011|有最小值0．综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值，最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|=1010+1009+…+0+1+2+…+1010=1011×1010=1021110．故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键．【变式8-1】（2023秋·七年级单元测试）小亮把中山路表示成一条数轴，如图所示，把路边几座建筑的位置用数轴上的点，其中火车站的位置记为原点，正东方向为数轴正方向，公交车的1站地为1个单位长度（假设每两站之间距离相同）回答下列问题：(1)到火车站的距离等于2站地的是和．(2)到劝业场的距离等于2站地的是和．(3)在数轴上，到表示1的点的距离等于2的点有个，表示的数是．(4)如果用a表示图中数轴上的点，那么a表示该点到火车站的距离，当a=2时，a=2或−2．请你结合图形解释等式a−1=2表达的几何意义，并求出当a−1=2【答案】(1)烈士陵园，北国商城(2)人民商场，博物馆(3)2，−1或3(4)表达的几何意义见解析，a的值为3或−1【分析】（1）由图即可直接得出结论；（2）由图即可直接得出结论；（3）结合数轴即可直接得出结论；（4）结合图形可知a−1=2的几何意义为：该点到劝业场的距离等于2，进而可直接得出a【详解】（1）解：由图可知到火车站的距离等于2站地的是人民商场和劝业场．故答案为：烈士陵园，北国商城；（2）解：由图可知到劝业场的距离等于2站地的是人民商场和博物馆．故答案为：人民商场，博物馆；（3）解：在数轴上，到表示1的点的距离等于2的点有2个，分别是−1和3．故答案为：2，−1或3；（4）解：该题中a−1=2的几何意义为：该点到劝业场的距离等于2，且为人民商场或博物馆．即到表示1的点的距离等于2结合图形可知当a−1=2时，a的值为3或−1【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义．利用数形结合的思想是解题关键．【变式8-2】（2023春·浙江·七年级期末）方程x+x−2022=A．1010 B．1011 C．1012 D．2022【答案】C【详解】根据绝对值的意义，方程表示整数x到0与2022的距离和等于到1011与3033的距离的和，进而得出x为1011与2022之间的整数，据此即可求解．【分析】解：方程的整数解是1011至2022之间的所有整数，共有1012个．故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点的距离，理解绝对值的意义是解题的关键．【变式8-3】（2023秋·七年级单元测试）阅读材料：因为x=x−0，所以x的几何意义可解释为数轴上表示数x的点与表示数0的点之间的距离．这个结论可推广为：x1−x(1)等式x−2=3的几何意义是什么？这里x(2)等式x−4=x−5的几何意义是什么？这里(3)式子x−1+【答案】(1)几何意义为数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离等于3，x=−1或5(2)几何意义是点P到点A的距离等于点P到点B的距离，x=4(3)几何意义是点P到点M的距离与点P到点N的距离的和，最小值为2【分析】（1）根据x1（2）先去绝对值，再解方程即可求解；（3）由题意知x−1+x−3表示数x到1和3的距离之和，当数【详解】（1）解：等式x−2=3的几何意义为数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离等于3，这里x=−（2）解：设数轴上表示数x，4，5的点分别为P，A，B，则等式x−4=x−5的几何意义是点P到点A的距离等于点P到点B的距离，即PA=PB，所以（3）解：设数轴上表示数x，1，3的点分别为P，M，N，则式子x−1+x−3的几何意义是点P到点M的距离与点P到点N的距离的和，即结合数轴可知：当1≤x≤3时，式子x−1+x−3的值最小，最小值为【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．【题型9有理数的大小比较】【例9】（2023·湖北孝感·七年级统考期中））在1，−2，0，32这四个数中，绝对值最小的数是（

A．1 B．−2 C．0 D．3【答案】C【分析】先求绝对值，然后根据有理数大小比较即可求解．【详解】解：∵1，−2，0，32这四个数的绝对值分别为1，2，0，∴绝对值最小的数是0，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的定义，有理数的大小比较是解题的关键．【变式9-1】（2023秋·广东河源·七年级校考开学考试）已知下列有理数，在数轴上表示下列各数，并按原数从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．−5，+3，−−3.5，0，−−2【答案】数轴见解析，−5<−【分析】先去括号，去绝对值符号，把各数在数轴上表示出来，按原数从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来即可．【详解】解：−−3.5=−3.5，如图，故−5<−−3.5【点睛】本题主要考查数轴上有理数的表示及大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示及大小比较是解题的关键．【变式9-2】（2023·浙江·七年级假期作业）（1）试用“<”“>”或“=”填空：①|+6|−|+5||(+6)−(+5)|；②|−6|−|−5||(−6)−(−5)|；③|+6|−|−5||(+6)−(−5)|；（2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数a、b的差的绝对值与它们的绝对值的差的大小关系为|a|−|b||a−b|；（3）请问，当a、b满足什么条件时，|a|−|b|=|a−b|？【答案】（1）①=；②=；③＜；（2）≤；（3）①当a>b>0，②a<b<0，③a=b，④b=0，时|a|−|b|=|a−b|．【分析】（1）先计算，再比较大小即可；（2）根据（1）的结果，进行比较即可；（3）根据（1）的结果，可发现，当a、b同号时，|a|−|b|=|a−b|．【详解】解：（1）①|+6|−|+5|=1，|(+6)−(+5)|=1，∴|+6|−|+5|=|(+6)−(+5)|；②|−6|−|−5|=1，|(−6)−(−5)|=1，∴|−6|−|−5|=|(−6)−(−5)|；③|+6|−|−5|=1，|(+6)−(−5)|=11，∴|+6|−|−5|<|(+6)−(−5)|；故答案为：=,=,<；（2）|a|−|b|⩽|a−b|；故答案为：≤；（3）①当a>b>0，②a<b<0，③a=b，④b=0，时|a|−|b|=|a−b|．【点睛】本题考查了有理数的大小比较及绝对值的知识，解题的关键是注意培养自己由特殊到一般的总结能力．【变式9-3】（2023秋·湖北黄冈·七年级统考期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列关系正确的是（

）A．|a|＞|b| B．a＞﹣b C．b＜﹣a D．﹣a=b【答案】C【分析】先根据各点在数轴上的位置得出b﹤-c﹤0﹤a﹤c，再根据绝对值、相反数、有理数的大小逐个判断即可．【详解】从数轴可知：b﹤-c﹤0﹤a﹤c，∴∣a∣﹤∣b∣,a﹤-b，b﹤-a，-a≠b，所以只有选项C正确，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的大小比较、相反数、绝对值、数轴的应用，解答的关键是熟