内蒙古包头市英杰外国语学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

第1页（共1页）内蒙古包头市英杰外国语学校2023-2024学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题1．（3分）下列运算正确的是（）A．3x+3y＝6xy B．16y2﹣7y2＝9 C．3a﹣2a＝a D．3a2+5a2＝8a42．（3分）在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，其中10.4亿用科学记数法可表示为（）A．10.4×108 B．10.4×109 C．1.04×108 D．1.04×1093．（3分）若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bc B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣2＜b﹣2 D．﹣a＜﹣b4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）如果代数式2y2﹣y的值是7，那么代数式4y2﹣2y+1的值等于（）A．2 B．3 C．﹣2 D．156．（3分）将抛物线y＝﹣3x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝﹣3（x+5）2+6 B．y＝﹣3（x+5）2﹣6 C．y＝﹣3（x﹣5）2+6 D．y＝﹣3（x﹣5）2﹣67．（3分）在元旦晚会上有一个闯关活动：将4张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放（卡片大小、质地、颜色完全相同），将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．1 B． C． D．8．（3分）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值是（）A．1 B． C． D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，矩形OABC的对角线OB与反比例函数y＝（x＞0）相交于点D，且，则矩形OABC的面积为（）A．50 B．25 C．15 D．二、填空题11．（3分）若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为．12．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为．13．（3分）已知x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为．14．（3分）已知抛物线y1＝x2+4x+3，y2＝﹣x2﹣x+a，若这两条抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，P是线段BC上一动点，连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE．连接DE，直线DE交BC于F．设BP＝x，S△EPF＝y，则y与x之间的函数关系式为.16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：①△COE≌△BOF；②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；③EF平分∠OEC；④DE2+BF2＝EF2．其中正确的是（填序号）．三、解答题17．（1）计算：；（2）先化简，后求值：，其中a＝1．（3）解方程组：．18．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：七年级：86、94、79、84、71、90、76、83、90、87；八年级：88、76、90、78、87、93、75、87、87、79；整理如下：年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝，b＝；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是年级的学生；（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）19．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一座大楼CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为80米，在B处测得大楼CD顶部D的仰角为30°，在E处测得大楼CD顶部D的仰角为60°，求大楼CD的高度．（结果保留根号）20．某商场购进一批新产品进行销售，已知该产品的进货单价为40元/件，该商场对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系满足如表．销售单价x（元/件）…51525354…每星期销售量y（件）…98969492…（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并求出y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，该产品每星期获得的利润为1600元？（3）当销售单价为多少元时，该产品每星期获得的利润最大？最大利润为多少元？21．如图，射线OA在第一象限内，射线OB在第二象限内，OA⊥OB，射线OA与函数交于点A，射线OB与函数交于点B，连接AB，根据下列条件解答问题：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，求证：△AOD∽△OBC；（2）如果点A的坐标是（1，4），求点B的坐标；（3）当∠AOB在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，∠OAB的度数是否保持不变？如果不变，求sin∠OAB的值？如果变化，请说明理由．22．如图，E是正方形ABCD边BC上一个动点（不与B，C重合），F是CD延长线上一点，且DF＝BE，连接AE，AF，EF．（1）求证：△AEF为等腰直角三角形．（2）过点A作EF的垂线，与直线EF，BC分别交于G，H两点，记∠DFE＝α，EF交AD于点I．①当α＝30°，AI＝2，求线段AE的长．②设，△AGI的面积记作S1，△HGE的面积记作S2，用含k的代数式表示．23．如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，PD⊥AC于点D，PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE的周长最大时，求P点的坐标；（3）如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列运算正确的是（）A．3x+3y＝6xy B．16y2﹣7y2＝9 C．3a﹣2a＝a D．3a2+5a2＝8a4【解答】解：A、不是同类项不能合并，故选项错误；B、16y2﹣7y2＝9y2，故选项错误；C、正确；D、3a2+5a2＝8a2，故选项错误．故选：C．2．（3分）在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，其中10.4亿用科学记数法可表示为（）A．10.4×108 B．10.4×109 C．1.04×108 D．1.04×109【解答】解：10.4亿＝1.04×109，故选：D．3．（3分）若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bc B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣2＜b﹣2 D．﹣a＜﹣b【解答】解：A、不等式的两边都乘以不为0的数，不等号的方向不变，故A错误，不符合题意；B、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故B错误，不符合题意；C、不等式的两边都减去2，不等号的方向不改变，故C错误，不符合题意；D、不等式的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故D正确，符合题意．故选：D．4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤2，∴原不等式组的解集为：1＜x≤2，∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：故选：C．5．（3分）如果代数式2y2﹣y的值是7，那么代数式4y2﹣2y+1的值等于（）A．2 B．3 C．﹣2 D．15【解答】解：由题意可得：2y2﹣y＝7，∴4y2﹣2y+1＝2（2y2﹣y）+1＝2×7+1＝15，故选：D．6．（3分）将抛物线y＝﹣3x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝﹣3（x+5）2+6 B．y＝﹣3（x+5）2﹣6 C．y＝﹣3（x﹣5）2+6 D．y＝﹣3（x﹣5）2﹣6【解答】解：抛物线y＝﹣3x2向左平移5个单位长度得到y＝﹣3（x+5）2，再向上平移6个单位得到y＝﹣（x+5）2+6．故选：A．7．（3分）在元旦晚会上有一个闯关活动：将4张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放（卡片大小、质地、颜色完全相同），将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．1 B． C． D．【解答】解：将正方形、圆、平行四边形、菱形分别记为A，B，C，D，则既是中心对称图形又是轴对称图形的为A，B，D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形的结果有：AB，AD，BA，BD，DA，DB，共6种，∴一次过关的概率是＝．故选：D．8．（3分）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值是（）A．1 B． C． D．【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为D，令小正方形的边长为1，则AB＝．在Rt△ABD中，sin∠BAC＝．故选：D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），∴OB＝2，OA＝4，∴AB＝＝＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，AD∥BC，∴点D坐标为（2，4），故选：A．10．（3分）如图，矩形OABC的对角线OB与反比例函数y＝（x＞0）相交于点D，且，则矩形OABC的面积为（）A．50 B．25 C．15 D．【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示：设OE＝a，DE＝b，则点D（a，b），∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴ab＝9，∵四边形OABC为矩形，∴∠OAB＝90°，∵DE⊥x轴，∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，∴，∵且，∴，∴OA＝，AB＝，∴S矩形OABC＝OA•AB＝＝，∵ab＝9，∴S矩形OABC＝25．故选：B．二、填空题11．（3分）若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为﹣64．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a＝3，b＝4，∴（﹣b）a＝（﹣4）3＝﹣64，故答案为：﹣64．12．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为．【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2，∴两直线交点坐标（1，2），∴x，y的方程组的解为，故答案为：．13．（3分）已知x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为4．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣6，∴2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝﹣2+6＝4．故答案为：4．14．（3分）已知抛物线y1＝x2+4x+3，y2＝﹣x2﹣x+a，若这两条抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为﹣或0或6．【解答】解：令y1＝0，则x2+4x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，∴抛物线y1＝x2+4x+3与x轴的交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），∵两个抛物线与x轴共有3个交点，∴抛物线y2＝x2﹣x+a与x轴有一个交点或与抛物线y1＝x2+4x+3有一个与x轴的公共点，令y2＝0，则x2﹣x+a＝0，①当抛物线y2＝﹣x2﹣x+a与x轴有一个交点时，Δ＝（﹣1）2+4×1×a＝1+4a＝0，解得：a＝﹣；②当抛物线y2＝﹣x2﹣x+a与抛物线y1＝x2+4x+3有一个与x轴的公共点时，当（﹣1，0）是两条抛物线的公共点时，﹣1+1+a＝0，解得：a＝0；当（﹣3，0）是两条抛物线的公共点时，﹣9+3+a＝0，解得：a＝6．综上所述，a的值为﹣或0或6．故答案为：﹣或0或6．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，P是线段BC上一动点，连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE．连接DE，直线DE交BC于F．设BP＝x，S△EPF＝y，则y与x之间的函数关系式为y＝﹣+x或y＝.【解答】解：当点E在矩形里面时，如图，过点E作EH⊥BC于H，∵将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE，∴AP＝PE，∠APE＝90°＝∠ABP＝∠PHE，∴∠BPA+∠EPH＝90°，∠BAP+∠BPA＝90°，∴∠BAP＝∠EPH，在△BAP和△HPE中，，∴△BAP≌△HPE（AAS），∴BP＝EH＝x，AB＝PH＝5，HC＝10﹣5﹣x＝5﹣x，∵EH⊥BC，CD⊥BC，∴∠EHF＝∠DCF，又∵∠EFH＝∠DFC，∴△EHF∽△DCF，∴＝＝，∴＝，∴FH＝x，∴PF＝PH﹣FH＝5﹣x，∴y＝×（5﹣x）x＝﹣+x．当点E在矩形外面时，如图，过点E作EH⊥BC于H，同理可证△BAP≌△HPE（AAS），∴PH＝AB＝5，EH＝BP＝x，∵△EFH∽△DFC，∴，即，解得PF＝x﹣5，∴S△EPF＝y＝PF•EH＝（x﹣5）•x，∴y＝．故答案为：y＝﹣+x或y＝．16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：①△COE≌△BOF；②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；③EF平分∠OEC；④DE2+BF2＝EF2．其中正确的是①②④（填序号）．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠BOF，∴△COE≌△BOF（ASA），故①正确；②由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故②正确；③∵△COE≌△BOF，∴OE＝OF，∴∠OFE＝∠OEF＝45°，∵∠CEO≠90°，∴∠OEF≠∠CEF，故③错误；④∵△COE≌△BOF，∴CE＝BF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴DE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DE2+BF2＝EF2，故④正确；综上所述，正确的是①②④，故答案为：①②④．三、解答题17．（1）计算：；（2）先化简，后求值：，其中a＝1．（3）解方程组：．【解答】解：（1）原式＝4×﹣+3+6+2＝2﹣2+3+6+2＝5+6；（2）原式＝•＝•＝，当a＝1时，原式＝＝﹣1；（3）由x﹣2y＝1得x＝2y+1，把x＝2y+1代入﹣＝得：﹣＝，解得y＝2，把y＝2代入x＝2y+1＝2×2+1＝5，∴方程组的解为．18．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：七年级：86、94、79、84、71、90、76、83、90、87；八年级：88、76、90、78、87、93、75、87、87、79；整理如下：年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝85，b＝87；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是七年级的学生；（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【解答】解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，八年级10名学生的成绩中8（7分）的最多有3人，所以众数b＝87，A同学得了8（6分），大于8（5分），位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；故答案为：85，87，七；（2）×200+×200＝220（人），答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人；（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．19．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一座大楼CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为80米，在B处测得大楼CD顶部D的仰角为30°，在E处测得大楼CD顶部D的仰角为60°，求大楼CD的高度．（结果保留根号）【解答】解：作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，在Rt△DBF中，，∴米，∵斜坡BE的坡度i＝1：4，∴，∵坡底AE的长为80米，∴AB＝20米，∴CF＝AB＝20米，在Rt△DCE中，DC＝DF+CF＝（x+20）米，，∴米，∴，∴，∴，∴CD＝DF+CF＝+20＝40+30（米），答：大楼CD的高度是（40+30）米．20．某商场购进一批新产品进行销售，已知该产品的进货单价为40元/件，该商场对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系满足如表．销售单价x（元/件）…51525354…每星期销售量y（件）…98969492…（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并求出y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，该产品每星期获得的利润为1600元？（3）当销售单价为多少元时，该产品每星期获得的利润最大？最大利润为多少元？【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），则，解得，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+200；（2）设总利润为w元，由题意得，w＝y（x﹣40）＝（﹣2x+200）（x﹣40）＝﹣2x2+280x﹣8000，当w＝1600时，﹣2x2+280x﹣8000＝1600，解得，x1＝60，x2＝80，答：当销售单价为60元或80元时，每星期获得的利润为1600元；（3）∵w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∴x＝70时，w取得最大值，此时w为1800元，答：当销售单价为70元时，每星期获得的利润最大，最大利润为1800元．21．如图，射线OA在第一象限内，射线OB在第二象限内，OA⊥OB，射线OA与函数交于点A，射线OB与函数交于点B，连接AB，根据下列条件解答问题：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，求证：△AOD∽△OBC；（2）如果点A的坐标是（1，4），求点B的坐标；（3）当∠AOB在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，∠OAB的度数是否保持不变？如果不变，求sin∠OAB的值？如果变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵∠AOB＝90°，∴∠BCO+∠AOD＝90°，∵∠BOC+∠CBO＝90°，∴∠AOD＝∠CBO，∵∠COB＝∠AOD＝90°，∴△AOD∽△OBC；（2）∵点A的坐标是（1，4），则AD＝4，OD＝1，∵△AOD和△OBC的面积比为：2：0.5＝4：1，则上述两个三角形的相似比：OA：OB＝AD：OC＝2，即4：OC＝2，则OC＝2，则点B的坐标为：（﹣2，）；（3）不变，sin∠OAB＝，理由：由（2）知OA：OB＝2，即tan∠OAB＝，则sin∠OAB＝．22．如图，E是正方形ABCD边BC上一个动点（不与B，C重合），F是CD延长线上一点，且DF＝BE，连接AE，AF，EF．（1）求证：△AEF为等腰直角三角形．（2）过点A作EF的垂线，与直线EF，BC分别交于G，H两点，记∠DFE＝α，EF交AD于点I．①当α＝30°，AI＝2，求线段AE的长．②设，△AG