2024届上海金山区高三一模数学试卷和答案

高中高中2023-2024学年上海金山区第一学期质量监控高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合，，则．2．在复平面内，若复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数=．3．不等式的解集是．4．双曲线的离心率是．5．已知角α、β的终边关于原点对称，则．6．第6题图已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则图中m的值为第6题图7．已知某圆台上底面和下底面的半径分别为和，母线长为，则该圆台的高为．8．从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．9．已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为．10．若，则．11．若函数()的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为．12．已知平面向量、、满足，，且，则的取值范围是．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知a、b、c是实数，则“”是“”的（）．（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件14．已知事件和相互独立，且，，则（）．（A）（B）（C）（D）15．如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）．（A）若，，则（B）若，，则平面平面第15题图（C）若，，则∥平面第15题图（D）若，，则∥16．设集合，、均为的非空子集（允许）．中的最大元素与中的最小元素分别记为，则满足的有序集合对的个数为（）．（A）（B）（C）（D）三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为与的交点．（1）证明：∥平面；（2）求三棱锥的体积．第第17题图18．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列满足，且．（1）求的值；（2）若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2第19题图（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线PR、PQ上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知三条直线（）分别与抛物线交于点、，为轴上一定点，且，记点到直线的距离为，△的面积为．（1）若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线的方程；（2）若，且，证明：直线过定点；（3）当时，是否存在点，使得，，成等比数列，，，也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．（1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；（2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．评分标准参考答案填空题：1．；2.；3.；4．；5.；6.3；7．；8.；9.或；10．8；11.32；12..选择题：13.B；14.A；15.D；16.B.三、解答题17．(1)证明：四边形为正方形，为与的交点，是的中点，又是的中点，，……2分又平面平面，//平面．……6分(2)解：平面是的中点，到平面的距离，……10分四边形是正方形，，三棱锥的体积．……14分18．解：(1)由，得，故，即.……3分又，故数列是以为首项，为公比的等比数列.从而，.所以.……6分(2)设数列满足，因为数列为严格增数列，故对正整数恒成立，……10分即对正整数恒成立，当时，取到最小值.所以.……14分19．解：(1)当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度(即冰箱最高点到地面的距离，……4分故冰箱能够按要求运送入客户家中．……6分(2)延长与直角走廊的边相交于、，则，，，又，设，，则，．……10分求得驻点，作表格得-0+严格减极小值严格增所以最小值．……13分由实际意义需向下取整，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．……14分20.解：(1)焦点，斜率，……2分故直线的方程为．……4分(2)联立消去，整理，得．设、，则，.由，即，得，……6分即，直线，故直线过定点.……10分(3)当时，．设，则.由，得，即．①…………12分联立消去，整理，得.由，得．于是，．由，，且，得，从而，即，化简，得．②…14分①②相减，整理，得．而，即，故，即．……17分又当时，比如取，，满足题意，故存在点满足题意．…18分21.解：(1)由，得或(舍).……2分故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”.………………4分高中高中(2)设为该函数的“均值点”，则，且，即关于的方程在区间上有解.………………6分整理，得，①当时，，方程无解.②当时，.令，得，且，从而在上是严格减函数，在上是严格减函数，在上严格增函数，故.即实数的取值范围是.…10分(3)由，得.从而，……11分.当时，，即在上单调递减，故()，……13分.