新九年级数学时期讲义第7讲圆的认识-提高班(学生版+解析)

第7讲圆的认识1圆的认识1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

2.圆的性质

①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.3.两圆的性质

两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.4.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)

∴直径AB是⊙O中最长的弦.

5.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

5.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

6.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【例题精选】例1(2023秋•长兴县期中）已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可能是（）A．2 B．5 C．9 D．11例2(2023秋•江城区期中）如图，图中的弦共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条例3.(2023秋•江都区期中）自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征（）A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．直径是圆中最长的弦【随堂练习】1．(2023秋•滨海县期中）到定点的距离等于定长的点的集合是（）A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆2．(2023•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部 C．点A可以在圆O2的内部 D．点B可以在圆O3的内部3．(2023•资中县一模）下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心2垂径定理1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.注意：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题精选】例1(2023秋•铁西区期末）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为_________．例2(2023•新宾县二模）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝4，则⊙O的半径为________．【随堂练习】1．(2023秋•江津区期末）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，若⊙O的半径为5cm，AB＝8cm，则PD的长为______cm．2．(2023•顺义区二模）如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是_______cm．（结果保留一位小数）3．(2023秋•开福区校级期末）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为______．4．(2023•拱墅区校级模拟）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝_________．3弦、弧、圆心角的关系1.圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

【例题精选】例1(2023秋•吴兴区期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．例2(2023•泸县模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D分别是⊙O上的两点，OC⊥OD，AC＝2cm，BD＝cm，则⊙O的半径是（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm【随堂练习】1．(2023秋•天心区校级期中）下列说法正确的是（）A．等弧所对的弦相等 B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C．相等的弦所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等2．(2023秋•福田区期末）下图中∠ACB是圆心角的是（）A． B． C． D．3．(2023秋•鞍山期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．点B是劣弧CD的中点 C．OE＝EB D．点D是AB弧中点4．(2023秋•江阴市校级期中）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4圆周角定理1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

【例题精选】例1(2023•平邑县一模）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．70°例2(2023•南岗区校级二模）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（）A．70° B．110° C．120° D．140°【随堂练习】1．(2023•涪城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．120° C．130° D．150°2．(2023•富顺县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34° B．46° C．56° D．66°3．(2023秋•定州市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40° B．50° C．80° D．100°4．(2023•武汉模拟）如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（）A．30° B．40° C．50° D．60°5．(2023秋•香坊区期末）如图，⊙O中，∠ABC＝45°，则∠AOC等于（）A．55° B．80° C．90° D．135°综合练习一．选择题1．如图，AB、BC为⊙O的两条弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，则∠ABC的度数为（）A．120° B．100° C．160° D．150°2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（）A．70° B．80° C．75° D．60°3．如图，在圆O中，点A、B、C在圆上，∠OAB＝50°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝50°，则圆周角∠ACB的度数是（）A．50° B．25° C．100° D．30°5．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9二．解答题6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．8．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．（1）求证：BE∥AF；（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．第7讲圆的认识1圆的认识1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

2.圆的性质

①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.3.两圆的性质

两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.4.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)

∴直径AB是⊙O中最长的弦.

5.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

5.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

6.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【例题精选】例1(2023秋•长兴县期中）已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可能是（）A．2 B．5 C．9 D．11分析：根据圆中最长的弦为直径求解．【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．故选：D．【点评】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜L≤10．例2(2023秋•江城区期中）如图，图中的弦共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条分析：根据弦的定义解答即可．【解答】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，故选：B．【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解弦的定义，难度不大．例3.(2023秋•江都区期中）自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征（）A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．直径是圆中最长的弦分析：利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．【解答】解：因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，所以自行车车轮要做成圆形．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．【随堂练习】1．(2023秋•滨海县期中）到定点的距离等于定长的点的集合是（）A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆【解答】解：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．故选：C．2．(2023•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部 C．点A可以在圆O2的内部 D．点B可以在圆O3的内部【解答】解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；∵过点B、C的圆记作为圆O2，∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；∵过点C、A的圆记作为圆O3，∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．故选：B．3．(2023•资中县一模）下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．2垂径定理1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.注意：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题精选】例1(2023秋•铁西区期末）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为_________．分析：首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D∵CD＝4，OD＝10，∴OC＝6，又∵OB＝10，∴Rt△BCO中，BC＝＝8，∴AB＝2BC＝16．故答案为：16cm．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．例2(2023•新宾县二模）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝4，则⊙O的半径为________．分析：根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设⊙O的半径为R，∵EM＝4，∴OC＝R，OM＝4﹣R，∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD＝2，∴∠OMC＝90°，CM＝DM＝1，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，即R2＝（4﹣R）2+12，解得：R＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．【随堂练习】1．(2023秋•江津区期末）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，若⊙O的半径为5cm，AB＝8cm，则PD的长为______cm．【解答】解：连结OA，∵CD⊥AB，∴∠APO＝90°，PA＝PB＝，在Rt△OAP中，OP2+PA2＝OA2，∴OP2+42＝52，解得OP＝3，∴PD＝OD﹣OP＝5﹣3＝2（cm）故答案为2．2．(2023•顺义区二模）如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是_______cm．（结果保留一位小数）【解答】解：由垂径定理可知，圆的圆心在点O处，连接OA，由勾股定理得，OA＝＝，∴圆的周长＝2π≈8.9，故答案为：8.9．3．(2023秋•开福区校级期末）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为______．【解答】解：连接AO，∵AB＝6，OP⊥AB，∴AP＝3，∵AO＝5，∴OP＝＝＝4．故答案为：4．4．(2023•拱墅区校级模拟）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝_________．【解答】解：∵CE＝2，DE＝6，∴CD＝DE+CE＝8，∴OD＝OB＝OC＝4，∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，∵CD⊥AB，CD过O，∴AE＝BE＝2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，故答案为：4．3弦、弧、圆心角的关系1.圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

【例题精选】例1(2023秋•吴兴区期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．分析：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，利用等角的余角相等得到∠DOE＝∠AOC，则DE＝AC＝2，利用三角形内角和可计算出∠BDE＝135°，所以∠BDF＝45°，从而可计算出DF＝BF＝2，利用勾股定理计算出BE＝2，然后根据△BOE为等腰直角三角形可得到OB的长．【解答】解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2，∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，在Rt△BEF，BE＝＝2，∵△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝×2＝．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例2(2023•泸县模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D分别是⊙O上的两点，OC⊥OD，AC＝2cm，BD＝cm，则⊙O的半径是（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm分析：过点O作OE⊥AB，与圆交于点E，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CB于点G，连接CE、DE、BC．先证明四边形EDBC为等腰梯形，由BD＝，∠CBD＝45°，∠BDH＝45°，得到HB＝HD＝1，同理EG＝1，BC＝CG+GH+BH＝1+2+1＝4在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB＝，于是OA＝OB＝．【解答】解：过点O作OE⊥AB，与圆交于点E，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EG⊥BC于点G，连接CE、DE、BC．∴GH＝DE＝2∵OC⊥OD，OE⊥AB，∴∠COD＝∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠AOC＝∠EOD，∠COE＝∠BOD，∴AC＝DE＝2，CE＝BD＝，∵∠COD＝90°，∠BOE＝90°，∴∠CBD＝∠COD＝45°，∠BCE＝BOE＝45°，∴∠CED＝180°﹣∠CBD＝135°，∠BDE＝180°﹣∠BCE＝135°，∴∠CED+∠BCE＝180°，∴DE∥AB，四边形EDBC为等腰梯形，∵BD＝，∠CBD＝45°，∠DBH＝45°，∴HB＝HD＝BD＝1，同理EG＝1∵GH＝DE＝2，∴BC＝CG+GH+BH＝1+2+1＝4在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝AC2+BC2＝22+42＝20，∴AB＝，OA＝OB＝故选：C．【点评】本题考查了圆综合知识，熟练运用圆周角与圆心角与弦的关系是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•天心区校级期中）下列说法正确的是（）A．等弧所对的弦相等 B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C．相等的弦所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等【解答】解：A、正确．本选项符合题意．B、错误．应该是平分弦（此弦分直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项符合题意．C、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误．必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．故选：A．2．(2023秋•福田区期末）下图中∠ACB是圆心角的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、∠ACB不是圆心角；B、∠ACB是圆心角；C、∠ACB不是圆心角；D、∠ACB不是圆心角；故选：B．3．(2023秋•鞍山期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．点B是劣弧CD的中点 C．OE＝EB D．点D是AB弧中点【解答】解：A．AB＝2OB，而AB＞AD，故此选项错误；B．由AB⊥CD知点B是劣弧CD的中点，故此选项正确；C．OE与EB不一定相等，故此选项错误；D．当CD过圆心且AB⊥CD时，点D是AB弧中点，故此选项错误；故选：B．4．(2023秋•江阴市校级期中）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①正确；②在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；③圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；因此正确的结论是①②；故选：B．4圆周角定理1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

【例题精选】例1(2023•平邑县一模）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．70°分析：利用圆周角定理判断即可求出所求．【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝40°，∵∠BOC与∠BDC都对，∴∠D＝∠BOC＝20°，故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．例2(2023•南岗区校级二模）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（）A．70° B．110° C．120° D．140°分析：作所对的圆周角∠ADB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠ADB＝70°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：作所对的圆周角∠ADB，如图，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【随堂练习】1．(2023•涪城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．120° C．130° D．150°【解答】解：∵∠AOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，∴∠AOD＝50°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣50°＝130°，故选：C．2．(2023•富顺县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34° B．46° C．56° D．66°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．3．(2023秋•定州市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40° B．50° C．80° D．100°【解答】解：∵OB＝OC∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°故选：B．4．(2023•武汉模拟）如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠BCD＝30°，∴∠ABD＝∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°．故选：D．5．(2023秋•香坊区期末）如图，⊙O中，∠ABC＝45°，则∠AOC等于（）A．55° B．80° C．90° D．135°【解答】解：∵∠ABC与∠AOC是一条弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°．故选：C．综合练习一．选择题1．如图，AB、BC为⊙O的两条弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，则∠ABC的度数为（）A．120° B．100° C．160° D．150°【解答】解：在优弧上取点D，连接DA、DC，由圆周角定理得，∠D＝∠AOC，由圆内接四边形的性质得，∠ABC+∠D＝180°，∵∠AOC﹣∠ABC＝60°，∴2（180°﹣∠ABC）﹣∠ABC＝60°，解得，∠ABC＝100°，故选：B．2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（）A．70° B．80° C．75° D．60°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝130°，∴∠ABE＝180°﹣130°＝50°，∵AO⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝40°，∵AO⊥BC，