中考数学复习《图形相似》训练题含答案试卷分析解析

《图形相似》提升训练.

一.选择题（共14小题）

1.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作

FG//CD,连接EF,DG,下列结论中正确的有（）

①NADG=NAFG；②四边形DEFG是菱形；（3）DG2=yAE«EG；④若AB=4,AD=5,

则CE=1.

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②

2.如图，在aABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=五,ZABC=30°,

ZA=ZBED=45°,则BD的长为（）

ADB

A.*B.V3+1_V5C.V3~yD.A/5_1

3.如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=6,AC=10,NBAC和NACB的平分线

相交于点E,过点E作EF〃BC交AC于点F,那么EF的长为（）

15

T

4.（易错题）已知：如图，ZADE=ZACD=ZABC,图中相似三角形共有（）

A.1对'B.2对C.3对D.4对

5.如图，平面直角坐标系中。是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分

别（8,0）、（3,4）,点D,E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB

于点F,G,连接FG.则下列结论:

①F是OA的中点；②△OFD与4BEG相似；③四边形DEGF的面积是学；④

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.如图，点P是边长为后的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别

作PE_LBC于点E,PFLDC于点F,连接AP并延长，交射线BC于点H,交射线

DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时（不包括B、D两点）,

以下结论中：①MF=MC；②AH_LEF；③AP2=PM・PH；④EF的最小值是返.其中

2

正确结论是（）

A.①③B.②③C.②③④D.②④

7.如图，在正方形ABCD中，。是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动

点（点M不与B,C重合），CN±DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下

列五个结论：①△CNBg^DMC；②△CON之△DOM；③△OMNsaOAD；④

AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2,则SAOMN的最小值是之，其中正确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

8.如图，^ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1,M在AC边

上，CM：MA=1：2,BM交AD,AE于H,G,则BH：HG：GM等于()

25：12：5D.51：24：10

9.如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D

点落在GF上，得到AHAE,再过H点折叠纸片,使B点落在直线AB上，折痕为

PQ.连接AF、EF,已知HE=HF,下列结论：①AMEH为等边三角形；②AE_LEF；

③△PHESAHAE；④患华’其中正确的结论是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

10.如图，在RtaABC中，ZC=90°,P是BC边上不同于B,C的一动点，过点P

作PQJ_AB,垂足为Q,连接AP.若AC=3,BC=4,则△AQP的面积的最大值是

()

A

o

CPB

A.至B.§C.圣D.亚

483216

11.如图，在梯形ABCD中,AD〃BC,对角线AC与BD相交于点0,如果S^ACD：

SAABC=1：2,那么S/\A0D：S^BOC是（）

12.在4ABC与△ABU中，有下列条件：（1）丁一，=/匕，。2）

ADDC

*L7与"；（3）NA=NA；（4）NC=NU,如果从中任取两个条件组成一

DCAC

组，那么能判断△ABCsaABC的共有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

13.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF〃AD,

与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点，连接DE,EH,DH,FH.下列结

论中结论正确的有（）

①EG=DF；

（2）ZAEH+ZADH=180°；

③aEHF丝△口!"!（：；

④若■^■=看，贝USAEDH=13SACFH.

ADO

A.1个B.2个C.3个D.4个

14.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF〃AD,

与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点，连结DE、E"、DH、FH.下列结

论：①EG=DF；②^EHF乌△口£；③NAEH+NADH=180°；④若绊=g，则

AB3

ADHC其中结论正确的有（）

^△EDH13

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（共5小题）

15.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割"，如图,

P为AB的黄金分割点（AP>PB）,如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为

cm.

一

16.如图，在正方形ABCD中，^BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交

AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论：①4DFP〜

△BPH；②器=黑=咛；③PD2=PH・CD；dABPD-.x2ZIzL,其中正确的是

PHCD3S正方形疝⑦3

（写出所有正确结论的序号）.

AFEn

B

17.如图，在4ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G

并与BC的延长线交于点F,BE与DF交于点0.若4ADE的面积为4,则四边形

B0GC的面积=.

18.如图|,在菱形ABCD中，ZB=60°,BC=6,E为BC中点，F是AB上一点，G

为AD上一点，且BF=2,ZFEG=60°,EG交AC,于点H,下列结论正确的

是.（填序号即可）

①△BEFs^CHE

②AG=1

③EH

@SABEF=3SAAGH

19.已知菱形AiBiJDi的边长为2,NAiBiCi=60°,对角线4斐、B】Di相交于点

0,以点。为坐标原点，分别以OBi，OAi所在直线为x轴、y轴建立如图所示的

直角坐标系，以BiDi为对角线作菱形B1C2D1A2s菱形AiBiCiDi，再以A2c2为对

角线作菱形A2B2c2D2s菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2c3D2A3s菱形

A2B2C2D2,...»按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点Ai，A2,A3,…，

An，则点A2OI8的坐标为

三.解答题(共7小题)

20.如图，在aABC中，点D在边BC上，联结AD,NADB=NCDE,DE交边AC

于点E,DE交BA延长线于点F,且AD2=DE・DF.

(1)求证：△BFDs^CAD；

(2)求证：BF・DE=AB・AD.

21.已知四边形ABCD中，AB=AD,对角线AC平分NDAB,过点C作CEJ_AB于

点E,点F为AB上一点，且EF=EB,连结DF.

(1)求证：CD=CF；

(2)连结DF,交AC于点G,求证：△DGCsaADC；

(3)若点H为线段DG上一点，连结AH,若NADC=2NHAG,AD=3,DC=2,求

毁的值.

D

22.如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C

是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由。点向0Q方

向滑动，直到AB横放在地面为止.

（2）若木棒长度为2m,如图②射线。M与地面夹角NMOQ=60。，当AB滑动过

程中，与0M并于点D,分别求出当AD=g、AD=1、AD=4时，0D的值.

43

（3）如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm,下水道水平段高度为

40cm,现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长

可以是（cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）.

23.如图，ZSABC和aBEC均为等腰直角三角形，且NACB=NBEC=90。，点P为

线段BE延长线上一点，连接CP,以CP为直角边向下作等腰直角^CPD,线段

BE与CD相交于点F.

©pPC_CE

（1）求证：CD=CB；

（2）连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由.

24.如图（1）,P为AABC所在平面上一点，且/APB=NBPC=NCPA=120。,则点

P叫做AABC的费马点.

(1)如果点P为锐角^ABC的费马点，且NABC=60。.

①求证：ZxABPs/XBCP；

②若PA=3,PC=4,则PB=.

(2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正AABE和正4ACD,CE和BD

相交于P点.如图(2)

①求NCPD的度数；

②求证：P点为^ABC的费马点.

25.如图，在平面直角坐标系中，已知aABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),

B(-3,4),C(-2,6).

(1)画出4ABC绕点A顺时针旋转90。后得到的△AiBiCi；

(2)以原点。为位似中心，在图中画出将△AiBiJ三条边放大为原来的2倍后

的aAzB2c2,并写出A2、B2、C2的坐标.

y小

>

X

26.在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且

EF±AB.

(1)若四边形ABCD为正方形.

①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系；

②将4EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE,DF,猜想AE与DF

的数量关系并说明理由.

(2)若四边形ABCD为矩形，BC=mAB,其他条件都不变.

①如图3,猜想AE与DF的数量关系并说明理由；

②将AEBF绕点B顺时针旋转a(0°<a<90°)得到△EBF,连接AE\DF,请

在图4中画出草图，并直接写出AE，和DF的数量关系.

参考答案与试题解析

一.选择题（共14小题）

1.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作

FG〃CD,连接EF,DG,下列结论中正确的有（）

①NADG=NAFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=、AE・EG；④若AB=4,AD=5,

则CE=1.

【解答】解：①由折叠可得，AD=AF,DG=FG,

在4ADG和4AFG中，

'AD=AF

,DG=FG，

AG=AG

.'.△ADG^AAFG(SSS),

，NADG=NAFG,故①正确；

②;GF〃DC,

，NEGF=NDEG,

由翻折的性质可知:GD=GF,DE=EF,ZDGE=ZEGF,

/.ZDGE=ZDEG,

.*.GD=DE,

，DG=GF=DE=EF,

四边形DEFG为菱形，故②正确;

③如图所示，连接DF交AE于0,

•.•四边形DEFG为菱形，

.\GE±DF,OG=OE=、E,

2

VZDOE=ZADE=90°,ZOED=ZDEA,

/.△DOE^AADE,

...萼迈，即DE2=E0・AE,

DEAE

VEO=—GE,DE=DG,

2

.,.DG2=yAE*EG,故③正确；

④由折叠可得，AF=AD=5,

R3ABF中，BF=7AF2-AB2=3»

.\CF=5-3=2,

设CE=x,则DE=EF=4-x,

,.•RtaCEF中，CE2+CF2=EF2,

x2+22=(4-x)2,

解得x],

/.CE=-|,故④错误；

故选：B.

2.如图，在aABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=&,ZABC=30°,

ZA=ZBED=45°,则BD的长为()

B

A.B.«+1-泥C.V3~D.泥-1

【解答】解：如图，过C作CFLAB于F,过点B作BGLCD于G,在Rt^BEG

中，ZBED=45°,则GE=GB.

在Rt^AFC中，NA=45°,AC=五,则AF=CF=&Xsin45°=1,

在RtABFC中，ZABC=30°,CF=1,则BC=2CF=2,BF=«CF=«,

设DF=x,CE=DE=y,则BD=«-x,

/.△CDF^ABDG,

•CD_DF_CF

，，BD-DG-BG，

VGE=GB,

.x（V3-x）_^/3x

2y2+x（V3-x）=5/3~x,

在RtACDF中，VCF2+DF2=CD2,

l+x2=4y2,

.,.-1+/-+X（V3-X）-X,

整理得：x2-（2^^+2）x+2^/3-1=0,

解得x=l+«-述或1+73-V5（舍弃）,

BD=F_x=V5-1.

G

3.如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=6,AC=10,NBAC和NACB的平分线

相交于点E,过点E作EF〃BC交AC于点F,那么EF的长为（）

【解答】解：如图，延长FE交AB于点D,作EG_LBC于点G,作EH_LAC于点H,

•.,EF〃BC、ZABC=90°,

.\FD±AB,

VEG1BC,

四边形BDEG是矩形，

OAE平分NBAC、CE平分NACB,

，ED=EH=EG,NDAE=NHAE,•

，四边形BDEG是正方形，

itADAE和△HAE中，

'NDAE=NHAE

<AE=AE，

,NADE=NAHE

/.△DAE^AHAE(SAS),

；.AD=AH,

同理4CGE之△CHE,

；.CG=CH,

BC=7AC2-AB2=V102-6^8'

设BD=BG=x,则AD=AH=6-x、CG=CH=8-x,

「・6-x+8一x=10,

解得：x=2,

，BD=DE=2,AD=4,

VDF-//BC,

.'.△ADF^AABC,

...此空,艮匹吗

ABBC68

解得：DF=华，

o

则EF=DF-DE--2~.

Jo

故选：c.

4.（易错题）已知：如图，NADE=NACD=NABC,图中相似三角形共有（）

A.1对'B.2对C.3对D.4对

【解答】解：VZADE=ZACD=ZABC

，DE〃BC

.,.△ADE^AABC,

VDE^BC

/.ZEDC=ZDCB,

,/ZACD=ZABC,

.'.△EDC^ADCB,

同理：NACD=NABC,ZA=ZA,

/.△ABC^AACD,

,/△ADE^AABC,AABC^AACD,

.'.△ADE^AACD

.•.共4对

故选：D.

5.如图，平面直角坐标系中。是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分

别(8,0)、(3,4),点D,E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB

于点F,G,连接FG.则下列结论：

①F是OA的中点；②ACFD与4BEG相似；③四边形DEGF的面积是当；④

0T.正确的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解答】解：①•••四边形0ABC是平行四边形,

，BC〃0A,BC=0A,

.,.△CDB^AFDO,

•BC=BD

•,胡加，

•••D、E为0B的三等分点，

.BD_2_0

0D1

.BC1

••中，

，BC=20F,

A0A=20F,

，F是0A的中点；

所以①结论正确；

②如图2,延长BC交y轴于H,

由C(3,4)知：0H=4,CH=3,

A0C=5,

，AB=0C=5,

VA(8,0),

；.0A=8,

，OAWAB,

二NAOBWNEBG,

.,.△OFD^ABEG不成立，

所以②结论不正确；

③由①知：F为0A的中点，

同理得；G是AB的中点，

；.FG是AOAB的中位线，

AFG=^€)B,FG〃OB,

VOB=3DE,

3

AFG=yDE,

・.F・—G=3一,

DE2

过C作CQJ_AB于Q,如图3.

SDOABC=OA•0H=AB•CQ,

.\4X8=5CQ,

-・-”CQ=—32,

5

SAocF=yOF*OH=yX4X4=8,

SACGB=~BG•CQ=《X-^-X-^-=8,

SAAFG=yX4X2=4,

--=

*'•SACFG=SnOABC-SAOFCSACBGSAAFG8X4-8-8-4=12,

；DE〃FG,

.".△CDE^ACFG,

2=(DE)2=1,

SACFGFG9

.S四边形DEGF=5

SACFG9

•c_5C_20

・•、四边形DEGF=Z、zxCFG=-^-；

y3

所以③结论正确；

④在RSOHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2,

OB=V（3+8）2+42=^137»

.-.OD=^S,

3

所以④结论不正确；

本题结论正确的有：①③.

6.如图，点P是边长为血的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别

作PEJ_BC于点E,PF_LDC于点F,连接AP并延长，交射线BC于点H,交射线

DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时（不包括B、D两点）,

以下结论中：①MF=MC；②AH_LEF；③AP2=PM・PH；④EF的最小值是孚.其中

正确结论是（）

AD

A.①③B.②③C.②③④D.②④

【解答】解：①错误.因为当点P与BD中点重合时，CM=O,显然FMWCM；

②正确.连接PC交EF于0.根据对称性可知NDAP=NDCP,

•••四边形PECF是矩形,

.,.0F=0C,

/.Z0CF=Z0FC,

.,.Z0FC=ZDAP,

VZDAP+ZAMD=90°,

.,.ZGFM+ZAMD=90°,

NFGM=90°,

AAH1EF.

③正确.VAD/7BH,

，NDAP=NH,

VZDAP=ZPCM,

，/PCM=NH,

VZCPM=ZHPC,

.'.△CPM^AHPC,

.PCPM

••-,

HPPC

.*.PC2=PM*PH,

根据对称性可知：PA=PC,

，PA2=PM・PH.

④正错误•四边形PECF是矩形，

1.EF=PC,

.,.当CPJ_BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，

VAC=2,

APC的最小值为1,

...讦的最小值为1；

7.如图，在正方形ABCD中，。是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动

点（点M不与B,C重合），CN1DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下

列五个结论：①4CNB之aDMC；②△CON之△DOM；③△OMNS/\OAD；④

AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2,则SMMN的最小值是之，其中正确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：,正方形ABCD中，CD=BC,ZBCD=90°,

.,.ZBCN+ZDCN=90°,

又•.,CN_LDM,

/.ZCDM+ZDCN=90o,

/.ZBCN=ZCDM,

又•；NCBN=NDCM=90°,

/.△CNB^ADMC(ASA),故①正确；

根据△CNBgADMC,可得CM=BN,

又,.•NOC，M=NOBN=45。，OC=OB,

/.△OCM^AOBN(SAS),

，OM=ON,ZCOM=ZBON,

ZDOC+ZCOM=ZCOB+ZBPN,即NDOM=NCON,

又；DO=C。，

.'.△CON四△DOM(SAS),故②正确；

,/ZBON+ZBOM=ZCOM+ZBOM=90°,

.,.ZMON=90°,即△MON是等腰直角三角形，

又•••△AOD是等腰直角三角形，

/.△OMN^AOAD,故③正确；

VAB=BC,CM=BN,

，BM=AN,

又,.•日△BMN中，BM2+BN2=MN2,

/.AN2+CM2=MN2,故④正确；

VAOCM^AOBN,

/.四边形BMON的面积=aBOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1,

.•.当△MNB的面积最大时，△MN。的面积最小，

设BN=x=CM,则BM=2-x,

/.△MNB的面积=2x(2-x)=-&x2+x,

.,.当x=l时，aiVINB的面积有最大值春，

此时SKMN的最小值是故⑤正确；

综上所述，正确结论的个数是5个，

故选：D.

DC

8.如图，^ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1,M在AC边

上，CM：MA=1：2,BM交AD,AE于H,G,贝ljBH：HG：GM等于（）

A.3：2：IB.5：3：IC.25：12：5D.51：24：10

【解答】解：连接EM,

CE：CD=CM：CA=1：3

，EM平行于AD

.'.△BHD^ABME,ACEM^ACDA

.*.HD：ME=BD：BE=3：5,ME：AD=CM：AC=1：3

.\AH=(3-4)ME,

5

AAH：ME=12：5

AHG：GM=AH：EM=12：5

设GM=5k,GH=12k,

VBH：HM=3：2=BH：17k

RI

2

RI

ABH：HG：GM-k：12k：5k=51：24：10

2

故选：D.

9.如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D

点落在GF上，得到AHAE,再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为

PQ.连接AF、EF,已知HE=HF,下列结论：①AMEH为等边三角形；②AE_LEF；

③△PHEsaHAE；④铛•二可或其中正确的结论是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【解答】解：•••矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点,

AGFIAD,

由折叠可得，AH=AD=2AG,ZAHE=ZD=90°,

/.ZAHG=30°,ZEHM=90°-30°=60°,

AZHAG=60°=ZAED=ZMEH,

.♦.△EHM中，ZEMH=60°=ZEHM=ZMEH,

...△MEH为等边三角形，故①正确；

VZEHM=60",HE=HF,

.,.ZHEF=30°,

.,.ZFEM=60°+30°=90°,即AE_LEF,故②正确；

VZPEH=ZMHE=60°=ZHEA,NEPH=N"EHA=90°,

/.△PHE^AHAE,故③正确;

设AD=2=AH,则AG=1,

，RtZ\AGH中，GH=V3AG=V3,

AH9

RtAAEH4'.EH=^=p/3=HF-

5L

AGF=A/3=AB»

•AD_7^—_2A/3

,故④正确,

o

综上所述，正确的结论是①②③④,

故选：D.

10.如图，在RtaABC中，ZC=90°,P是BC边上不同于B,C的一动点，过点P

作PQ±AB,垂足为Q,连接AP.若AC=3,BC=4,则△AQP的面积的最大值是

)

A•普嚏

【解答】解：设BP=x(0<x<4),由勾股定理得AB=5,

VZPQB=ZC=90°,ZB=ZB,

.,.△PBQ^AABC,

•生=胆=四gn曳=胆=_1

，#ACBCAB?345

34

APQ=4X,QB=4X

55

SAAPQ=|PQXAQ=希x2+济希仁与2玛

•0•当x二年•时，△APQ的面积最大，最大值是票■.

o32

故选：C.

A

Q

11.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,对角线AC与BD相交于点0,如果S^ACD：

SAABC=1：2,“那么SAAOD：S^BOC是（）

【解答】解：,•,在梯形ABCD中,AD〃BC,而且SMCD：SMBC=1：2,

AAD：BC=1：2；

•.•AD〃BC,

/.△AOD~ABOC,

VAD：BC=1：2,

.'SAAOD：SABOC=1：4.

故选:B.

12.在4ABC与△ABC中，有下列条件：（1）—二口”匕，（）

ADDC2

Bg;巴；（3）NA=NA；（4）NC=NU,如果从中任取两个条件组成一

DCAC

组，那么能判断△ABCs^ABU的共有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

【解答】解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角

形相似；

（2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似.

故选：C.

13.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF〃AD,

与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点，连接DE,EH,DH,FH.下列结

论中结论正确的有()

①EG=DF；

(2)ZAEH+ZADH=180°；

③△EHFgZXDHC；

【解答】解:①：四边形ABCD为正方形，EF〃AD,

，EF=AD=CD,ZACD=45°,ZGFC=90°,

/.△CFG为等腰直角三角形，

.\GF=FC,

VEG=EF-GF,DF=CD-FC,

，EG=DF,

故①正确；

②•••△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

，FH=CH,ZGFH=-^ZGFC=45°=ZHCD,

2

在△EHF和△DHC中，

'EF=CD

<NEFH=NDCH,

,FH=CH

.,.△EHF^ADHC(SAS),

/.ZHEF=ZHDC,

二NAEH+NADH=NAEF+NHEF+NADF-ZHDC=ZAEF+ZADF=180°,

故②正确；

③由②知：AEHF四△DHC,

故③正确；

④..•里2

AB3

；.AE=2BE,

•••△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

，FH=GH,ZFHG=90°,

VZEGH=ZFHG+ZHFG=90°+ZHFG=ZHFD,

在Z^EGH和△DFH中，

'EG=DF

•ZEGH=ZHFD,

GH=FH

.'.△EGH^ADFH(SAS),

/.ZEHG=ZDHF,EH=DH,ZDHE=ZEHG+ZDHG=ZDHF+ZDHG=ZFHG=90°,

.•.△EHD为等腰直角三角形，

过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：

设HM=x,则CF=2x,

，DF=2FC=4x,

DM=5x,DH=^/26X>CD=6X,

222

则SACFH=*XHMXCF=±・X・2X=X2,SAEDH=yXDH=-^X(V26x)=13x,

二则SAEDH=13S^CFH，故④正确；

其中结论正确的有：①②③④，4个;

故选：D.

14.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF〃AD,

与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH.下列结

论：①EG=DF；②AEHF/△DHC；③NAEH+NADH=180°；④若绊=苒，则

AB3

其中结论正确的有（）

'△EDH13

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①•••四边形ABCD为正方形，EF〃AD,

，EF=AD=CD,ZACD=45°,ZGFC=90°,

.,.△CFG为等腰直角三角形，

.*.GF=FC,

VEG=EF-GF,DF=CD-FC,

，EG=DF,故①正确;

②•••△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

；.FH=CH,ZGFH=—ZGFC=45°=ZHCD,

2

在Z\EHF和△DHC中，

'EF=CD

<NEFH=NDCH，

FH=CH

.,.△EHF^ADHC(SAS),故②正确；

③'.’△EHF丝4DHC(己证)，

/.ZHEF=ZHDC,

AZAEH+ZADH=ZAEF+ZHEF+ZADF-ZHDC=ZAEF+ZADF=180°,故③正确;

④..返2,

AB3

，AE=2BE,

•••△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

；.FH=GH,ZFHG=90°,

VZEGH=ZFHG+ZHFG=90°+ZHFG=ZHFD,

在Z\EGH和△DFH中,

'EG=DF

<NEGH=NHFD,

GH=FH

.♦.△EGH四△DFH（SAS）,

，NEHG=NDHF,EH=DH,ZDHE=ZEHG+ZDHG=ZDHF+ZDHG=ZFHG=90°,

••.△EHD为等腰直角三角形，

如图，过H点作HM_LCD于M,

设HM=x,则DM=5x,DH=V26x,CD=6x,

222

则SADHc=yXHMXCD=3x,SAEDH=^-XDH=13x,

/.3SAEDH=13SADHC,故④正确；

故选：D.

二.填空题（共5小题）

15.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割"，如图，

P为AB的黄金分割点（AP>PB）,如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为（金

【解答】解：:P为AB的黄金分割点（AP>PB）,

AP=^|^AB=^|^X10=575-5,

PB=AB-PA=10-（5旄-5）=（15-5泥）cm.

故答案为（15-5&）.

16.如图，在正方形ABCD中，^BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交

AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论：①4DFP〜

△BPH；②黑=黑=在；③PD2=PH・CD；Sabpd._.其中正确的是①

PHCD3S正方形ABCD3--

②③（写出所有正确结论的序号）.

【解答】解：VPC=CD,ZPCD=30°,

,.ZPDC=75°,

,.ZFDP=15°,

；NDBA=45°,

\ZPBD=15°,

\ZFDP=ZPBD,

.,ZDFP=ZBPC=60°,

,.△DFP^ABPH,故①正确;

.,ZDCF=90°-60°=30°,

,.tan/DCF=M=返，

CD3

.,△DFP^ABPH,

•FP_DF_V3

，PH_BP__3"，

,-BP=CP=CD,

.•器=黑=除，故②正确；

rnLUJ

.•PC=DC,ZDCP=30°,

\ZCDP=75°,

又•:ZDHP=ZDCH+ZCDH=75°,

.*.ZDHP=ZCDP,而NDPH=NCPD,

/.△DPH^ACPD,

...里J,即PD2=PH・CP,

PDPC

又「。心，

.*.PD2=PH»CD,故③正确；

如图，过P作PM_LCD,PN1BC,

设正方形ABCD的边长是4,Z\BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16,

，NPBC=NPCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,

Z.ZPCD=30°

.,.PN=PB・sin60°=4X^^=2«,PM=PC・sin30°=2,

+

SABPD=S四边形PBCD-SABCD=SAPBCSAPDC-SABCD

WX4X2«+*X2X4-yX4X4

=4①+4-8

=4«-4,

.•S^BPD一退工故④错误;

S正方形ABCD4

故答案为：①②③.

17.如图，在4ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G

并与BC的延长线交于点F,BE与DF交于点0.若4ADE的面积为4,则四边形

B0GC的面积=7.

【解答】解：•••点D、E分别是边AB、AC的中点,

，DE〃BC,DE=—BC,

2

.'.△ADE^AABC,

SAADE_(DE,2=1,

^AABCBC4

VAADE的面积为4,

=

•"SAABC16,

•.•DE〃BC,

/.△ODE^AOFB,ZEDG=ZF,ZDEG=ZGCF,

•••DE_—0E,«

BFOB

又EG=CG,

.,.△DEG^AFCG(AAS),

；.DE=CF,

；.BF=3DE,

VDE/7BC,

.'.△ODE^AOFB,

.OEDE1

••-—-—«

OBBF3

VAD=BD,

SABDE=SAADE=4,

VAE=CE=2EG,

=,

•••SADEG77SAADE=~X4=2,

..OE_1

•oB=y,

=,

•••SAODE=--SABDE"X4=1,

SAOEG=SADEG-SAODE==X4=],

4

•S四边;gDBCE=S^ABC-SAADE=3X4=12,

••S四边;gOBCG=S四边形DBCE-SABDE-SAOEG=7.

故答案为：7.

18.如图，在菱形ABCD中，ZB=60°,BC=6,E为BC中点，F是AB上一点，G

为AD上一点，且BF=2,ZFEG=60°,EG交AC于点H,下列结论正确的是①

②③.（填序号即可）

①△BEFs/\CHE

②AG=1

③EH=2区

2

@SABEF=3SAAGH

【解答】解：,菱形ABCD中，ZB=60°,ZFEG=60",

/.ZB=ZECH=60°,ZBEF=CHE=120°-ZCEH,

.,.△BEF^ACHE,故①正确；

•.•BF—BE,

CECH

又•.•BC=6,E为BC中点，BF=2,

•••|•春，即CH=4.5,

又・.・AC=BC=6,

.\AH=1.5,

•.•AG〃CE,

/.△AGH^ACEH,

.AG_AH_1

"CE^CH^

.•.AG=^€E=1,故②正确；

如图，过F作FPLBC于P,则NBFP=30°,

.*.BP=-1BF=1,PE=3-1=2,PF=«,

.♦.RtAEFP中，EF=«鬲嬴之夜，

?..EFBF.2

■适，亏

,EH争号I,故③正确；

VAG=^CE,BF=—CE,AABEF^ACHE,AAGH^ACEH,

33

.9

SACEH=9SAAGH>SACEH=_SABEF>

.9

/.9SAAGH=—SABEF»

SABEF=4SAAGH>故④错误;

故答案为：①②③.

19.已知菱形AiBiCiDi的边长为2,ZAiBiCi=60°,对角线AiJ、B】Di相交于点

0,以点。为坐标原点，分别以OB】，OAi所在直线为x轴、y轴建立如图所示的

直角坐标系，以BiDi为对角线作菱形B1C2D1A2s菱形AiBiJDi，再以A2c2为对

角线作菱形A2B2c2D2s菱形BIC2DIA2,再以B2D2为对角线作菱形B2c3D2A3s菱形

A2B2C2D2，...»按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A］，A2，A3,…，

An,则点A2OI8的坐标为（0,32017）

【解答】解：•••菱形AiBiCiDi的边长为2,ZAiBiCi=60°,

/.OAi=AiBi«sin30°=2X—=1,OBi=AiBi*cos30°=2X

22

，Ai(0,1).

•••1C2D1A2s菱形AiBiJDi，

OB1

tan300

3

：.K2(0,3).

同理可得A3(0,9)...

AA2018(0,32°i7).

故答案为：(0,32。17).

三.解答题(共7小题)

20.如图，在AABC中，点D在边BC上，联结AD,ZADB=ZCDE,DE交边AC

于点E,DE交BA延长线于点F,且AD2=DE・DF.

(1)求证：△BFDsaCAD；

(2)求证：BF・DE=AB・AD.

【解答】证明：(1)VAD2=DE«DF,

.ADDF

，，DE=AD，

*.•NADF=NEDA,

/.△ADF^AEDA,

/.ZF=ZDAE,

又ZADB=ZCDE,

，ZADB+ZADF=ZCDE+ZADF,

即NBDF=NCDA,

/.△BFD^ACAD；

(2)VABFD^ACAD,

.BFDF

'*AC=AD，

..ADDF

*而下’

.BFAD

AC^DEJ

VABFD^ACAD,

，NB=NC,

，AB=AC,

•.•~B-FAD,

ABDE

，BF・DE=AB・AD.

21.已知四边形ABCD中，AB=AD,对角线AC平分NDAB,过点C作CE_LAB于

点E,点F为AB上一点，且EF=EB,连结DF.

(1)求证：CD=CF；

(2)连结DF,交AC于点G,求证：△DGCs^ADC；

(3)若点H为线段DG上一点，连结AH,若NADC=2NHAG,AD=3,DC=2,求

黑的值.

【解答】(1)证明：•••AC平分NDAB,

，NDAC=NBAC,

在4ADC和4ABC中

'AC=AC

-ZDAC=ZBAC

AD=AB

AAADC^AABC,

，CD=CB,

VCE1AB,EF=EB,

•\CF=CB,

/.CD=CF；

(2)解：:△ADCdABC,

ZADC=ZB,

VCF=CB,

/.ZCFB=ZB,

，ZADC=ZCFB,

ZADC+ZAFC=180°,

,四边形AFCD的内角和等于360。，

/.ZDCF+ZDAF=180o,

VCD=CF,

，NCDG=NCFD,

VZDCF+ZCDF+ZCFD=180°,

/.ZDAF=ZCDF+ZCFD=2ZCDG,

VZDAB=2ZDAC,

AZCDG=ZDAC,

VZDCG=ZACD,

/.△DGC^AADC；

(3)解：VADGC^AADC,

.*.ZDGC=ZADC,手笔，

CDAD

VZADC=2ZHAG,AD=3,DC=2,

.,.ZHAG=-^ZDGC,孚=半

223

/.ZHAG=ZAHG,段

DG3

.\HG=AG,

VZGDC=ZDAC=ZFAG,ZDGC=ZAGF,•

.,.△DGC0°AAGF,

.GFCG2

••-—-—•

AGDG3

.FG_2

22.如图①，OP为一墙面，它与地面0Q垂直，有一根木棒AB如图放置，点C

是它的中点，现在将木棒的A点在0P上由A点向下滑动，点B由。点向0Q方

向滑动，直到AB横放在地面为止.

（1）在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（）

（2）若木棒长度为2m,如图②射线0M与地面夹角NMOQ=60。，当AB滑动过

程中，与0M并于点D,分别求出当AD=g、AD=1、AD=