人教B版高中数学选择性必修第一册综合测试(二)含答案

全书综合测评(二)全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线3x+2y-1=0的一个方向向量为v=(1,m),则m的值为()A.22.若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与b的夹角的余弦值为-26A.-3B.11C.3D.-3或113.如图,在空间四边形ABCD中,向量AB=(−3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.1,4.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于()A.14B.34C.14或45D.34或145.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1的中点为E,则二面角A-BE-B1的余弦值为()A.-106.已知双曲线x2A.1B.2C.3D.47.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线PQ过FA.108.已知圆O(O为坐标原点)与直线x+y+42=0相切,点P在直线x=8上,过点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点的坐标为()A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是()A.若对空间中任意一点O,有OP=B.已知向量a=(9,4,-4),b=(1,2,2),则a在b上的投影向量为(1,2,2)C.若直线l的方向向量为e=(1,0,3),平面α的法向量为n=-2D.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,a+c}是空间向量的另一组基底10.设F是抛物线C:y2=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.|AB|≥4B.|OA|+|OB|>8C.若点P(2,2),则|PA|+|AF|的最小值是3D.△OAB的面积的最小值是211.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E,F分别是BC,A1C1的中点,点D在线段B1C1上,则下面说法中正确的有()A.EF∥平面AA1B1BB.若D是B1C1的中点,则BD⊥EFC.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为2D.当直线BD与直线EF所成的角最小时,线段BD的长为312.设动直线l:mx-y-2m+3=0(m∈R)交圆C:(x-3)2+(y-2)2=3于A,B两点,则下列说法正确的是()A.直线l过定点P(2,3)B.当|AB|取得最大值时,m=1C.当∠ACB最小时,其余弦值为14D.AB·三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0),B(-4,0)两点,则圆C的方程为.

14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)与原点之间的距离d的最小值等于.

15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF16.如图,在平面四边形ABCD中,|AB|=|BC|=3,|CD|=1,|AD|=5,∠ADC=90°.沿直线AC将△DAC折起到△D'AC的位置,则AC·BD'=四、解答题(本题共6小题,共70分)17.(10分)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).(1)若直线l与圆C交于A,B两点,|AB|=46,求实数m的值;(2)求证:无论m取什么实数,直线l与圆C恒交于两点;(3)求直线l被圆C截得的最短弦长以及此时直线l的方程.18.(12分)下图是一个半圆柱,E为半圆弧CD上一点,|CD|=5.(1)若|AD|=25,求四棱锥E-ABCD的体积的最大值;(2)有三个条件:①4DE·DC=19.(12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1·k2是不是定值?证明你的结论.20.(12分)已知点E到直线l:y=-2的距离比到点F(0,1)的距离大1.设点E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若P(x0,y0)为直线l上任意一点,过点P作曲线C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,求点F到直线MN的距离的最大值.21.(12分)如图,将等腰直角△ABC沿斜边AC旋转,使得点B移到点B'的位置,且BB'=AB.(1)证明:平面AB'C⊥平面ABC;(2)求二面角B-AB'-C的余弦值;(3)若在棱CB'上存在点M,使得CM=μCB',μ∈122.(12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点P(-3,2),|PF|=25,过点P作直线与抛物线E顺次交于A,B两点,过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为C.(1)求证:直线BC过定点;(2)若直线BC所过定点为Q,△QAB,△PBC的面积分别为S1,S2,求S1

答案与解析全书综合测评(二)1.D2.A3.B4.D5.A6.C7.A8.A9.ABD10.ACD11.ACD12.AD1.D直线3x+2y-1=0的斜率为-32,所以m=-32.A∵cos<a,b>=a·b|3.B由题图得,EF=所以2EF==BA+所以EF=(-2,-3,-3).故选B.4.D设圆C1、圆C2的半径分别为r1,r2.圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a,所以C1(3,-2),C2(7,1),r1=1,r2=50-由题意得两圆相切,所以|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|.因为|C1C2|=42+32=5,所以5=1+解得a=34或a=14.故选D.5.A如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,0,1),B1(2,2,2),∴AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则n取x=1,得n=(1,0,2),设平面BB1E的一个法向量为m=(a,b,c),则m·EB=2a+2b设二面角A-BE-B1的平面角为θ,由图知θ为钝角,∴cosθ=-|m6.C由双曲线x24−当弦AB仅过双曲线右支时,通径最短,长度为2b因为|AB|=4>3,所以符合条件的直线有2条.当弦AB过双曲线的两支时,实轴最短,长度为2a=4,因为|AB|=4,所以符合条件的直线有1条.故选C.7.A设2|PF1|=3|PF2|=6|QF1|=6t>0,|F1F2|=2c,则|PF1|=3t,|PF2|=2t,|QF1|=t.连接QF2,由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a,所以|QF2|=2a-t=4t,所以a=52在△PF1F2中,由余弦定理得4t2=9t2+4c2-2×2c×3t×cos∠PF1F2.在△QF1F2中,由余弦定理得16t2=t2+4c2-2×2c×t×cos∠QF1F2.因为∠PF1F2+∠QF1F2=π,所以cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0,所以4t2+3×16t2=(9t2+4c2-2×2c×3t×cos∠PF1F2)+3(t2+4c2-2×2c×t×cos∠QF1F2),即52t2=12t2+16c2,所以c=102所以椭圆的离心率e=ca8.A依题意得,圆O的半径r=4212+12=4,所以圆O的方程为x2+y2=16.连接OA,OB,OP.因为PA,PB是圆O的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上.设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+y-b9.ABD因为14a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>·b|b|=|a|·a·b|e·n=1×(-2)+0+3×23=0,则e⊥n假设a+b,b+c,a+c共面,则存在m,n∈R,使得a+b=m(b+c)+n(c+a)=na+mb+(m+n)c,则n=1故选ABD.10.ACDF(1,0),不妨设点A在第一象限.①若直线l的斜率不存在,则A(1,2),B(1,-2),则|AB|=4,|OA|+|OB|=2|OA|=25<8,S△OAB=12②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),显然k≠0,联立y=k(x-1),y2设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k∴|AB|=x1+x2+2=4+4k2>4,原点O到直线l的距离d=∴S△OAB=12·|AB|·d=1综上,|AB|≥4,S△OAB≥2,故A,D正确;如图,过点A向准线作垂线,垂足为N,则|PA|+|AF|=|PA|+|AN|,故当P,A,N三点共线时,|PA|+|AF|取得最小值3,故C正确.故选ACD.11.ACD建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,1,2),设D(x,2-x,2),则B1(x-2,2-x,2).在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,可得AC为平面AA1B1B的一个法向量,AA对于A,易知AC=(0,2,0),因为EF·AC=0,所以EF⊥AC,又EF⊄平面AA1B1B,所以EF∥平面AA1B对于B,若D是B1C1的中点,则BD=(-1,1,2),所以EF·对于C,易知AA1=(0,0,2),设直线EF与平面ABC所成的角为θ,则sinθ=cos<对于D,设B1D=λB1C1=(-2λ,2λ,0)(0≤λ≤1),则BDλ=14时,cos<BD,∴BD=|BD12.AD对于A,由mx-y-2m+3=0得m(x-2)-y+3=0,由x-对于B,易知圆C的圆心为C(3,2),半径r=3,当直线l经过圆心C(3,2)时,|AB|取得最大值,为23,所以3m-2-2m+3=0,解得m=-1,故B不正确;对于C,显然点P在圆C内,设圆心C(3,2)到直线l的距离为d,则|AB|=2(3)2-d2=23-d2对于D,AB·AC=|AB|·|AC|·cos∠BAC=|AB|·|AC|·12|AB||AC|即AB·13.答案(x+3)2+(y-2)2=5解析线段AB的中垂线方程为x=-3,把x=-3代入x-2y+7=0,得y=2,故圆心C(-3,2),由两点间的距离公式得半径r=|AC|=5,∴圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=5.14.答案5解析由y=2x,x+15.答案1解析∵PF2·F1F2=0,∴PF2△F1OH∽△F1PF2,∴|OH||PF2|∴2a2m+b2m=b2,整理得b2a216.答案2;6解析由题可知|AC|=|CD|2在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=|BC|cos∠ACB=6×3×66(-cos∠ACD')=6×1×-6当平面D'AC⊥平面ABC时,设异面直线AC与BD'所成的角为θ,以AC的中点O为原点,OB的方向为x轴正方向,OA的方向为y轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,作D'E⊥AC于点E,易知D'E⊥平面ABC,则|OB|=|∴|OE|=|CO|−|CE|=62∴AC=(0,−617.解析易得圆C的圆心为C(1,2),半径r=5.(1分)(1)由题意得|2m+1+2(2)证明:方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)可化为m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,∴2x∵|PC|=(3∴无论m取什么实数,直线l与圆C恒交于两点.(7分)(3)当直线l所过的定点为弦的中点,即l⊥PC时,直线l被圆C截得的弦长最短,此时最短弦长为2r2∵kPC=1-2318.解析(1)过点E作EF⊥CD于点F,因为平面ABCD⊥平面EDC,平面ABCD∩平面EDC=DC,所以EF⊥平面ABCD.(2分)因为E为半圆弧CD上一点,所以CE⊥ED,所以VE-ABCD=13×S四边形ABCD×|EF|=1因为|CE|2+|ED|2=|CD|2=5,所以VE-ABCD≤25当且仅当|CE|=|ED|=102所以四棱锥E-ABCD的体积的最大值为55(2)由条件①,得4|DE||DC|cos∠CDE=|CE||CD|cos∠DCE,即4|DE|又因为|DE|2+|CE|2=5,所以|DE|=1,|CE|=2.因为AD∥BC,BC⊥平面DCE,所以∠CBE为异面直线AD与BE所成的角,BC⊥CE,所以Rt△CBE中,sin∠CBE=|CE||由条件②,得sin∠CBE=23,所以tan∠CBE=2由条件③,得sin∠EABsin∠EBA若选条件①②,则|DE|=1,|CE|=2,且|CE||BC|若选条件①③,则|DE|=1,|CE|=2,且x2+|若选条件②③,则|CE|x=tan∠CBE=255,且x2+即从①②③中任选两个作为条件,都可以得到|DE|=1,|CE|=2,|AD|=|BC|=5.(9分)下面求AD与平面EAB所成角的正弦值.以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为z轴,过点A且与平面ABCD垂直的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,0,所以AE=设平面EAB的一个法向量为m=(a,b,c),则AE令c=1,则a=0,b=-52,所以m=0设直线AD与平面EAB所成的角为θ,θ∈0,则sinθ=|cos<AD,m>|=55所以cosθ=1-所以AD与平面EAB所成角的余弦值为52919.解析(1)由题知,直线AB的方程为xa由圆O与直线AB相切,得aba2+设椭圆E的半焦距为c,则e=ca由①②得a2=4,b2=1.故椭圆E的标准方程为x24+y(2)k1·k2是定值,且k1·k2=14由(1)得直线AB的方程为y=-12故可设直线DC的方程为y=-12设C(x1,y1),D(x2,y2),联立x24+y2则Δ=8-4m2>0,∴-2<∴x1+x2=2m,x1x2=2m2-2.又k1=y1∴k1·k2=y1x=m220.解析(1)由题意得,点E到直线l':y=-1的距离等于点E与点F(0,1)之间的距离,则点E的轨迹是以F为焦点,直线l'为准线的抛物线.(2分)设其方程为x2=2py(p>0).由题意得p2=1,解得p=2,所以曲线C的方程是x2(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),过曲线C上点M(x1,y1)的切线方程为y-y1=k(x-x1).由x2=4y,y-y1令Δ=(-4k)2-4×4(kx1-y1)=0,又x12=4y1,所以k=x12.所以过曲线C上点M(x1,y1)的切线方程为y-y1=x1又切线过点P(x0,y0),所以y0=x12x0−x124同理,过点N(x2,y2)的切线方程为y=x2又切线过点P(x0,y0),所以y0=x22x0−x224所以点M(x1,y1),N(x2,y2)均满足y0=x2x0-y,即x0x=2(y0又P(x0,y0)为直线l:y=-2上任意一点,所以y0=-2,所以直线MN的方程为x0x=2(y-2).所以点F(0,1)到直线MN的距离d=2x02+4,当x所以点F到直线MN的距离的最大值为1.(12分)21.解析(1)证明:取AC的中点O,连接OB,OB'.由题意得BB'=AB=AB'=BC=B'C,在△AB'C中,因为O为AC的中点,所以OB'⊥AC,即∠B'OC=90°.易知△OBB'≌△OCB',则∠B'OB=∠B'OC=90°,即B'O⊥OB.(2分)因为AC∩OB=O,所以B'O⊥平面ABC.因为B'O⊂平面AB'C,所以平面AB'C⊥平面ABC.(4分)(2)不妨设OA=1,由(1)知B'O⊥平面ABC,易知OB⊥AC.如图,以O为坐标原点,OC,OB,OB'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(0,1,0),B'(0,0,1),C(1,0,0),所以AB=(1,1,0),设平面ABB'的一个法向量为n=(x,y