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第1页(共1页)内蒙古包头市英杰外国语学校2023-2024学年九年级(下)月考数学试卷(3月份)一、选择题1.(3分)下列运算正确的是()A.3x+3y=6xy B.16y2﹣7y2=9 C.3a﹣2a=a D.3a2+5a2=8a42.(3分)在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就,包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系,基本养老保险覆盖10.4亿人,其中10.4亿用科学记数法可表示为()A.10.4×108 B.10.4×109 C.1.04×108 D.1.04×1093.(3分)若a>b,则下列不等式成立的是()A.ac>bc B.﹣2a>﹣2b C.a﹣2<b﹣2 D.﹣a<﹣b4.(3分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A. B. C. D.5.(3分)如果代数式2y2﹣y的值是7,那么代数式4y2﹣2y+1的值等于()A.2 B.3 C.﹣2 D.156.(3分)将抛物线y=﹣3x2向左平移5个单位长度,再向上平移6个单位长度,所得抛物线相应的函数表达式是()A.y=﹣3(x+5)2+6 B.y=﹣3(x+5)2﹣6 C.y=﹣3(x﹣5)2+6 D.y=﹣3(x﹣5)2﹣67.(3分)在元旦晚会上有一个闯关活动:将4张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放(卡片大小、质地、颜色完全相同),将有图形的一面朝下,从中任意翻开2张,如果翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形,就可以过关.那么一次过关的概率是()A.1 B. C. D.8.(3分)如图,在6×6的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值是()A.1 B. C. D.9.(3分)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A、B的坐标分别为(0,4)、(﹣2,0),则点D的坐标为()A. B. C. D.10.(3分)如图,矩形OABC的对角线OB与反比例函数y=(x>0)相交于点D,且,则矩形OABC的面积为()A.50 B.25 C.15 D.二、填空题11.(3分)若a<<b,且a、b是两个连续的整数,则(﹣b)a的值为.12.(3分)如图,直线y=﹣x+3与y=mx+n交点的横坐标为1,则关于x,y的二元一次方程组的解为.13.(3分)已知x1,x2是方程x2+x﹣6=0的两个实数根,则2x1+2x2﹣x1x2的值为.14.(3分)已知抛物线y1=x2+4x+3,y2=﹣x2﹣x+a,若这两条抛物线与x轴共有3个交点,则a的值为.15.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=10,P是线段BC上一动点,连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE.连接DE,直线DE交BC于F.设BP=x,S△EPF=y,则y与x之间的函数关系式为.16.(3分)如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作射线OM,ON,分别交CD,BC于点E,F,且∠EOF=90°,连接EF给出下列结论:①△COE≌△BOF;②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的;③EF平分∠OEC;④DE2+BF2=EF2.其中正确的是(填序号).三、解答题17.(1)计算:;(2)先化简,后求值:,其中a=1.(3)解方程组:.18.学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级:86、94、79、84、71、90、76、83、90、87;八年级:88、76、90、78、87、93、75、87、87、79;整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生;(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数;(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好?(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)19.在一次课外活动中,某数学兴趣小组测量一座大楼CD的高度.如图所示,测得斜坡BE的坡度i=1:4,坡底AE的长为80米,在B处测得大楼CD顶部D的仰角为30°,在E处测得大楼CD顶部D的仰角为60°,求大楼CD的高度.(结果保留根号)20.某商场购进一批新产品进行销售,已知该产品的进货单价为40元/件,该商场对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查.销售过程中发现,该产品每星期的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系满足如表.销售单价x(元/件)…51525354…每星期销售量y(件)…98969492…(1)请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律,并求出y与x之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,该产品每星期获得的利润为1600元?(3)当销售单价为多少元时,该产品每星期获得的利润最大?最大利润为多少元?21.如图,射线OA在第一象限内,射线OB在第二象限内,OA⊥OB,射线OA与函数交于点A,射线OB与函数交于点B,连接AB,根据下列条件解答问题:(1)如图,过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BC⊥x轴于点C,求证:△AOD∽△OBC;(2)如果点A的坐标是(1,4),求点B的坐标;(3)当∠AOB在x轴的上方,绕着原点O转动的过程中,∠OAB的度数是否保持不变?如果不变,求sin∠OAB的值?如果变化,请说明理由.22.如图,E是正方形ABCD边BC上一个动点(不与B,C重合),F是CD延长线上一点,且DF=BE,连接AE,AF,EF.(1)求证:△AEF为等腰直角三角形.(2)过点A作EF的垂线,与直线EF,BC分别交于G,H两点,记∠DFE=α,EF交AD于点I.①当α=30°,AI=2,求线段AE的长.②设,△AGI的面积记作S1,△HGE的面积记作S2,用含k的代数式表示.23.如图①,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣4,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,点P是直线下方抛物线上的点,PD⊥AC于点D,PF⊥x轴于点F,交线段AC于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)当△PDE的周长最大时,求P点的坐标;(3)如图(2),点M是在直线上方的抛物线上一动点,当∠MAO=∠OAC时,求点M的坐标.参考答案与试题解析一、选择题1.(3分)下列运算正确的是()A.3x+3y=6xy B.16y2﹣7y2=9 C.3a﹣2a=a D.3a2+5a2=8a4【解答】解:A、不是同类项不能合并,故选项错误;B、16y2﹣7y2=9y2,故选项错误;C、正确;D、3a2+5a2=8a2,故选项错误.故选:C.2.(3分)在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就,包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系,基本养老保险覆盖10.4亿人,其中10.4亿用科学记数法可表示为()A.10.4×108 B.10.4×109 C.1.04×108 D.1.04×109【解答】解:10.4亿=1.04×109,故选:D.3.(3分)若a>b,则下列不等式成立的是()A.ac>bc B.﹣2a>﹣2b C.a﹣2<b﹣2 D.﹣a<﹣b【解答】解:A、不等式的两边都乘以不为0的数,不等号的方向不变,故A错误,不符合题意;B、不等式的两边都乘以﹣2,不等号的方向改变,故B错误,不符合题意;C、不等式的两边都减去2,不等号的方向不改变,故C错误,不符合题意;D、不等式的两边都乘以﹣1,不等号的方向改变,故D正确,符合题意.故选:D.4.(3分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A. B. C. D.【解答】解:,解不等式①得:x>1,解不等式②得:x≤2,∴原不等式组的解集为:1<x≤2,∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示:故选:C.5.(3分)如果代数式2y2﹣y的值是7,那么代数式4y2﹣2y+1的值等于()A.2 B.3 C.﹣2 D.15【解答】解:由题意可得:2y2﹣y=7,∴4y2﹣2y+1=2(2y2﹣y)+1=2×7+1=15,故选:D.6.(3分)将抛物线y=﹣3x2向左平移5个单位长度,再向上平移6个单位长度,所得抛物线相应的函数表达式是()A.y=﹣3(x+5)2+6 B.y=﹣3(x+5)2﹣6 C.y=﹣3(x﹣5)2+6 D.y=﹣3(x﹣5)2﹣6【解答】解:抛物线y=﹣3x2向左平移5个单位长度得到y=﹣3(x+5)2,再向上平移6个单位得到y=﹣(x+5)2+6.故选:A.7.(3分)在元旦晚会上有一个闯关活动:将4张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放(卡片大小、质地、颜色完全相同),将有图形的一面朝下,从中任意翻开2张,如果翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形,就可以过关.那么一次过关的概率是()A.1 B. C. D.【解答】解:将正方形、圆、平行四边形、菱形分别记为A,B,C,D,则既是中心对称图形又是轴对称图形的为A,B,D,画树状图如下:共有12种等可能的结果,其中翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形的结果有:AB,AD,BA,BD,DA,DB,共6种,∴一次过关的概率是=.故选:D.8.(3分)如图,在6×6的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值是()A.1 B. C. D.【解答】解:过点B作AC的垂线,垂足为D,令小正方形的边长为1,则AB=.在Rt△ABD中,sin∠BAC=.故选:D.9.(3分)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A、B的坐标分别为(0,4)、(﹣2,0),则点D的坐标为()A. B. C. D.【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(0,4)、(﹣2,0),∴OB=2,OA=4,∴AB===2,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=2,AD∥BC,∴点D坐标为(2,4),故选:A.10.(3分)如图,矩形OABC的对角线OB与反比例函数y=(x>0)相交于点D,且,则矩形OABC的面积为()A.50 B.25 C.15 D.【解答】解:过点D作DE⊥x轴于点E,如图所示:设OE=a,DE=b,则点D(a,b),∵点D在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴ab=9,∵四边形OABC为矩形,∴∠OAB=90°,∵DE⊥x轴,∴DE∥AB,∴△ODE∽△OBA,∴,∵且,∴,∴OA=,AB=,∴S矩形OABC=OA•AB==,∵ab=9,∴S矩形OABC=25.故选:B.二、填空题11.(3分)若a<<b,且a、b是两个连续的整数,则(﹣b)a的值为﹣64.【解答】解:∵9<13<16,∴3<<4,∴a=3,b=4,∴(﹣b)a=(﹣4)3=﹣64,故答案为:﹣64.12.(3分)如图,直线y=﹣x+3与y=mx+n交点的横坐标为1,则关于x,y的二元一次方程组的解为.【解答】解:∵直线y=﹣x+3与y=mx+n交点的横坐标为1,∴纵坐标为y=﹣1+3=2,∴两直线交点坐标(1,2),∴x,y的方程组的解为,故答案为:.13.(3分)已知x1,x2是方程x2+x﹣6=0的两个实数根,则2x1+2x2﹣x1x2的值为4.【解答】解:∵x1,x2是方程x2+x﹣6=0的两个实数根,∴x1+x2=﹣1,x1x2=﹣6,∴2x1+2x2﹣x1x2=2(x1+x2)﹣x1x2=﹣2+6=4.故答案为:4.14.(3分)已知抛物线y1=x2+4x+3,y2=﹣x2﹣x+a,若这两条抛物线与x轴共有3个交点,则a的值为﹣或0或6.【解答】解:令y1=0,则x2+4x+3=0,解得:x1=﹣1,x2=﹣3,∴抛物线y1=x2+4x+3与x轴的交点为(﹣1,0)和(﹣3,0),∵两个抛物线与x轴共有3个交点,∴抛物线y2=x2﹣x+a与x轴有一个交点或与抛物线y1=x2+4x+3有一个与x轴的公共点,令y2=0,则x2﹣x+a=0,①当抛物线y2=﹣x2﹣x+a与x轴有一个交点时,Δ=(﹣1)2+4×1×a=1+4a=0,解得:a=﹣;②当抛物线y2=﹣x2﹣x+a与抛物线y1=x2+4x+3有一个与x轴的公共点时,当(﹣1,0)是两条抛物线的公共点时,﹣1+1+a=0,解得:a=0;当(﹣3,0)是两条抛物线的公共点时,﹣9+3+a=0,解得:a=6.综上所述,a的值为﹣或0或6.故答案为:﹣或0或6.15.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=10,P是线段BC上一动点,连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE.连接DE,直线DE交BC于F.设BP=x,S△EPF=y,则y与x之间的函数关系式为y=﹣+x或y=.【解答】解:当点E在矩形里面时,如图,过点E作EH⊥BC于H,∵将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE,∴AP=PE,∠APE=90°=∠ABP=∠PHE,∴∠BPA+∠EPH=90°,∠BAP+∠BPA=90°,∴∠BAP=∠EPH,在△BAP和△HPE中,,∴△BAP≌△HPE(AAS),∴BP=EH=x,AB=PH=5,HC=10﹣5﹣x=5﹣x,∵EH⊥BC,CD⊥BC,∴∠EHF=∠DCF,又∵∠EFH=∠DFC,∴△EHF∽△DCF,∴==,∴=,∴FH=x,∴PF=PH﹣FH=5﹣x,∴y=×(5﹣x)x=﹣+x.当点E在矩形外面时,如图,过点E作EH⊥BC于H,同理可证△BAP≌△HPE(AAS),∴PH=AB=5,EH=BP=x,∵△EFH∽△DFC,∴,即,解得PF=x﹣5,∴S△EPF=y=PF•EH=(x﹣5)•x,∴y=.故答案为:y=﹣+x或y=.16.(3分)如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作射线OM,ON,分别交CD,BC于点E,F,且∠EOF=90°,连接EF给出下列结论:①△COE≌△BOF;②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的;③EF平分∠OEC;④DE2+BF2=EF2.其中正确的是①②④(填序号).【解答】解:①在正方形ABCD中,OC=OB,∠COB=90°,∠OBC=∠OCB=45°,∵∠EOF=90°,∴∠COE=∠EOF﹣∠COF=90°﹣∠COF,∴∠COE=∠BOF,∴△COE≌△BOF(ASA),故①正确;②由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等,∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的,故②正确;③∵△COE≌△BOF,∴OE=OF,∴∠OFE=∠OEF=45°,∵∠CEO≠90°,∴∠OEF≠∠CEF,故③错误;④∵△COE≌△BOF,∴CE=BF,∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD,∴DE=CF,在Rt△ECF中,CE2+CF2=EF2,∴DE2+BF2=EF2,故④正确;综上所述,正确的是①②④,故答案为:①②④.三、解答题17.(1)计算:;(2)先化简,后求值:,其中a=1.(3)解方程组:.【解答】解:(1)原式=4×﹣+3+6+2=2﹣2+3+6+2=5+6;(2)原式=•=•=,当a=1时,原式==﹣1;(3)由x﹣2y=1得x=2y+1,把x=2y+1代入﹣=得:﹣=,解得y=2,把y=2代入x=2y+1=2×2+1=5,∴方程组的解为.18.学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级:86、94、79、84、71、90、76、83、90、87;八年级:88、76、90、78、87、93、75、87、87、79;整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=85,b=87;A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是七年级的学生;(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数;(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好?(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)【解答】解:(1)把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为:71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a==85,八年级10名学生的成绩中8(7分)的最多有3人,所以众数b=87,A同学得了8(6分),大于8(5分),位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生;故答案为:85,87,七;(2)×200+×200=220(人),答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人;(3)我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好,理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好.19.在一次课外活动中,某数学兴趣小组测量一座大楼CD的高度.如图所示,测得斜坡BE的坡度i=1:4,坡底AE的长为80米,在B处测得大楼CD顶部D的仰角为30°,在E处测得大楼CD顶部D的仰角为60°,求大楼CD的高度.(结果保留根号)【解答】解:作BF⊥CD于点F,设DF=x米,在Rt△DBF中,,∴米,∵斜坡BE的坡度i=1:4,∴,∵坡底AE的长为80米,∴AB=20米,∴CF=AB=20米,在Rt△DCE中,DC=DF+CF=(x+20)米,,∴米,∴,∴,∴,∴CD=DF+CF=+20=40+30(米),答:大楼CD的高度是(40+30)米.20.某商场购进一批新产品进行销售,已知该产品的进货单价为40元/件,该商场对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查.销售过程中发现,该产品每星期的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系满足如表.销售单价x(元/件)…51525354…每星期销售量y(件)…98969492…(1)请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律,并求出y与x之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,该产品每星期获得的利润为1600元?(3)当销售单价为多少元时,该产品每星期获得的利润最大?最大利润为多少元?【解答】解:(1)由表格中数据可知,y与x之间的函数关系式为一次函数关系,设y=kx+b(k≠0),则,解得,即y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+200;(2)设总利润为w元,由题意得,w=y(x﹣40)=(﹣2x+200)(x﹣40)=﹣2x2+280x﹣8000,当w=1600时,﹣2x2+280x﹣8000=1600,解得,x1=60,x2=80,答:当销售单价为60元或80元时,每星期获得的利润为1600元;(3)∵w=﹣2x2+280x﹣8000=﹣2(x﹣70)2+1800,∴x=70时,w取得最大值,此时w为1800元,答:当销售单价为70元时,每星期获得的利润最大,最大利润为1800元.21.如图,射线OA在第一象限内,射线OB在第二象限内,OA⊥OB,射线OA与函数交于点A,射线OB与函数交于点B,连接AB,根据下列条件解答问题:(1)如图,过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BC⊥x轴于点C,求证:△AOD∽△OBC;(2)如果点A的坐标是(1,4),求点B的坐标;(3)当∠AOB在x轴的上方,绕着原点O转动的过程中,∠OAB的度数是否保持不变?如果不变,求sin∠OAB的值?如果变化,请说明理由.【解答】(1)证明:∵∠AOB=90°,∴∠BCO+∠AOD=90°,∵∠BOC+∠CBO=90°,∴∠AOD=∠CBO,∵∠COB=∠AOD=90°,∴△AOD∽△OBC;(2)∵点A的坐标是(1,4),则AD=4,OD=1,∵△AOD和△OBC的面积比为:2:0.5=4:1,则上述两个三角形的相似比:OA:OB=AD:OC=2,即4:OC=2,则OC=2,则点B的坐标为:(﹣2,);(3)不变,sin∠OAB=,理由:由(2)知OA:OB=2,即tan∠OAB=,则sin∠OAB=.22.如图,E是正方形ABCD边BC上一个动点(不与B,C重合),F是CD延长线上一点,且DF=BE,连接AE,AF,EF.(1)求证:△AEF为等腰直角三角形.(2)过点A作EF的垂线,与直线EF,BC分别交于G,H两点,记∠DFE=α,EF交AD于点I.①当α=30°,AI=2,求线段AE的长.②设,△AG
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