人教B版高中数学必修第二册6-1-4数乘向量6-1-5向量的线性运算练习含答案

6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算基础过关练题组一数乘向量的概念1.(2023安徽马鞍山二中质检)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的为()①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.A.①④B.①②C.①③D.③④2.已知λ∈R,则下列命题正确的是()A.|λa|=λ|a|B.|λa|=|λ|aC.|λa|=|λ||a|D.|λa|>03.(2023河南郑州中牟一中月考)设a是非零向量,λ是非零实数,则()A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|-λa|≥|a|D.|-λa|≥|λ|a题组二向量的线性运算4.(多选题)(2024陕西西安期中)下列命题中,正确的是()A.(-5)(6a)=-30aB.7(a+b)+6b=7a+13bC.若a=m-n,b=3(m-n),则a,b共线D.(a-5b)+(a+5b)=2a,则a,b共线5.(2022辽宁大连期末)在△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的点,且AP=13AB,BQ=13BC,若A.13a+13bB.-13aC.13a-13bD.-13a6.(2024河北承德期中)在△ABC中,AC=2DC,CB=2BE,CA=A.-12a+32bB.12aC.-12a-32bD.12a7.(多选题)(2024黑龙江哈尔滨期中)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A.ACC.MN8.(2022浙江宁波镇海中学期末)如图所示,在▱ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=.(用a,题组三三点共线问题9.(2024陕西铜川期中)在△ABC中,若3BD=2A.在直线AB上B.在直线AC上C.在直线BC上D.为△ABC的外心10.如图,在△ABC中,AC的中点为E,AB的中点为F,延长BE至点P,使EP=BE,延长CF至点Q,使FQ=CF.试用向量的方法证明P,A,Q三点共线.能力提升练题组一向量的线性运算1.(多选题)(2022辽宁六校协作体期中)已知M为△ABC的重心,D为BC的中点,则下列结论正确的是()A.|MA|=|B.MA+C.BM=D.CM2.(2022山西怀仁第一中学期末)已知O是△ABC内一点,满足AO=23AB+12BCA.3∶1B.1∶3C.2∶1D.1∶23.(多选题)(2024海南直辖县级单位模拟)已知某建筑物的底层玻璃的形状如图所示,其中间为一个正六边形,四周是以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出的六个正方形,则在该图形中,下列说法正确的是()A.GH=B.BEC.GB=D.IC4.(2022北京理工大学附属中学月考)已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=OA+λAB|ABA.重心B.外心C.内心D.垂心5.(2024湖南邵阳期中)如图,在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上靠近点C的三等分点,点F为BE的中点,若AF=xAB+y6.(2024福建福州适应性考试)若M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则△ABM与题组二三点共线问题7.(2024安徽亳州期中)已知向量a,b不共线,AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则()A.A,B,C三点共线B.A,C,D三点共线C.A,B,D三点共线D.B,C,D三点共线8.(多选题)(2023辽宁大连期末)已知P是△ABC所在平面内一点,且PA+2A.向量PA与B.点P在线段EF上C.|PE|∶|D.S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=1∶2∶3

答案与分层梯度式解析6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算基础过关练1.B2.C3.B4.ABC5.A6.A7.AC9.A1.B①和②属于数乘向量的分配律,命题均正确;③中,若m=0,则不能推出a=b,命题错误;④中,若a=0,则m,n的大小关系无法确定,命题错误.2.C当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,A错误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,B错误;易知C正确;当λ=0或a=0时,|λa|=0,D错误.故选C.3.B当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,A错误;因为λ为非零实数,所以λ2>0,故a与λ2a的方向相同,B正确;|-λa|=|-λ||a|,因为|-λ|与1的大小关系不确定,所以|-λa|与|a|的大小关系不确定,C错误;|λ|a是向量,而|-λa|是实数,两者不能比较大小,D错误.4.ABC(-5)(6a)=(-5×6)a=-30a,故A正确;7(a+b)+6b=7a+7b+6b=7a+13b,故B正确;因为a=m-n,b=3(m-n),所以b=3a,所以a,b共线,故C正确;因为(a-5b)+(a+5b)=2a恒成立,所以a,b不一定共线,故D错误.5.A如图所示,PQ=BQ−BP=13BC6.A如图,由题意得CE=所以DE=CE−CD=7.ACAC=AD+DCMC=MN=MA+ADBC=BA+AD8.答案14b-1解析MN=MB+BA9.A因为3BD=2所以A,B,D三点共线,所以点D在直线AB上.10.证明因为E是AC的中点,F是AB的中点,所以AE=因为BE=EP,CF=FQ,所以BE=所以AP=AE+又因为向量AP与所以P,A,Q三点共线.能力提升练1.BC2.A3.ACD4.C1.BC三角形的重心到三个顶点的距离不一定相等,A错误;由M为△ABC的重心可得,MA=同理,MB=−所以MA+MB+MC因为MB=−13(BA+CM=2.AAO=23AB+1∴S△ABC∶S△OBC=3∶1.故选A.3.ACD易知BCBD=33,则GAAE=易知CF=2DE,故BE=GB=GA+AB因为IC=IB+BC,BC4.C易知AB|AB|则表示AB|AB|由OP=可得OP−OA=λ所以点P的轨迹为∠BAC的平分线所在直线,故点P的轨迹一定经过△ABC的内心.故选C.5.答案7解析AF=所以x=56,y=16.答案3∶5解析延长AC至点D,使AD=3AC,延长AM至点E,使AE=5AM,连接DE,BE,BD,如图所示.∵5AM=∴AB=5∴四边形ABED是平行四边形.∵AD=3∴S△ABC=13S△ABD,S△ABM=15S△∵S△ABD=S△ABE=12S▱ABED∴S△ABM∶S△ABC=15S△ABE∶13S△ABD=37.C因为a,b不共线,AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,所以易得AB,又AC=AB+BC=6a+6因为BD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB8.BC因为PA+2PB+3PC=0,所以PA+PC+2(PB+PC)=2PE+4PF=0,即PE=−2PF,所以点P在线段EF上,