小学数学培优 约数与倍数（一）

1.本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。

2.本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，

例如：(1)约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；

(2)整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为x...x△☆的结构,

而且表达形式唯一”

一'约数、公约数与最大公约数概念

(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数，整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；

(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；

(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；

(4)0被排除在约数与倍数之外

1.求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.

例皮口：231=3x7x11,252=22X32X7,所以(231,252)=3x7=21;

2|1812

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如：3|96,所以(12,18)=2x3=6:

32

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数.用根转相

除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除

小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前

一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数.(如果最后的除数是1,那么原

来的两个数是互质的).

例如，求600和1515的最大公约数：1515+600=2315;600+315=1285;315+285=130;

285+30=915;30+15=20;所以1515和600的最大公约数是15.

2.最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数〃，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以

3.求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的

最大公约数匕；2即为所求.

a

4.约数、公约数最大公约数的关系

(1)约数是对一个数说的：

(2)公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数

二、倍数的概念与最小公倍数

(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数

(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公信数

⑶最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

1.求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,«[231,252]=22x32x7x11=2772；

②短除法求最小公倍数；

2|1812

例如：3|96,所以[I8,12]=2x3x3x2=36;

32

③[”,切=詈*

（4,6）

2.最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.

3.求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数。；求出各个分数分母的最大公约数6；即

a

r35I[3,5]15

为所求.例如：f—,一]=---=一

412（4,12）4

[111_M_

注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如:4

23」（2,3）

4.倍数、公倍数、最小公倍数的关系

(1)倍数是对一个数说的；

(2)最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果加为A、3的最大公约数，且人=〃刈，B=mb,那么a、6互质，所以A、B的最小公倍数为mab,

所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

M|AB

ab

①AxB=maxmb=mxmab,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A、B、A+B、A—B及最小公倍数的约数.

2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(a,Z?)*[a,6]=axb,此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

“）奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍数

"偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍数为336+2=168

性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几

个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大

四'求约数个数与所有约数的和

1.求任一整数约数的个数

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数（次数）加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为23x52x7,所以它的约数有（3+l）x（2+l）x（l+l）=4x3x2=24个。（包括1和

1400本身）

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过

的数字“唯一分解定理''形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌

握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有

多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值

2.求任一整数的所有约数的和

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最

高次赛求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：21000=23X3X53X7,所以21000所有约数的和为

（1+2+22+23）（1+3）（1+5+52+53）（1+7）=74880

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记

忆即可。

模块一、求最大公约数

【例1】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能

裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？

【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】解答

【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长

方形的长和宽的公约数.由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的

长和宽的最大公约数.1米3分米5厘米=135厘米，1米5厘米=105厘米，（135,105）=15,长方

形纸块的面积为135x105=14175（平方厘米），正方形纸块的面积为15x15=225（平方厘米），共可

裁成正方形纸块14175+225=63（张）.

【答案】边长15,裁成63块

【巩固】一个房间长45（）厘米，宽33（）厘米.现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少

块（整块），才能正好把房间地面铺满？

【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】解答

【解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间

长、宽厘米数的公约数.由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公

约数.450和330的最大公约数是30.450+30=15,330+30=11,共需15x11=165（块）.

【答案】边长30,需要165块

【例2］将一个长和宽分别是是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是

()个。

(A)78(B)7(C)5(D)6

【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】选择

【关键词】华杯赛，初赛，第3题

【解析】本题不是求1833与423的最大公约数，因为题目没有强调是相同正方形，所以应该用辗转相处法，

求商，因为1833+423=4141,所以先切成423x423的共有4个剩下长方形141x423的

423+141=3,所以应该还可以切成3个，所以一共有4+3=7个，选择B

【答案】B

［例3］如图，某公园有两段路，48=175米，BC=125米，在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三点

各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯一个.

【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】填空

【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第7题

【解析】175与125的最大公约数为25,所以取25米为两灯间距，175=25x7,125=25x5,段应按7+1

=8盏灯，BC段应按5+1=6盏灯，但在8点不需重复按灯，故共需安装8+6—1=13(盏)

【答案】13盏

【例4】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个

小朋友？

【考点】求最大公约数【难度】3星【题型】解答

【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，革果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，

补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求

最多的人数，即是18和27的最大公约数9了.

【答案】9人

［例5］有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物

中，三样水果各多少？

【考点】求最大公约数【难度】3星【题型】解答

【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有(336,252,210)=42,即可以分42份，每份中有

苹果8个，桔子6个，梨5个.

【答案】42份，每份中有苹果8个、桔子6个、梨5个

【巩固】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这

些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼

此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？

【考点】求最大公约数【难度】3星【题型】解答

【解析】因为(320,240,200)=40,320+40=8,240+40=6,200+40=5,所以最多可分40份，每份中有

8个苹果6个桔子，5个鸭梨.

【答案】可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.

模块二、约数

【例6】2004的约数中，比100大且比200小的约数是.

【考点】约数【难度】I星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，初赛，第4题，5分

【解析】2004=3x4x167,所以结果为167

【答案】167

［例7］过冬了，小白兔只储存了180只胡萝卜，小灰兔只储存了120棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃,

小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜

可以换只胡萝卜。

【考点】约数【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，一试，第13题

【解析】方法一：若使他们存储粮食的数量相等，需要将小白兔的胡萝卜给小灰兔（180-120）+2=30（只），

但是本题需要去换，即若干次换完后要多30个胡萝卜即可，若想用十几颗大白菜换，而30里面只

有15这个约数是十几，所以需要换15次，，每次换后要多30+15=2（只），所以1棵白菜换了2+1=3

只胡萝卜

方法二：设1棵白菜换x只胡萝卜，灰兔用a棵白菜换胡萝卜，则ae（10,20）,

180-ax+a=120-a+a（x-l）=30=2x15,a=15,x-1=2,x=3,

即1棵白菜换了3只胡萝卜

【答案】3只

［例8］一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111,这个自然数是.

【考点】约数【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，六年级，决赛，第7题

【解析】因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶。而一个

数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数

的工，设这个次大约数为出则最大约数为2a,〃+2a=lll,求得a=37,2a=74,即所求数为74。

2

【答案】74

［例9］一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10,那么此数为几？

【考点】约数【难度】3星【题型】解答

【解析】最小的三个约数中必然包括约数1,除去1以外另外两个约数之和为9,由于9是奇数，所以这两个

约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的

倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7,所以这个两位数是

14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6,所以这个数只能是14或98,其中有6个约

数的是98.

【答案】98

【例10］如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍.现有一个整数

",除掉它的约数1和"外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数〃

有哪些？

【考点】约数【难度】3星【题型】解答

【解析】设整数〃除掉约数1和〃外，最小约数为a,可得最大约数为15a,那么"=axl5a=15/=3x5x〃2.则

2

3、5、a都为，7的约数.因为。是月的除掉约数1外的最小约数，那么“43.当a=2时，n=15x2=60;

当a=3时，〃=15x32=135.所以满足条件的整数”有60和135.

【答案】〃有60和135

模块三、公约数与最大公约数综合

【例11】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲

数的十位数字看错了，得乘积407,那么甲、乙两数的乘积应是.

【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】填空

【解析】乙数是473与407的公约数.473与407的最大公约数是11,11是质数，它的两位数约数只有11,所

以乙数是11,又4B4M,407=37x11,所以甲数是47,甲、乙两数的乘积应为：47x11=517.

【答案】甲、乙两数的乘积应为：47x11=517

【例12】用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数4和3,那么A、8、540这三个数的最大公约数

最大可能是.

【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】填空

【解析】540=22X33X5,A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数，而540的约数从大到小排列依

次为：540、270、180、135、108、90....由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不

是A和B的约数.由于A和B不能同时被5整除，所以135也不是A和8的公约数.540的约数除

去这些数后最大的为108,考虑108的三位数倍数，有108、216、324、432、540、648、756、864、

972,其中由2、3、4、5,6、7这六个数码组成的有324、432和756,易知当A和B一个为756、

另一个为324或432时，A、B、540这三个数的最大公约数为108,所以A、B、540这三个数的最

大公约数最大可能是108.

【答案】108

【例13］现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】解答

【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数.只能从唯一的条件“它

们的和是1111”入手分析.三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数.因为1111=11x101,

它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,

1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101,101和909.所以所求

数是101.

【答案】101

【例14】10个非零不同自然数的和是1（）01,则它们的最大公约数的最大值是多少？

【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】解答

【解析】设M为这10个非零不同自然数的最大公约数，那么这10个不同的自然数分别可以表示为：

Ma^Ma2,...,Mal（）,其中（a1（a2,...,a10）=1

那么根据题意有：

M（q+W+…+%o）=1001=7x11x13

因为10个不同非零自然数的和最小为55,所以历最大可以为13

【答案】13

【巩固】100个非0自然数的和等于2006,那么它们的最大公约数最大可能值是（）»

【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，决赛，第8题，10分

【解析】2006=2x17x59,现在要求最大公约数最大，则让整个一百个数的和除以约数后的商尽可能的小，且

还应该为2006的一个约数，100个非0自然数的和最小且符合是2006的一个约数的为2x59=118。

所以，最大公约数的最大可能值为17。

【答案】17

【例15】三个两两不同的正整数，和为126,则它们两两最大公约数之和的最大值为.

【考点】公约数与最大公约数综合【难度】5星【题型】填空

【关键词】迎春杯，高年级，决赛，11题

【解析】假设这三个数分别为“，b,c,S-a＜b＜c,则a+8+c=126,要求的是（。力）+伍,。）+（。,。）的最

大值.

由于（。力）是。和6的最大公约数，根据辗转相除法求最大公约数的过程，可以知道（。力）也是b-a和

”的最大公约数，而一个数的约数不可能比这个数大，所以（a⑼4a，（a,h）=（a,h-a）＜h-a.

同理可得，（&,c）＜c-b•,（a,c）＜a,（a,c）＜c-a.

由^a,b）＜a,（a,6）4h-a得到7（a,b）＜2a+5（b-d）=5h-3a：

由（6,c）4Z?,伍,c）4c-心得至I7（&,c）＜3/?+4（c-Z?）=4c-Z?；

由（a,c）4“，（a,c）4c-a得到7（a,c）47a;

三式相加可得7（a,i＞）+7（6,c）+7（a,c）45b-3a+4c-b+7a=4（a+0+c）,

44

故(q,b)+e，c)+(a,c)45(a+b+c)=5xl26=72.

也就是说(a,b)+(h,c)+(a,c)的最大值为72.

要使等号成立，必须使五个不等式(a,6)4a,(a,b)&b-a,(b,c)4b,^b,c)<c-b,(a,c)4a中的

等号都成立,即(a,b)=a,(a,b)=b-a,也c)=b,(b,c)=c-b,(a,c)=a,得到b=2a,c—4a,

即a:6:c=l:2:4时等号成立.在本题中就是a,b,c分别为18,36,72时它们两两最大公约数之

和取得最大值72.

小结：本题的结论1:2:4较容易猜到，但证明起来较困难.另外可能会有人猜到a:A:c=1:2:3时取

到最大值，这是错误的.

【答案】72

【例16】用19这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数.

【考点】公约数与最大公约数综合【难度】4星【题型】解答

【解析】1+2++9=45,是9的倍数，因而9是这些数的公约数.又123456789和123456798这两个数只

差9,这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数，所以9是这两个数的最大公约数.从

而9是这362880个数的最大公约数.

【答案】9

【例17】少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一

个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下

来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有个小朋友。

【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】设有如果有(1,2,3,4)=12个人，12个人做12个纸娃，6个泥娃，4个布娃，3个电动娃，共25个，

做100要4个12人，即48人.

【答案】48人

[例18]一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成，〃等份，用黑色刻度将它分成"等份(1)设x

是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1是，"和〃的公约数；(2)如果按刻度线将该木棍锯

成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根。试确定m和〃的值。

【考点】公约数与最大公约数综合【难度】5星【题型】解答

【关键词】华杯赛，决赛，14题，10分

【解析】①

—X—X…X----------X—X—X---X-----------=---------

23m23m2m

同样，8==2

2n

„,,m+\n+111111111113+力

②由题段，A-Bn=--------------------------，,—=—+——

2m2n2m2n26mn13加？21313

,13«

所以，m=--------,

13+8

13«以+13-13)一13x13

m=--------=——:-----------------=13-

13+M13+%13+«

即13+〃是13x13的因数，13x13只有3个因数：1,13,13?•所以,

甲追上乙的位置(3分)：③会判断丙在甲追上乙的时刻所爬行的距离(3分)。

即13+〃是13x13的因数，13x13只有3个因数：1,13,13。所以,

13+n=132,^=132—13=156,m=12。

求出正整，叫”的另一方法：使工一B=竺±1一四=_!——L=—111

———=—

2m2n2m2n26冽甩13

IIL_aI

设"z=K〃，n=Kb,(a,/?)=1,代入上式，=-——'-=—.

KaKbKab13

K1_1

(h一〃)和凡。都互质，一定整除K。记d=———是正整数，力>4则有：

b-a石一垣

由上式和〃>〃，b=13,a-\,d=l。所以，K=12,相和〃有唯一解，m二13,H=156O

甩+1

B=

2阀

」x2x...xEx2x，x...xQl=W

3.本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。

4.本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，

例如：(1)约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；

(2)整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为的结构,

而且表达形式唯一”

娜喃拨

二、约数'公约数与最大公约数概念

(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数，整数。能被整数b整除，a叫做6的倍数，b就叫做。的约数;

(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；

(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；

(4)0被排除在约数与倍数之外

1.求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,所以(231,252)=3x7=21：

2|1812

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如：3|96,所以(12,18)=2x3=6;

32

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数.用辍转相

除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除

小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前

一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数.(如果最后的除数是1,那么原

来的两个数是互质的).

例如，求600和1515的最大公约数：1515+600=2315;600+315=1285:315+285=130;

285+30=915;30+15=20;所以1515和600的最大公约数是15.

2.最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数：

③几个数都乘以一个自然数〃，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以”.

3.求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数4；求出各个分数的分子的

最大公约数6；即为所求.

a

4.约数、公约数最大公约数的关系

(1)约数是对一个数说的；

(2)公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数

二、倍数的概念与最小公倍数

(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数

(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数

(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

1.求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,«[231,252]=22x32x7x11=2772；

②短除法求最小公倍数；

2|1812

例如：3|96,所以[18,12]=2x3x3x2=36;

32

③3,句=广，

(a,h)

2.最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.

③两个教具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.

3.求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a;求出各个分数分母的最大公约数b;2即

「35_[3,5115

为所求.例如：[一,一1==—

412(4,12)4

注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：=，3=4

_23J(2,3)

4.倍数、公倍数'最小公倍数的关系

(1)倍数是对一个数说的；

(2)最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果为A、8的最大公约数，且A=mi,B=mb,那么a、b互质,所以A、3的最小公倍数为〃？

所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

M|AB

a.b

①AxB=maxmb=mx/nab,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A、B、A+B,A-8及最小公倍数的约数.

2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(a力)x[a,〃]=ax。，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍数

b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍数为336+2=168

性质(3)不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几

个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大

四、求约数个数与所有约数的和

1.求任一整数约数的个数

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为2?x52义7,所以它的约数有(3+l)x(2+l)x(l+l)=4x3x2=24个。(包括1和

1400本身)

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过

的数字“唯一分解定理''形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌

握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有

多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值

2.求任一整数的所有约数的和

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最

高次赛求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：21000=23X3X53X7,所以21000所有约数的和为

(1+2+22+23)(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=74880

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记

忆即可。

模块一、求最大公约数

【例19】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能

裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？

【巩固】一个房间长450厘米，宽330厘米.现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少

块(整块)，才能正好把房间地面铺满？

【例20】将一个长和宽分别是是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是

()个。

(A)78(B)7(C)5(D)6

【例21］如图，某公园有两段路，48=175米，8c=125米，在这两段路上安装路灯，要求4、B、C三点

各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯一个.

【例22】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个

小朋友？

【例23】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物

中，三样水果各多少？

【巩固】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这

些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼

此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？

模块二、约数

［例24］2004的约数中，比100大且比200小的约数是

【例25】过冬了，小白兔只储存了180只胡萝卜，小灰兔只储存了120棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃,

小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜

可以换只胡萝卜。

【例26】一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111,这个自然数是.

【例27】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10,那么此数为几?

【例28］如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍.现有一个整数

”,除掉它的约数1和“外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数“

有哪些？

模块三、公约数与最大公约数综合

【例29】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲

数的十位数字看错了，得乘积407,那么甲、乙两数的乘积应是.

【例30］用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和小那么A、B、540这三个数的最大公约数

最大可能是.

【例31］现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

［例32］10个非零不同自然数的和是1001,则它们的最大公约数的最大值是多少？

【巩固】100个非0自然数的和等于2006,那么它们的最大公约数最大可能值是（）o

【例33】三个两两不同的正整数，和为126,则它们两两最大公约数之和的最大值为

【例34】用19这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数.

【例35］少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一

个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下

来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有个小朋友。

［例36］一根长为心的木棍，用红色刻度线将它分成，”等份，用黑色刻度将它分成〃等份（机＞〃）。（1）设x

是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1是m和〃的公约数；（2）如果按刻度线将该木棍锯

成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根。试确定m和〃的值。

一年级（上）

一.准备课

1.数一数

2.比多少

二位置

1.上、下、前、后

2.左、右

三.1—5的认识和加减法

1.1—5的认识

2.比多少

3.第几

4.分和合

5.加法

6.减法

7.0

四.认识图形（一）

认识图形

五.6—10的认识和加减法

1.6和7

2.8和9

3.10

4.连加、连减、加减混合

六.11—20各数的认识

1.11-20各数的认识

2.10加几、十几加几和相应的减法

七.认识钟表

认识钟表

八.20以内的进位加法

1.9加儿

2.8、7、9加几

3.5、4、3、2加几

4.解决问题

一年级（下）

一.认识图形（二）

认识图形

二.2（）以内的退位减法

1.十几减9

2.十几减8、7、6

3.十几减5、4、3、2

4.解决问题

三.分类与整理

分类与整理

四.IO。以内数的认识

1.数数、数的组成

2.数的顺序、比较大小

3.解决问题

4.整十数加一位数及相应的减法

五.认识人民币

1.认识人民币

2.简单的计算

六.100以内的加法和减法（一）

1.整十数加、减整十数

2.两位数加一位数、整十数

3.两位数减一位数、整十数

4.解决问题

七.找规律

1.找规律（一）

2.找规律（二）

二年级（上）

一.长度单位

1.厘米和米

2.线段

二.100以内的加法和减法（二）

1.加法

2.减法

3.连加、连减和加减混合

三.角的初步认识

1.认识角

2.认识直角

3.认识钝角和锐角

四.表内乘法（一）

1.乘法的初步认识

2.5的乘法口诀

3.2、3、4的乘法口诀

4.6的乘法口诀

五.观察物体（一）

观察物体（一）

六.表内乘法（二）

7、8、9的乘法口诀

七.认识时间

认识时间

八.数学广角一搭配（一）

数学广角一搭配（一）

二年级（下）

一.数据收集整理

数据收集整理

二.表内除法（一）

1.除法的初步认识

2.用2-6的乘法口诀求商

3.解决问题

三.图形的运动（一）

1.轴对称图形

2.平移和旋转

四.表内除法（二）

1.用7、8、9的乘法口诀求商

2.解决问题

五.混合运算

混合运算

六.有余数的除法

1.有余数的除法的意义和计算

2.解决问题

七.万以内数的认识

1.1000以内数的识

2.10000以内数的认识

3.整百、整千数加减法

八.克和千克

克和千克

九.数学广角一推理

生活中的推理

三年级（上）

一.时、分、秒

1.秒的认识

2.时间的计算

二.万以内的加法和减法（一）

1.口算两位数加减两位数

2.几百儿十加减几百几十

3.三位数加减三位数的估算

三.测量

1.毫米、分米的认识

2.千米的认识

3.吨的认识

四•万以内的加法和减法（二）

1.加法

2.减法

五.倍的认识

倍的认识

六.多位数乘一位数

1.口算乘法

2.笔算乘法

3.含0的乘法

4.估算与解决问题

七.长方形和正方形

1.四边形

2.周长、长方形和正方形周长

八.分数的初步认识

1.分数的初步认识（一）

2.分数的初步认识（二）

3.分数的简单计算

4.分数的简单应用

九.数学广角一一集合

集合思想

三年级（下）

一位置与方向（一）

1认识东、南、西、北四个方向

2认识东北、东南、西北、西南四个方向

二除数是一位数的除法