人教B版高中数学选择性必修第一册2-5-2椭圆的几何性质练习含答案

2.5.2椭圆的几何性质基础过关练题组一利用方程研究椭圆的几何性质1.(多选题)(2023安徽亳州蒙城一中期中)已知椭圆C:x2A.长轴长为6B.短轴长为2C.焦距为22D.离心率为22.已知F1,F2分别为椭圆x2△AF1F2的面积为()A.6B.15C.673.(2023福建龙岩一中月考)椭圆x225+A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等4.(2023山东淄博期中)已知椭圆C:x2a2△OAB的面积为32A.2B.4C.35.(多选题)(2022重庆凤鸣山中学期中)已知F1,F2分别为椭圆x2A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1||MF2|的最大值为4C.∠F1MF2的最大值为60°D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为x22+题组二根据几何性质求椭圆的标准方程6.(2022四川自贡期末)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,其面积为43π,过点F1的直线l与椭圆C交于点A,B且△F2AB的周长为16,则椭圆C的方程为()A.y2C.x27.(2022北京第一七一中学期中)已知P1(1,1),P2(0,1),P3-P4A.8B.6C.4D.28.过点(2,3),焦点在x轴上且与椭圆x2A.x2C.x29.(2022河南濮阳范县第一中学月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1=π2,且△F1PF2A.x2C.x210.(2024四川眉山彭山第一中学月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,离心率为23,过F111.(2024黑龙江哈尔滨第九中学月考)给定椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;(2)若点A,B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点,P是椭圆C上的一个动点,求AP·题组三椭圆的离心率问题12.(2024浙江杭州期中)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-3213.(2024山东临沂临沭期中)已知椭圆C:x2A.3−1C.314.(2024天津南开中学学情调查)已知椭圆C:x2A.315.(2024浙江台州八校联盟期中)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为FA.0,C.316.(2023湖南部分学校联考)若2<m<8,椭圆C:x2m+y22=1与椭圆D:x2m+y2能力提升练题组椭圆的几何性质的综合应用1.(2023江苏无锡市北高级中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F范围是()A.[3C.222.(2022四川成都树德中学期中)已知两定点A(-3,0)和B(3,0),动点P(x,y)在直线l:y=-x+5上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的短轴长的最小值为()A.22B.4C.263.(2024安徽合肥第一中学质量检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,左、右焦点分别为F1A.-C.-4.(2022福建师范大学附属中学期中)已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2bA.05.(2024湖南长沙雅礼中学期中)在焦点在x轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积的取值范围是72A.29C.336.(多选题)(2022山东泰安月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为FA.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率e的取值范围为0D.若PF17.(2023山东省实验中学期中)已知F为椭圆C:x2a2+y8.(2022安徽宣城七校联考)已知椭圆x24+y23=1的右焦点为F,点M在☉O:x

答案与分层梯度式解析2.5.2椭圆的几何性质基础过关练1.ABD2.D3.C4.B5.BCD6.A7.D8.D9.A12.D13.A14.B15.D1.ABD由题意得2×3=3×2m,解得m=1,故椭圆C的方程为y29+x2=1,所以a2=9,b2=1,c2=8,所以椭圆C的长轴长2a=6,短轴长2b=2,焦距2c=42,离心率e=ca2.D由椭圆方程x216+y=27,∴S△AF1F2=13.C椭圆x225+椭圆x29-k+y225-k=1(k<9且k≠0)的长轴长为24.B当直线AB过椭圆的右焦点并垂直于x轴时,|AB|=2b2a,所以c5.BCD由椭圆方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,因此F1(-1,0),F2(1,0).A中,|MF2|max=a+c=3,故A错误.B中,|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MC中,当点M为短轴的端点时,∠F1MF2取得最大值,令M(0,3),则tan∠F1MF22=D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y),∵|PA|·|PB|=2,∴|x-x1|·|x+x1|=2,∴|x2-x12|=2,即x12=x2-2或又x124化简得x26+2y296.A依题意得4×43ππ由题意,结合椭圆的定义可得4a=16,所以a=4,所以b=3,又椭圆的焦点在y轴上,故椭圆的方程为y27.D由于椭圆关于y轴对称,且P3-1,32,P41,3若P1(1,1)在椭圆上,则1a2+1b2=1.因为P3,P因此P2(0,1),P3-1,32,P41,38.D设所求椭圆方程为x24+y23=λ(λ>0),将(2,3)代入可得9.A易知△F1PF2中,内切圆半径r=|P为ca=34,所以a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7,所以椭圆C的方程为10.答案x2解析由椭圆的离心率为23得a=3因为AQ∥PF2,所以△AF1Q∽△F2F1P,又|A所以△AF1Q的周长与△F2F1P的周长之比为1∶4,因为△AF1Q的周长为52所以△F2F1P的周长为10,即2a+2c=10,又a=32c,所以a=3,c=2,所以b2故椭圆的标准方程为x211.解析(1)由题意知c=2,a=b2+c2=3,故b=a2(2)设P(m,n)(-3≤m≤3),则m23+n不妨设A(2,0),B(-2,0),则AP=(m−2,n),BP=(m+2,n),所以AP·BP=m2−4+n所以AP·12.D因为PF1⊥PF2,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=3c.由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=(3+1)c=2a,所以离心率e=ca=213.A设椭圆的右焦点为E,连接AE,BE,易得A,B关于原点对称,所以O为AB,EF的中点,又AF⊥FB,所以四边形AEBF为矩形,所以∠BFE=∠ABF=30°,所以|BE|=12由椭圆的定义可得|BE|+|BF|=c+3c=2a,故该椭圆的离心率e=ca=214.B不妨设F(c,0),P(c,y0).因为点P(c,y0)在椭圆上,所以c2a2+y02b2=1,解得y0因为△POQ为等腰直角三角形,所以|PF|=|OF|,即b2a=c,即a2-c2=ac,所以e2+e-1=0,解得e=5-1215.D设椭圆的上顶点为B,坐标原点为O,连接BF1,BF2,则|BF1|=|BF2|=a,|OF2|=c.若椭圆上存在点Q,使得∠F1QF2=120°,则∠F1BF2≥120°,所以∠OBF2≥60°,显然∠OBF2<90°,所以32≤sin∠OBF2<1,即3所以椭圆的离心率e的取值范围为32,116.答案0解析易得e1=1-2m,e2=1-m8,所以e1e2=1-能力提升练1.C2.B3.B4.A5.C6.ACD1.C由椭圆的中心对称性和M,F1,N,F2四点共圆,知四边形MF1NF2为矩形,所以以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点,则c>b,所以c2>a2-c2,即2c2>a2,故22<e<1.故选C2.B设点A(-3,0)关于直线l:y=-x+5的对称点为A'(x0,y0),则y0根据椭圆的定义可知,2a=|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|=(5当A',P,B三点共线时,长轴长2a取最小值217,即amin=17,又a2=b2+c2且c=3,所以b=a2-c2=3.B由题意知e=ca=32,a+c=2+3,所以a=2,c=设P(2cosθ,sinθ),又F1(-3,0),F2(3,0),所以所以cos∠F1PF2=PF1·4.A设点P的坐标为(xP,yP).由题意得12×(2a+2c)×2∴(a+c)×c=2c×|yP|≤2bc,∴a+c≤2b,∴(a+c)2≤2b2,∴a2-2ac-3c2≥0,∴(a+c)(a-3c)≥0,∴a≥3c,∴0<e≤13.故选A5.C设椭圆的标准方程为x2不妨设矩形ABCD的对角线AC所在直线的方程为y=kx(k>0),由x2解得x2=a2所以矩形ABCD的面积S=4|xy|=4a2b由题意得72b2≤2ab≤92b2,则74b≤a≤94b,即4916b2≤a2≤8116b2,即4916(a2-c2)≤a2≤8116(a2-c6.ACD因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,当点Q在F2P的延长线上时取等号,故A正确;若椭圆C的短轴长为2,即2b=2,则b2=1,a2=2,所以椭圆的方程为x22+y2=1,又122+12>1,则点P在椭圆外,所以短轴长不可能为2,故B错误;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以1a2+1b2<1,又a2-b2=1,所以1a2+1a2-1<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>(1+5)24,所以a>1+52,所以e=ca<5-12,所以e∈07.答案2解析设F(c,0),Mc2,y0,将Mc2,设线段OF的垂直平分线与x轴的交点为E(图略),则△MOE为直角三角形,因为cos∠MOF=37,所以|设|OE|=c2所以|ME|=|y0|=72所以b21-c24又a2-b2=c2=36,所以b2=a2-36,②把②代入①,得a4-85a2+324=0,解得a2=81或a2=4(舍去),故a=9,所以椭圆C的离心率e=ca8.答案4解析由椭圆方程得F(1,0).设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>0,x2>0,则|PF|2=(x1