七年级数学下册专题05实数压轴四大类型(原卷版+解析)

专题05实数压轴四大类型考点一：利用数轴化简根式考点二：比较大小与实数估算考点三：新定义问题考点四：实数综合应用【考点一：利用数轴化简根式】【典例1】（2023春•白城期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是2﹣；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．【变式1-1】（2023春•海林市期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|a﹣c|﹣|a﹣b|的结果是（）A．2a﹣b﹣c B．b﹣c C．﹣b﹣c D．﹣2a﹣b+c【变式1-2】（2023秋•济宁期末）实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|＝．【变式1-3】（2022春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：+|a+b|+﹣|b﹣c|．【变式1-4】（2022秋•农安县期中）已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简．【考点二：比较大小与实数估算】【典例2】（2023秋•岳阳楼区期末）大家知道的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用﹣1来表示的小数部分（因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．（2）已知：21+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【变式2-1】（2023秋•华容县期末）下列整数中，与最接近的是（）A．7 B．6 C．5 D．4【变式2-2】（2022秋•驿城区期末）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2023的值是（）A．1 B．﹣1 C．10 D．36【变式2-3】（2023秋•昌黎县期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为．（1）的整数部分是，小数部分是；（2）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求3m﹣n2的值．【典例3】（2023秋•顺德区校级月考）比较大小，2.5；（填“＞”或“＜”）．【变式3-1】（2023春•大洼区校级期末）比较大小：．【变式3-2】（2023秋•裕华区校级期中）若a＝2，b＝3，c＝+2，则a，b，c之间的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【变式3-3】（2023春•益阳期末）2、、15三个数的大小关系是（）A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15【考点三：新定义问题】【典例4】（2023秋•碑林区校级月考）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（）A．80 B．6400 C．6560 D．6561【变式4-1】（2023春•青秀区校级期末）定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则△1的值为（）A． B． C． D．【变式4-2】（2023春•清丰县校级期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点四：实数综合应用】【典例5】（2023秋•市中区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9．（1）小正方形的边长为，它在和这两个连续整数之间；（2）请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号）【变式5-1】（2023•丰南区一模）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．（1）求出这个魔方的棱长；（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为．【变式5-2】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长；（2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．【变式5-3】（2023春•鄂城区期中）观察：∵4＜7＜9，∴2＜＜3∴的整数部分为2，小数部分为﹣2．（1）的整数部分是，10﹣的小数部分是；（2）小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由．一．选择题（共6小题）1．如图，点A，C都是数轴上的点，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（）A． B． C． D．2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|b|＝|c|，则下列结论错误的是（）A．a+c＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＜0 D．3．正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2022对应的点是（）A．D B．C C．B D．A4．已知a、b是表中两个相邻的数，且，则a＝（）x1919.119.219.319.419.519.619.719.819.920x2361364.81368.64372.49376.36380.25384.16388.09392.04396.01400A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.75．已知a是（﹣2）2的负的平方根，b＝，c＝，则a，b，c中最大的实数与最小的实数的差是（）A．﹣2 B．6 C．﹣8 D．﹣6．定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则△1的值为（）A． B． C． D．二．填空题（共3小题）7．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行次操作后变为2．8．如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝时，数轴上点B'表示的数是（用含a的代数式表示）．9．定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为．三．解答题（共6小题）10．阅读理解∵＜＜，即2＜＜3．∴的整数部分为2，小数部分为﹣2∴1＜﹣1＜2∴﹣1的整数部分为1．∴﹣1的小数部分为﹣2解决问题：已知：a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分，求：（1）a，b的值；（﹣a）3+（b+4）2的平方根．已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4，的整数部分是c，求3a﹣b+c的值．12．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．13．化简求值：（1）已知a是的整数部分，＝3，求的平方根．（2）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+2﹣|a﹣b|．14．计算下列各题（1）﹣﹣+|1﹣|（2）﹣+．15．阅读材料：我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位，虚数与我们学过的实数结合在一起叫做复数，一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．例如：计算（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i．根据上述材料，解决下列问题：（1）填空：i3＝，i4＝；（2）计算：（6﹣5i）+（﹣3+7i）；（3）计算：3（2﹣6i）﹣4（5﹣i）．专题05实数压轴四大类型考点一：利用数轴化简根式考点二：比较大小与实数估算考点三：新定义问题考点四：实数综合应用【考点一：利用数轴化简根式】【典例1】（2023春•白城期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是2﹣；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．【答案】（1）2﹣；（2）2；（3）±4．【解答】解：（1）m＝﹣+2＝2﹣；（2）∵m＝2﹣，则m+1＞0，m﹣1＜0，∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．（3）∵|2c+d|与互为相反数，∴|2c+d|+＝0，∴|2c+d|＝0，且＝0，解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，①当c＝﹣2，d＝4时，所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．②当c＝2，d＝﹣4时，∴2c﹣3d＝16，∴2c﹣3d的平方根为±4，答：2c﹣3d的平方根为±4．【变式1-1】（2023春•海林市期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|a﹣c|﹣|a﹣b|的结果是（）A．2a﹣b﹣c B．b﹣c C．﹣b﹣c D．﹣2a﹣b+c【答案】A【解答】解：由数轴可得c＜a＜0＜b，则a﹣c＞0，a﹣b＜0，那么|a﹣c|﹣|a﹣b|＝a﹣c﹣（b﹣a）＝a﹣c﹣b+a＝2a﹣b﹣c，故选：A．【变式1-2】（2023秋•济宁期末）实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|＝﹣2a．【答案】﹣2a．【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，∴|a﹣b|﹣|a+b|＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a．故答案为：﹣2a．【变式1-3】（2022春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：+|a+b|+﹣|b﹣c|．【答案】b．【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．【变式1-4】（2022秋•农安县期中）已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图示知，b＜a＜0．则a﹣b＞0，a+b＜0．所以原式＝a﹣b﹣（a+b）＝﹣2b．【考点二：比较大小与实数估算】【典例2】（2023秋•岳阳楼区期末）大家知道的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用﹣1来表示的小数部分（因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值1．（2）已知：21+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【答案】（1）1；（2）．【解答】解：（1）∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，∴a＝，∵，即，∴的整数部分为3，小数部分为，∴b＝3，∴＝＝＝1，故答案为：1；（2）∵，即，∴，即，∵21+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝24，y＝，∴x﹣y＝＝＝＝，∴x﹣y的相反数为：，故答案为：．【变式2-1】（2023秋•华容县期末）下列整数中，与最接近的是（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴6＜10﹣＜7，∵3.52＝12.25，且12.25＜13，∴＞3.5，∴10﹣＜6.5，∴与10﹣最接近的整数是6．故选：B．【变式2-2】（2022秋•驿城区期末）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2023的值是（）A．1 B．﹣1 C．10 D．36【答案】A【解答】解：∵，∴，∴的小数部分为，的小数部分为，∴∴，故选：A【变式2-3】（2023秋•昌黎县期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为．（1）的整数部分是4，小数部分是；（2）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求3m﹣n2的值．【答案】（1）4，；（2）．【解答】解：（1）∵，即，∴的整数部分是4，小数部分是，故答案为：4，；（2）∵，即，∴，，，∴的整数部分是3，小数部分是，∴m＝3，，∴3m﹣n2＝＝＝＝．【典例3】（2023秋•顺德区校级月考）比较大小，＜2.5；＞（填“＞”或“＜”）．【答案】＜，＞．【解答】解：∵，而6＜6.25，∴，∵4＜5，∴，∴，∴，故答案为：＜，＞．【变式3-1】（2023春•大洼区校级期末）比较大小：＞．【答案】＞．【解答】解：∵，∴，∴．故答案为：＞．【变式3-2】（2023秋•裕华区校级期中）若a＝2，b＝3，c＝+2，则a，b，c之间的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【答案】D【解答】解：∵≈1.414，≈2.236，∴a≈4.472，b≈4.242，c≈3.414，∴a＞b＞c，故选：D．【变式3-3】（2023春•益阳期末）2、、15三个数的大小关系是（）A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15【答案】A【解答】解：2＝，15＝，∵56＜225＜226，∴＜＜，∴2＜15＜．故选：A．【考点三：新定义问题】【典例4】（2023秋•碑林区校级月考）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（）A．80 B．6400 C．6560 D．6561【答案】C【解答】解：A、[]＝8，[]＝2，[]＝1，不符合题意；B、[]＝80，[]＝8，[]＝2，不是最大，不符合题意；C、∵，，，∴对6560只需进行3次操作后变为2，符合题意；D、∵，，，∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．故选：C．【变式4-1】（2023春•青秀区校级期末）定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则△1的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由题意得．故选：C．【变式4-2】（2023春•清丰县校级期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵min{，a}＝a，min{，b}＝．∴a＜，b＞．∵a，b是两个连续的正整数．∴a＝5，b＝6．∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．故选：D【考点四：实数综合应用】【典例5】（2023秋•市中区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9．（1）小正方形的边长为，它在2和3这两个连续整数之间；（2）请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号）【答案】（1）；2；3；（2）．【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜9，∴，∴它在2和3这两个连续整数之间．故答案为：；2；3．（2）阴影部分的面积为：．【变式5-1】（2023•丰南区一模）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．（1）求出这个魔方的棱长；（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为﹣1﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设魔方的棱长为x，则x3＝8，解得：x＝2；（2）∵棱长为2，∴每个小立方体的边长都是1，∴正方形ABCD的边长为：，∴S正方形ABCD＝＝2；（3）∵正方形ABCD的边长为，点A与﹣1重合，∴点D在数轴上表示的数为：﹣1﹣，故答案为：﹣1﹣．【变式5-2】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长；（2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．【答案】（1）5cm；（2）面积为32cm2，边长为cm，不是整数，5＜＜6．【解答】解：（1）面积为25cm2的正方形，其的边长为＝5cm，答：面积为25cm2的正方形，这个正方形的边长为5cm；（2）由拼图可知，大正方形的面积为32cm2，所以边长为cm，∵52＝25，62＝36，而25＜32＜36，∴5＜＜6，答：这个大正方形的面积为32cm2，边长为cm，不是整数，5＜＜6．【变式5-3】（2023春•鄂城区期中）观察：∵4＜7＜9，∴2＜＜3∴的整数部分为2，小数部分为﹣2．（1）的整数部分是6，10﹣的小数部分是7﹣；（2）小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由．【答案】（1）6，7﹣；（2）小明无法裁剪这两个正方形．【解答】解：（1）∵36＜47＜49，∴6＜＜7，∴的整数部分是6，∴10﹣的整数部分是3，10﹣的小数部分是7﹣，故答案为：6，7﹣；（2）设小正方形的边长为3xcm，则大正方形的边长为4xcm，根据题意得：（4x）2+（3x）2＝75，解得：x＝或x＝﹣（舍），∴小正方形的边长为3cm，大正方形的边长为4cm，∵3+4＝7＝＞＝10，∴小明无法裁剪这两个正方形．一．选择题（共6小题）1．如图，点A，C都是数轴上的点，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、B、﹣2处的点构成了直角三角形，∴AB＝＝，∵AB＝AC，∴AC＝，∴C点所表示的数为﹣+1，故选：A．2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|b|＝|c|，则下列结论错误的是（）A．a+c＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＜0 D．【答案】C【解答】解：∵|b|＝|c|，∴原点在表示b和c的两点之间线段的中点处，∴a＜b＜0，|a|＞|b|，c＞0，|a|＞|c|，∴a+c＜0，a﹣b＜0，ab＞0，，∴A，B，D选项的计算正确，C选项的计算错误，故选：C．3．正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2022对应的点是（）A．D B．C C．B D．A【答案】C【解答】解：∵正方形纸板ABCD在数轴上点A、D对应的数分别为1、0，∴正方形ABCD的边长为1，∴转动时点A对应的数依次为1、5、9、……；B点对应的数依次是2、6、10、……；C点对应的数依次是3、7、11、……；D点对应的数依次是4、8、12、……；2022＝4×505+2，故对应的是第505次循环后，剩余第二个点，即B点．故选C．4．已知a、b是表中两个相邻的数，且，则a＝（）x1919.119.219.319.419.519.619.719.819.920x2361364.81368.64372.49376.36380.25384.16388.09392.04396.01400A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7【答案】A【解答】解：∵19.42＝376.3，19.52＝380.2，∴376.3＜380＜380.2，∴，∴，∴a＝19.4，故选：A．5．已知a是（﹣2）2的负的平方根，b＝，c＝，则a，b，c中最大的实数与最小的实数的差是（）A．﹣2 B．6 C．﹣8 D．﹣【答案】B【解答】解：∵a是（﹣2）2的负的平方根，b＝，c＝，∴a＝﹣2，b＝2，c＝﹣4，∴a，b，c中最大的实数为2，最小的实数为﹣4，∴2﹣（﹣4）＝6，故选：B．6．定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则△1的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由题意得．故选：C．二．填空题（共3小题）7．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行3次操作后变为2．【答案】3．【解答】解：根据定义进行运算得，将36按照题目的定义进行运算求解．36{}＝6{}＝3{}＝2，∴对36只需进行次操作后变为3，故答案为：3．8．如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝时，数轴上点B'表示的数是或2﹣（用含a的代数式表示）．【答案】或2﹣．【解答】解：因为正方形面积为a，所以边长AB＝，当向右平移时，如图1，因为重叠部分的面积为S＝AB'•AD＝，AB'×＝，所以AB'＝1，所以平移距离BB'＝AB﹣AB'＝﹣1，所以OB'＝OB+BB'＝＝，则B'表示的数是；当向左平移时，如图2，因为重叠部分的面积为S＝A'B•A'D'＝，A'B×＝，所以A'B＝1，所以平移距离BB'＝A'B'﹣A'B＝﹣1，所以OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（﹣1）＝2﹣，则B'表示的数是2﹣．9．定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为35．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：∵5≤＜6，∴25≤n＜36，∴n的最大整数为35．故答案为：35．三．解答题（共6小题）10．阅读理解∵＜＜，即2＜＜3．∴的整数部分为2，小数部分为﹣2∴1＜﹣1＜2∴﹣1的整数部分为1．∴﹣1的小数部分为﹣2解决问题：已知：a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分，求：（1）a，b的值；（2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根．【答案】见试题解