成化高级中学山观高级中学高二数学下学期期中联考试题 理-人教版高二数学试题

-学年度春学期三校高二期中联考数学（理科）试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案直接填在答题卡相应位置上．1.复数的共轭复数等于▲.2.已知，则▲.3.若虚数的模为，则▲.4.用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取▲.5.从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各台，则不同的取法共有▲种.(用数字作答)6.若实数满足，则的取值集合为▲.7.半径为的圆的面积,周长，若将看作上的变量,则①；对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于①的结论：▲.8.甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有▲种．（用数字作答）9.在复平面上，复数、、、分别对应点、、、，且为平行四边形，则▲.10.由数字五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位数字之和为，则▲.11.甲、乙、丙三人要在一排个空座上就坐，若要求甲、乙、丙三人每人的两旁都空座，则不同的坐法共有▲种.（用数字作答）12.观察下列等式：①；②；③；④；⑤.可以推测▲.13.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，个红包中有两个元，两个元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有▲种.（用数字作答）14.从装有个球（其中个白球，个黑球）的口袋中取出个球,有种取法.在这种取法中，可分两类：一类是取出的个球全部为白球，有种取法；另一类是取出个黑球、个白球，有种取法，所以有式子：成立.根据上述思想方法化简下列式子：▲.二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．需写出文字说明、推理过程或演算步骤．）15.（本小题满分14分）已知复数为实数)，且是实数．（1）求复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，试求实数的取值范围．16.（本小题满分14分）用()种不同颜色给如图的个区域涂色,要求相邻区域不能用同一种颜色.(1)当时,图(1)、图(2)各有多少种涂色方案?（要求：列式或简述理由，结果用数字作答）；(2)若图（3）有种涂色法，求的值．17.（本小题满分14分）将个编号为的小球放入个编号为的盒子中．(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？(5)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？(6)把个不同的小球换成个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）18.（本小题满分16分）已知实数(1)若,求证:中至少有一个小于;(2)若,求证:;(3)若,求证:.19.（本小题满分16分）已知，.(1)当时，试比较与的大小关系；(2)猜想与的大小关系，并给出证明．20.（本小题满分16分）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．在杨辉三角中，第行的数记为，第行从左到右的个数分别记为.下图是一个阶杨辉三角：（1）求第行中从左到右的第个数；（2）试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是∶∶，并证明你的结论；（3）在第斜列中，前个数依次为；第斜列中，第个数为，我们发现，事实上，一般地有这样的结论：第斜列中（从右上到左下）前个数之和，一定等于第斜列中第个数．试用含有，的数学式子表示上述结论，并证明．-学年度春学期三校高二期中联考参考答案一、填空题（本大题共有14小题，每小题5分，共70分．）1、2、73、4、55、6、7、8、189、10、811、6012、96213、1814、二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．）15、解：（1）∵………………3分又∵是实数∴∴∴………………6分（2）∵…10分又∵在第四象限∴………………12分∴………………14分16、解：(1)图(1)：先选,有6种不同的选法;再选,不能与的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选,与，的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步,只需与的颜色不同即可,有5种不同的选法,共有6×5×4×5=600种不同的方案．…………3分图(2)：先选,有6种不同的选法;再选,不能与的颜色相同,有5种不同的选法;、不同色，有4种不同的选法，有3种不同的选法，所以有种；、同色，有种不同的选法，所以有种；所以，共有种不同的方案………………8分(2)前三步与图(1)的方法类似,分别有n,(n－1),(n－2)种不同的选法,最后一步的颜色,不仅与的颜色不同,也不能与的颜色相同,有(n－2)种不同的选法,共有n(n－1)(n－2)(n－2)种不同的方案．………………10分则………………14分（注：不把分解成，直接猜出，扣；此方程也可用导数（单调法）解，请类似给分）17、解(1)有(种)放法．………………2分(2)有(种)放法．………………4分(3)先取个球中的两个“捆”在一起，有种选法，再将四组小球投入五个盒子中的四个盒子，有种投放方法，故共有(种)放法．………………6分(4)有(种)放法．………………8分(5)满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：种∴满足条件的放法数为：1+10+20=31（种）………………11分(6)先从五个盒子中选出四个盒子，再从四个盒子中选出一个盒子放两个球，余下三个盒子各放一个球，由于球相同，所以共有(种)放法．………………14分18、证明：(1)假设都不小于2，则…………1分因为，所以，即，这与已知相矛盾，故假设不成立………………4分综上中至少有一个小于2.…………………5分(2)∵∴∴…………………6分∴∴…………………8分∴在上单调增,∴∴…………10分(3)设①,则②…………11分∴由①,②联立解得…………13分∴当且仅当时，取等号∴…………16分19、解:(1),,…………………3分(2)由(1)猜想…5分下面用数学归纳法给出证明．所证不等式为eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2n＋1,2n)＞eq\r(n＋1).①当n＝1时，左式＝eq\f(3,2)，右式＝eq\r(2)，左式＞右式，所以结论成立．…6分②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)＞eq\r(k＋1)，……………7分则当n＝k＋1时，eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＞eq\r(k＋1)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＝eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))，………9分要证当n＝k＋1时结论成立，只需证eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))≥eq\r(k＋2).………11分即证eq\f(2k＋3,2)≥eq\r(k＋1k＋2)，由基本不等式知eq\f(2k＋3,2)＝eq\f(k＋1＋k＋2,2)≥eq\r(k＋1k＋2)成立，故eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))≥eq\r(k＋2)成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．.………15分由①②可知，n∈N*时，不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)＞eq\r(n＋1)成立．………16分20、解：（1）…………3分（2）设---------------------4分由，得，即， ①---------------------7