优化设计作业

课程名称：优化设计

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2011年12月06日

优化设计作业

1.阐述优化设计数学模型的三要素，写出一般形式的数学模型。

答：机械优化设计建立数学模型的三个基本要素—设计变量、约束条件、目标函

数。一般形式的数学模型：min/（X）

XwDuR"

D:gu（X）>0（u=l,2,…,m）

hv（X）=Ov=l,2,…,p<n）

2.阐述设计可行域和不可行域的基本概念

答：约束对设计点在设计空间的活动范围有所限制。凡满足所有约束条件的设计点,

它在设计空间中的可能活动范围，称可行设计区域（可行域）。不能满足所有约

束条件的设计空间便是不可行设计区域（不可行域）。

3.无约束局部最优解的必要条件？

答：若在约束条件限制下极小化，即在可行域〃中寻找/*=[帚*,天*，…，x*]7

使满足min/,XCgR1,其最优点石、最优值,（7*）则构成约束

最优解。

4.阐述约束优化问题最优解的K-T条件。

答：K-T条件可阐述为：

如果好是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度b（产）可表示成该点诸约

束面梯度为彳„（心））、0九CT）的如下线性组合：

“（X㈤）力“Vg”（x（昨6AM依））=0

U=1V=1

式中：q—在父k）点的不等式约束面数；

在父k）点的等式约束面数；

屋（〃=1,2,...4）、）iv（v=l,2,...j）----非负值的乘子，亦称拉格朗日乘子。如无等式约束，而全部是

不等式约束，则式（3-20）中/=0,第三项全部为零。

5.给出图中的可行设计点、边界设计点和不可行设计点。

6题图二维设计空间

答：如图X")点为可行设计点，X⑶点为边界设计点，X")点为不可行设计点。

6、根据逼近思想所构造的优化计算方法的基本规则是什么？

答：

7、数值迭代计算中，通常采用哪三种终止条件？(2、3)

答：在一般情况下，因a⑵是前一次插值函数的极小值点，a⑷是本次插值函数的极

小值点，若a⑵和a⑷的距离足够小时，即满足山⑷一a⑵仁£或a⑷和a⑵两者原函数

值已很接近,即满足I则停止迭代，这时，若%输出极小值点a⑷-a*,

极小值北一广(a*);否则，即时,输出极小值点a⑵一a*,极小值工一广(a*)。如

不满足上述迭代终止条件、则返回步骤(3),再次缩短搜索区间，直至最后满足终

止条件。

8.对于约束极值问题

min/(x)=—3)2+工；

s.t.g](x)=-4«0

g2(x)=-x2<0

g3(x)=-x1<0

试运用K-T条件检验点X*=(2是否为约束极值点。

答：

9.说明函数梯度的性质。

答：

10.将优化问题

22

min〃X)=&-3)+(x2-4)

s.t.g/X)=5—X]—20

g2(x)=X]-x2—2.5>0

g3（X）=X]>0

g4（X）=x2>0

的目标函数等值线和约束曲线勾画出来，并确定：

（1）可行域的范围（用阴影线画出）。

（2）无约束最优解X*。）、/（X*⑴）,约束最优解X*（2）、/（X*⑵）。

（3）若再加入等式约束MX）=X]-X2=0，约束最优解X*。）、/（X*（3））。

答：

11.如图所示为机床主轴计算简图。在设计时，有两个重要因素需要考虑，即主轴

的自重和伸出端c点的挠度。试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学

模型。其中，C点的挠度：y=Fa;；；a）；/=.（//—/）；£为弹性模量。材料的密度

为p；外力少给定。

答：

12、选用优化算法时，一般需考虑哪几个因素？

答：一般认为，评价一种优化方法的好坏，可以从以下三方面来考察：

1、可靠性：方法的可靠性是指在一定精度要求下，求解出各种各样问题的成功

率，显然能求解出的问题越多，算法的可靠性越好。因此也可称通用性。它是评

价优化方法好坏的重要准则。

2、有效性：指的是方法的解题效率。可从两个方面来衡量：一是对同一个题目，

在同一精度要求下，从同一初始点出发，迭代计算所用的机时数；二是在同样条

件下计算函数值的次救，包括求目标函数值和求导数值的次数。

3、计算前的准备工作量及占用计算机存贮单元数量。

这三点也可以说是评价优化方法优劣的基本准则。

13.用外点法和用内点法求解minf{x}=x,D:g(X)=x-l>0最优化问题的惩罚函数。

XeDuR"

(6)

答：

14.优化迭代逼近搜索中是在每一迭代点中向上利用函数在该点邻近局部性质的信

息，确定一个搜索方向V+D和搜索步长久求新的迭代点中/D=中简+a型+D。其中，

最速下降法(梯度法)、共掘梯度法和牛顿法的搜索方向是如何确定？(5)

答：

15.什么是共掘梯度法(5)

答：对于n维二次函数=0.5^AX+^X+C

若给定任一初始点了©,而外)，{=0,1,2,…为K次迭代中要寻求的共

朝方向。7口为沿该方向进行一维搜索求得的近似极小点，则有

户0=/)+/S©或六+D一1*)=/心)(a)

在/©点处的梯度分别为：

/"+1)=4(1"川)=A^+B(b)

/©=4(/幻)=A^+B(C)

式⑹与(c)相减并把式(a)代入得：

1_/=/(『】)_7*))=MS©(d)

若有方向s力与小是关于/共朝的，则有

A=0K,j=0,1,2,...K^j(e)

式(d)两端左乘GT,(a(V0),则得

[S力]7(g--*)=0K,7=0,1,2,…审(f)

此式即共轨方向与梯度之间的关系式。它表明，沿外)方向进行一维搜索得到的

点上.与始点肝处所对应的函数梯度之差浮)向量与”的共朝方向。力是

正交的。共朝梯度法就是利用这个性质，不求矩阵4只利用相应点的梯度构造共

朝方向的。

16.阐述变尺度法的基本思想（5）

答：梯度法和阻尼牛顿法的迭代公式，即

/巧=）/巧=［H（/））「b（产））

变尺度法所构成的迭代公式为

『川=/）_/胪b（/幻）（1）

变尺度法的搜索方向应为外）=-rb（产））；/©是根据需要构造的一个n

X〃阶对称矩阵。若在初始点火取/"为单位矩阵/,则式⑴为的梯度法代公式，

搜索方向为负梯度方向。

迭代过程不断地修正构造矩阵使它在整个迭代过程中逐步地逼近目标

函数在极小点处的赫森矩阵的逆矩阵。当/©=［HCT）］T时，式（5-18）为阻尼牛

顿法迭代公式。这样，当迭代点逼近最优点时，搜索方向趋于牛顿方向。

这种构想，综合了梯度法和牛顿法的优点，不计算［HCT）「,而用变化的构造

矩阵胪去逼近它。构造矩阵〃在迭代过程中是变化的，称为变尺度矩阵。

由于变尺度法的迭代形式与牛顿法类似，不同的是在迭代公式中用/©来逼

近［HCT）「，所以又称为“拟牛顿法”

变尺度法的搜索方向-―/©〃cr）,最终要逼近牛顿方向

s©=-故又称为拟牛顿方向。

17.分析比较牛顿法、梯度法和Powell法的特点。（5）

答：牛顿法特点：具有二次收敛性，在极值点附近收敛速度快。但要计算函数的

Hessian矩阵及其逆阵。准备工作量大，程序复杂，所需贮存量大。要求迭

代点Hessian矩阵非奇异且为定型（正定或负定），要求初始点靠近极值点。

可靠性较差。

梯度法特点：需计算一阶偏导数。方法简单，可靠性较好，可稳定地使函数

值下降。对初始点要求不严。但收敛速度十分缓慢，特别是当迭代点进入最

优点邻域时，更为严重。

鲍威尔法特点：属于共朝方向法。具有直接法的共同优点，且具有二次收敛

性，收敛速度较快，可靠性也比较好。存贮量少。程序较复杂。

18.已知约束优化问题的数学模型

min/（X）=--3）2一0-4）

XeDuR2

s.t.g"X）=5-七一％220

g2（X）=2.5-%]+x2>0

g3（X）=X[>0

g4（X）=x2>0

/?（X）=Xj-x2=0

试写出混合型罚函数。（6）

答：

19.外点法和混合惩罚函数法都可处理同时具有等式和不等式约束的优化问题，两

种方法在构造惩罚函数时有何主要区别？（6）

答：

20.设约束优化问题的数学模型为

min/（x）=x2-xx

s.t.gj（x）=-In%1<0

/?!（X）=Xj+x2-1=0

试用混合惩罚函数法构造该问题的惩罚函数。（6）

答：

21.确定目标函数、设计变量、约束条件应注意哪些问题？选择优化方法应掌握哪

些原则？

答：（1）确定目标函数应注意：

从使用性能出发，有要求效率最高，功率利用率最好，可靠性最好，测量

或运动传递误差最