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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.已知集合,,若AB,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位),则实数a=()A.-1 B.1 C.0 D.24.已知集合A={0,1},B={0,1,2},则满足A∪C=B的集合C的个数为()A.4 B.3 C.2 D.15.一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为()A. B. C. D.6.集合,,则()A. B. C. D.7.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.已知集合,若,则实数的取值范围为()A. B. C. D.9.费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如:)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()A. B. C. D.10.已知复数满足,则()A. B.2 C.4 D.311.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的数学家和数学爱好者,有些猜想已经被数学家证明,如“费马大定理”,但大多猜想还未被证明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是:对于每一个正整数,如果它是奇数,则将它乘以再加1;如果它是偶数,则将它除以;如此循环,最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为,则输出i的值为()A. B. C. D.12.已知,是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则的最小值为()A. B. C.8 D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数,则使得不等式成立的的取值范围为_________.14.已知函数的部分图象如图所示,则的值为____________.15.设O为坐标原点,,若点B(x,y)满足,则的最大值是__________.16.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究,从其中一些数学用语可见,譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示,已知几何体高为,则该几何体外接球的表面积为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)求函数的单调递增区间(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上不同两点,如果在曲线上存在点,使得①;②曲线在点M处的切线平行于直线AB,则称函数存在“中值和谐切线”,当时,函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由18.(12分)已知正数x,y,z满足xyzt(t为常数),且的最小值为,求实数t的值.19.(12分)如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)己知圆F1:(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3),圆F1:(x-1)1+y1=(4-r)1.(1)证明:圆F1与圆F1有公共点,并求公共点的轨迹E的方程;(1)已知点Q(m,0)(m<0),过点E斜率为k(k≠0)的直线与(Ⅰ)中轨迹E相交于M,N两点,记直线QM的斜率为k1,直线QN的斜率为k1,是否存在实数m使得k(k1+k1)为定值?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.21.(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,∥,为等边三角形,平面底面,为的中点.(1)求证:平面平面;(2)点在线段上,且,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.22.(10分)如图,三棱锥中,(1)证明:面面;(2)求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由双曲线与双曲线有相同的渐近线,列出方程求出的值,即可求解双曲线的离心率,得到答案.【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线,可得,解得,此时双曲线,则曲线的离心率为,故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中熟记双曲线的几何性质,准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.2、D【解析】

先化简,再根据,且AB求解.【详解】因为,又因为,且AB,所以.故选:D【点睛】本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.3、B【解析】

化简得到z=a-1+a+1【详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数,故a-1=0故选:B.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数,意在考查学生的计算能力.4、A【解析】

由可确定集合中元素一定有的元素,然后列出满足题意的情况,得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4种情况,所以选A项.【点睛】考查集合并集运算,属于简单题.5、B【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半,由此得到结论.【详解】正方体的面对角线长为,又水的体积是正方体体积的一半,且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为,故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征,考查了空间想象能力,属于基础题.6、A【解析】

解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.【详解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,涉及一元二次不等式解法及对数的概念,属于中档题.7、B【解析】

复数,在复平面内对应的点在第二象限,可得关于a的不等式组,解得a的范围.【详解】,由其在复平面对应的点在第二象限,得,则.故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.8、A【解析】

解一元二次不等式化简集合的表示,求解函数的定义域化简集合的表示,根据可以得到集合、之间的关系,结合数轴进行求解即可.【详解】,.因为,所以有,因此有.故选:A【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题,考查了解一元二次不等式,考查了函数的定义域,考查了数学运算能力.9、B【解析】

基本事件总数,能表示为两个不同费马素数的和只有,,,共有个,根据古典概型求出概率.【详解】在不超过的正偶数中随机选取一数,基本事件总数能表示为两个不同费马素数的和的只有,,,共有个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是本题正确选项:【点睛】本题考查概率的求法,考查列举法解决古典概型问题,是基础题.10、A【解析】

由复数除法求出,再由模的定义计算出模.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查复数的除法法则,考查复数模的运算,属于基础题.11、B【解析】

根据程序框图列举出程序的每一步,即可得出输出结果.【详解】输入,不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数不成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;成立,跳出循环,输出i的值为.故选:B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果,考查计算能力,属于基础题.12、C【解析】

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简,结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,半焦距为,则,,设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得:,则当且仅当时,取等号.故选:C.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

分,两种情况代入讨论即可求解.【详解】,当时,,符合;当时,,不满足.故答案为:【点睛】本题主要考查了分段函数的计算,考查了分类讨论的思想.14、【解析】

由图可得的周期、振幅,即可得,再将代入可解得,进一步求得解析式及.【详解】由图可得,,所以,即,又,即,,又,故,所以,.故答案为:【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值,考查学生识图、计算等能力,是一道中档题.15、【解析】,可行域如图,直线与圆相切时取最大值,由16、【解析】三视图还原如下图:,由于每个面是直角,显然外接球球心O在AC的中点.所以,,填。【点睛】三视图还原,当出现三个尖点在一个位置时,我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等,而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等,所以本题的球心为AC中点。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)不存在,见解析【解析】

(1)求出函数的导数,通过讨论的范围求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,结合导数的几何意义,再令,转化为方程有解问题,即可说明.【详解】(1)函数的定义域为,所以当时,;,所以函数在上单调递增当时,①当时,函数在上递增②,显然无增区间;③当时,,函数在上递增,综上当函数在上单调递增.当时函数在上单调递增;当时函数无单调递增区间当时函数在上单调递增(2)假设函数存在“中值相依切线”设是曲线上不同的两个点,且则曲线在点处的切线的斜率为,.令,则,单调递增,,故无解,假设不成立综上,假设不成立,所以不存在“中值相依切线”【点睛】本题考查了函数的单调性,导数的几何意义,考查导数的应用以及分类讨论和转化思想,属于中档题.18、t=1【解析】

把变形为结合基本不等式进行求解.【详解】因为即,当且仅当,,时,上述等号成立,所以,即,又x,y,z>0,所以xyzt=1.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式,同时要关注不等号是否成立,侧重考查数学运算的核心素养.19、(1)见解析(2)【解析】

(1)连结BM,推导出BC⊥BB1,AA1⊥BC,从而AA1⊥MC,进而AA1⊥平面BCM,AA1⊥MB,推导出四边形AMNP是平行四边形,从而MN∥AP,由此能证明MN∥平面ABC.(2)推导出△ABA1是等腰直角三角形,设AB,则AA1=2a,BM=AM=a,推导出MC⊥BM,MC⊥AA1,BM⊥AA1,以M为坐标原点,MA1,MB,MC为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值.【详解】(1)如图1,在三棱柱中,连结,因为是矩形,所以,因为,所以,又因为,,所以平面,所以,又因为,所以是中点,取中点,连结,,因为是的中点,则且,所以且,所以四边形是平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.(图1)(图2)(2)因为,所以是等腰直角三角形,设,则,.在中,,所以.在中,,所以,由(1)知,则,,如图2,以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,.所以,则,,设平面的法向量为,则即取得.故平面的一个法向量为,因为平面的一个法向量为,则.因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查了利用空间向量法求解二面角的方法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20、(1)见解析,(1)存在,【解析】

(1)求出圆和圆的圆心和半径,通过圆F1与圆F1有公共点求出的范围,从而根据可得点的轨迹,进而求出方程;(1)过点且斜率为的直线方程为,设,,联立直线方程和椭圆方程,根据韦达定理以及,,可得,根据其为定值,则有,进而可得结果.【详解】(1)因为,,所以,因为圆的半径为,圆的半径为,又因为,所以,即,所以圆与圆有公共点,设公共点为,因此,所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆,所以,,,即轨迹的方程为;(1)过点且斜率为的直线方程为,设,由消去得到,则,,①因为,,所以,将①式代入整理得因为,所以当时,即时,.即存在实数使得.【点睛】本题考查椭圆定理求椭圆方程,考查椭圆中的定值问题,灵活应用韦达定理进行计算是关键,并且观察出取定值的条件也很重要,考查了学生分析能力和计算能力,是中档题.21、(1)见解析(2)【解析】

(1)根据等边三角形的性质证得,根据面面垂直的性质定理,证得底面,由此证得,结合证得平面,由此证得:平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【详解】(1)证明:∵为等边三角形,为的中点,∴∵平面底面,平面底面,∴底面平面,∴又由题意可知为正方形,又,∴平面平面,∴平面平面(2)如图建立空间直角坐标系,则,,,由已知,得,设平面的法向量为,则令,则,∴由(1)知平面的法向量可取为∴∴平面与平面所成的锐

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