福建省2004年-2012年数学高考试题汇编

2004年高考试题福建卷数学试题(理科)

数学试题(理工农医类)

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

(1)复数(1二)1°的值是

1+Z

(A)-1(B)1(C)-32(D)32

(2)tanl50+cotl5°的值是

4A

(A)2(B)2+V3(C)4(D)—

3

(3)命题p：若4、b£R,则lal+切>1是kz+bl>l的充要条件.

命题g：函数y=Jlx—ll—2的定义域是(―oo,—1]U[3,+。。).则

(A)“p或g”为假(B)“p且q”为真(C)p真4假(D)p假q真

(4)已知Q、F2是椭圆的两个焦点，过Q且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于4、B两点，若△ABF?

是真正三角形，则这个椭圆的离心率是

(A)也(B)旦(C)显(D)旦

3322

(5)己知根、〃是不重合的直线，a、s是不重合的平面，有下列命题：

①若mua,a,则〃z〃〃；

②箱a,彼,则a〃4；

③若aCl夕=〃，ri,则m〃a且加〃夕；

④若机J_a,mIfJ,则a〃H.

其中真命题的个数是

(A)0(B)1(C)2(D)3

(6)某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排

2名，则不同的安排方案种数为

(A)(B)(C)A；A：(D)2A；

(7)己知函数)，=/og2X的反函数是y=/T(x),则函数y=/T(l—x)的图象是

(A)(B)(C)(D)

(8)己知a、b是非零向量且满足(a-»)_la,(Z>-2a)Lb,则a与。的夹角是

(A)-(B)-(C)—(D)-

6336

(9)若(1—2')9展开式的第3项为288,则lim(』+-V+的值是

“T8XX，x"

(A)2(B)1(C)-(D)-

25

(10)如图，A、B、C是表面积为48兀的球面上三点，48=2,BC=4,乙4BC=60°,。为球心，则直

线OA与截面4BC所成的角是

V3

(A)arcsin

~6~

旦

(B)arccos

.百

(C)arcsin----

3

(D)arccos----

3

(11)定义在R上的偶函数於)满足於)于>+2),当x£[3,5]时，於)=24r・4l,则

7T7T

(A)/(sin—)</(cos-)(B)/(sin1)>/(cos1)

6o

-2〃2TT

(C)/(cos—)</(sin—)(D)/(cos2)>/(sin2)

(12)如图，6地在4地的正东方向4%相处，。地在5地的北偏东30。方向2km处，河流的没岸

PQ(曲线)上任意一点到4的距离比到8的距离远26.现要在曲线P。上选一处〃建一座码头，

向3、。两地转运货物.经测算，从M到仄M两地修建公路的费用分别是。万元加小2a方元/km,

那么修建这两条公路的总费用最低是北

(A)(2J7-2)a万元

(B)5。万元

\9

(C)(2J7+l)d万元

(D)(2+3)«万元

第H卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.

（13）直线x+2），=0被曲线x2+y2_6x©/5=0所截得的弦长等于.

(14)设函数/（X）在A=0处连续，则实数a的值为

（15）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互

之间没有影响.有下列结论:

①他第3次击中目标的概率是0.9；

②他恰好击中目标3次的概率是0.9-x0.1；

③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.

其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）.

（16）如图1,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一

的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当

六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说

明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

设函数•），其中向量a=（2cosx,1）,Z>=（cosx,

V3sin2x),xGR.

（I）若且,（］,求x；

rr

（II）若函数y=2sin2r的图象按向量〃）（1机1<一）平移后得到函数）fx）的图象，求实数加、〃

2

的值.

（18）（本小题满分12分）

甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答

对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.

（I）求甲答对试题数&的概率分布及数学期望；

（II）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

（19）（本小题满分12分）

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形,

平面S4CJ_平面ABC,SA=SC=28，M.N分别为48、

SB的中点.

(［)证明：AC1SB；

(II)求二面角N-CM-B的大小；

(HI)求点B到平面CMN的距离.

(20)(本小题满分12分)

某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能

进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600

万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第〃年(今年为第一年)的利润为

500(1+()万元(n为正整数).

(I)设从今年起的前〃年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A“万元，进行技术改造后的

累计纯利润为以万元(须扣除技术改造资金)，求4、8“的表达式；

(II)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技

术改造的累计纯利润？

(21)(本小题满分14分)

已知共的=2年r上—(a工丘/?)在区间［-1,1］上是增函数.

X-+2

(I)求实数。的值组成的集合4

(11)设关于X的方程/(x)=L的两个非零实根为修、X2.试问：是否存在实数m,使得不等式

x

疝对任意及£［/，1］恒成立？若存在，求，”的取值范围；若不存在，请说明理由.

(22)(本小题满分12分)

如图，尸是抛物线C：上一点，直线/过点P且与抛物线C交于另一点0.

(I)若直线/与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

(H)若直线/不过原点且与/轴交于点5,与)，轴交于点7,试求IS*T」I+以IST」I的取值范围.

\SP\\SQ\

x

参考答案:

1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.B8.B9.A10.D11.D12.B

二、

13.4A/514.1/215.1,316.2/3

三、

17.本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查

运算能力.满分12分.

解(I)依题设，f(x)=2cos2x+A/3sin2x=l+2sin(2x+—).

由l+2sin(2xn—)=1-y[3t得sin(2x+—)=----.

662

：.2x+-=--

63

即x=-巴.

4

(II)函数y=2sinZt的图象按向量c=(m,”)平移后得到函数y=2sin2(x-〃?)+"的图象，即函数产双r)

的图象.

TT

由(I)得/(x)=2sin2(x+—)+1.

I,MI<——，m=---,n=l.

212

18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解(I)依题意，甲答对试题数匕的概率分布如下:

0123

13

30io26

甲答对试题数1的数学期望

13119

£^=0x--+lx—+2x—+3x—=—

3010265

(11)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、8,则

ClC\+Cl60+20_2

P(A)=

120-3

C;C'+Cg56+5614

P(8)=82,_8_

120-15

因为事件A、B相互独立,

方法一：

・•・甲、乙两人考试均不合格的概率为

————2141

P(A•8)=P(A)P(B)=l--)(1--)=——.

31545

...甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

——144

P-1-P(A,B)=1---=—.

4545

44

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为一.

45

方法二：

甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

P=P(4B)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

2111421444

=-X------1--X------1----X------=

31531531545

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为二.

45

19.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想

象能力和逻辑推理能力.满分12分.

解法一：(I)取AC中点。，连结S。、DB.

"：SA=SC,AB=BC,

."C_LSO且AC_LB£>,

；.AC_L平面SZM,又SBu平面SOB,

，AC_LS8.

(H)平面SOB,ACu平面CBC,

平面SOB_L平面ABC.

过足作NELBD于E,NEJL平面ABC,过E作

于F,连结NF,

则N凡LCM.

:.NNFE为二面角N-CM-B的平面角.

•.•平面S4C_L平面ABC,SD±AC,平面4BC.

又；NE_L平面ABC,：.NE//SD.

,/SN=NB,:.NE=-SD=-SA2-AD2=-712-4=血，且ED=EB.

222

在正AASC中，由平几知识可求得

42

ENr-

在Rt/\NEF中，tanNNFE=——=2,2,

EF

二面角N-CM-B的大小是arctan2瓢-

(III)在RfZXNEF中，NF=4EF2+EN23

2

I3।_

S^CMN=—CM，NF=—V3,S^CMB=-BM,CM=2yfi.

222

设点B到平面CMN的距离为h,

,*,^B-CMN—^N-CMB^NE_L平面CA/8,・••二5纯河川〃二二S2XCMBWE，

，即点到平面的距离为生&.

...h=5CMBNE=4V2.8CMN

SCMN33

解法二：(I)取4c中点。，连结OS、OB.

'：SA=SC,AB=BC,

J.ACVSO^.ACLBO.

•.•平面5AC±TffiABC,平面SAC。平面ABC=AC

，S。_L面ABC,：.SOLBO.

如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.

则A(2,0,0),B(0,273,0),C(-2,0,0),

S(0,0,2V2),M(l,V3,0),N(0,V3.V2).

：.AC=(-4,0,0),SB=(0,2TL272),

AC-S5=(-4,0,0)•(0,2也,272)=0,

AAC±SB.

(II)由(I)得屈=(3,g,0),'MN=(-10,V2).设n=(x,y,z)为平面CMN的一

个法向量，

"CM.n=3x+y=0,

则<取z=L则x=-x/2,y=-V6,

MN-n=-x+V2z=0,

/.n=(V2,-V6,1),

又说=(0,0,2J5)为平面ABC的一个法向量,

n-OS1

/.cos(n,OS)=

\n\-\OS\3

二面角N-CM-B的大小为arccos-.

3

(Ill)由(I)(H)得砺=(-1,V3,0),n=(V2,-76,1)为平面CMN的一个法向量,

.••点B到平面CMN的距离d二号考

20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实

际问题的能力.满分12分.

2

解(I)依题设，An=(500-20)+(500-40)+...+(500-20n)=490n-lOn；

111500

B=500[(l+-)+(l+—)+...+(l+一)]-600=500n------100.

n222"2"

2

(II)Bn-An=(500n------100)-(490n-10n)

,50050

=10n2+10n---100=10[n(n+l)---10].

因为函数y=x(x+l)-竺-10在(0,+oo)上为增函数,

当l<n<3时，n(n+l)-―--1Q<12----10<0；

2"8

当nN4时，n(n+l)-----10^20-■—■-10>0.

2"16

,仅当位4时,Bn>An.

答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.

21.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思

想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

向,4+2,cix—2x"—2(x"—ax—2)

解(TI)f'(x)=——------—

U2+2)2(x2+2)2

•；f(x)在[-1,1]上是增函数,

...f'(x巨0对XG[-1,1]恒成立，

即x2-ax-2W0对xd[-l,1]恒成立.①

设(p(x)=x2-ax-2,

方法一：

C^?(l)=l-a-2<0,

①。<O-lWagl,

[^(-l)=l+a-2<0.

・・,对1],f(x)是连续函数,且只有当a=l时,f'(-1)=0以及当时,V(1)=0

A={al-l<a<l}.

方法二：

u,<0,

2

①=或

^(-l)=l+a-2<0(l)=l-a-2<0

<=>0<a<l或-iSagO

=-l<a<l.

・・•对x£[-l,1],f(x)是连续函数，且只有当a=l时，f'(-1)=0以及当a=-l时，f(1)=0

/.A={al-l<a<l}.

(II)由—y——=--,得x2-ax-2=0,

x+2x

'：A=a2+8>0

；.xi，X2是方程x2-ax-2=0的两非零实根，

rX|+X2=a,

2

JY从而lxrx2l=yj(x]+x2)-4X]X2-\a~+8.

LXIX2=-2,

V-l<a<l,/.Ixi-x2l=J4?+8<3.

要使不等式m,tm+GIxi-xzl对任意a£A及t£［-L1］恒成立,

当且仅当m2+tm+l>3对任意1］恒成立，

即m2+tm-2>0对任意［-1,1］恒成立.②

设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),

方法一：

Cg(-l)=m2-m-2>0,

②oj

Lg(l)=m2+m-2>0,

Om>2或m<-2.

所以，存在实数m,使不等式m2+tm+lN|xrX2l对任意a£A及1］恒成立，其取值范围是{mln^2,

或m<-2}.

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m^O时，

,m<0,

②OY或Y

'-g(-l)=m2-m-2>0>(l)=m2+m-2>0

<=>m>2或m<-2.

所以，存在实数m,使不等式m2+im+®xrX2l对任意a£A及te［-l,1］恒成立，其取值范围是{mln^2,

或m<-2}.

22.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和

综合解题能力.满分12分.

解(I)设P(X],yO,Q(X2,y2)，M(x(),y0),依题意x[#),yi>0,y2>0.

由y=-^x2,①

得yr=x.

・・・过点P的切线的斜率k切=xP

1

•••直线1的斜率k尸-

k切

，直线1的方程为y-'x」--!-（x-xi）,

2x.

方法一:

7

联立①②消去y,得X2+*X-XF2=0.

修

・；M是PQ的中点

X1+x1

Xo=2

2%)

121

yo=-Xi——(X0-X1).

2Xj

消去x।,得y（）=x（）2+-Z

+1(X0M),

2%

・・・PQ中点M的轨迹方程为y=x2+—!-v+l(x/0).

2%

方法二:

।1212X]+%2

由yi=/X[,y2=-x2\x()=---

2

得yrY2=(gX2=；(X|+X2)(XrX2)=Xo(Xi-X2),

则Xo=/匚」?.=k尸-J_,

x{-x2x{

将上式代入②并整理，得

21

yo=xo~+------+1(x()M),

2x0_

APQ中点M的轨迹方程为y=x2+—1-^+1(\#)).

2x()

(II)设直线l:y=kx+b,依题意k#0,b#),则T(0,b).

分别过P、Q作PP'轴，QQ'轴，垂足分别为P'、Q',则

ISTIISTI\0T\\0T\\b\\b\

ISPIIs。I一IP'PI\Q'Q\~\y\iy1-

t2

由v消去x,Wy2-2(k2+b)y+b?=0.③

y=kx+b

"yi+y2=2(k2+b),

则V

2

Iy»2=b.

方法一：

VyI.y2可取一切不相等的正数,

...I以67」I+*IST」I的取值范围是(2,+8).

\SP\I52I

方法二:

ISTI+回出2(公+b)

-p-

TSP]1521y^2

ISTI\ST\,2(k2+b)2(公+b)2k2…

当b>0时,-F2>2；

\SP\ISQIb2bb

ISTI\ST\l(k2+b)2(k2+b)

当b<0时,v

ISPIIS2Ib2-b

又由方程③有两个相异实根，得△=4（k?+b尸-41）2=41<2（1?+2口>0,

于是k2+2b>0,即k2>-2b.

\ST\\ST\2(-2b+b)、

所以

\SP\\SQ\-b

・・,当b>0时，——可取一切正数,

b

ISTIIVTI

:.以「+必」的取值范围是(2,+00).

ISPI\SQ\

方法三：

由P、Q、T三点共线得kTQ=Kpp,

丁2_b

即

则xiy2-bxi=x2yi-bx2,即b(X2-Xi)=(x2y1-x।y2).

1212

X2'oX1——1'不"2

于是1

b=_Z------------2_-X|X2・

x2—x]2

,,1,

\b\l-2x,xII——x,xI

.\ST\\ST\\b\二9+=二9=1当+电但2.

>•----------1----------=-------+

ISPI\SQ\ly,II力I1212xix2

：I三I可取一切不等于1的正数,

修

ISTIII

的取值范围是(2,+oo).

ISPIISQI

2004年普通高等学校招生福建文史类卷数学试题.

卸卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6()分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的..

1.设集合U={123,4,5},A={1,3,5),B={2,3,5},则Q(AQ8)等于()

A.{1,2,4}B.{4}C.{3,5}D.0

2.tan15。+cot15。的值是)

4出

A.2B.2+73C.4D.

3

3.命题P：若。、b£R,则hl+lbl>l是la+bl>l的充要条件；

命题q：函数y=山-11-2的定义域是(-00-1]U[3,+oo).则()

A.“p或q”为假B."p且q”为真C.p真q假D.p假q真

4.已知B、F?是椭圆的两个焦点，过P且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若4ABF2

是真正三角形，则这个椭圆的离心率是()

A.县B.2C.也D.近

3322

设是等差数列｛%｝的前项和，若空=3,则邑

5.S”n)

9

1

A.1B.-1C.2D.-

2

6.已知m、n是不重合的直线，a、B是不重合的平面，有下列命题：①若mua,n〃a,则m

〃n；②若m〃a,m//B,则a〃B；③若anP=n,m//n,则m〃a且m〃B；④若mJ.a,m

则&〃B.其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

7.已知函数y=log2X的反函数是y三厂lx）,则函数丫=厂［1-x）的图象是（）

8.已知I、6是非零向量且满足（之一25）

A.—

636

9.已知（x-q）'展开式中常数项为1120,其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是

x

A.28B.38C.1或38D.1或展

10.如图，A、B、C是表面积为48n的球面上三点，AB=2,BC=4,ZABC=60°,。为球心，则直

线

OA与截面ABC所成的角是()

A.arcsinVIB.arccos旧C.arcsinD.arccos

6633

11.定义在R上的偶函数/W满足於月m+2）,当x£［3,4］时，段）=%一2,贝ij（十）

11R冗b一一3

A./（sin—）＜^（cos—）B.f（sin—）＞/（cos—）C./（sinl）＜/（cosl）D.f（sin——）

223322

12.如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，现要

在曲线PQ上任意选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物，经测算，从M到

B、C两地修建公路的费用都是。万元/km、那么修建这两条公路的总费用最低是（）

A.（J7+l）a万元B.（2行一2）。万元A

C.2近〃万元D.（行一1）〃万元

第II卷（非选择题共90分）

填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.

13.直线x+2y=0被曲线x2+y2—6x—2y—15=0所截得的弦长等于.

-x—l(x>0),

14.设函数=I若f(a)>a.则实数。的取值范围是

-(x<0).

J

15.一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2,99,依编号顺序平均分成10个小组，组号

依次为1,2,3,…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机

抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，若m=6,则在

第7组中抽取的号码是.

16.图1,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个

无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大.

三、解答题：本关脸共6小题，共74分.解答应写出蜘说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设函数二。•b,其中向量。=（2cosx,1）,b=（cos尢，V3sin2x）,x£R.

（I）若一当且[―X,—],求x；

TT

（II）若函数y=2sin2x的图象按向量c=（m,rOQmk^）平移后得到函数y4㈤的图象，求实数m^n

的值.

18.（本小题满分12分）

甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答

对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.

（I）分别求甲、乙两人考试合格的概率；

（II）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

19.（本小题满分12分）

在三棱锥S—ABC中，AABC是边长为4的正三角形，平面SAC_L平面ABC,SA=SC=2后,

M为AB的中点.

（I）证明：AC±SB；

（II）求二面角N—CM—B的大小;

（III）求点B到平面SMN的距离.

20.（本小题满分12分）

某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进

行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万

元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+1-）

2"

万元（n为正整数）.

（I）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A。万元，进行技术改造

后的累计纯利润为&万元（须扣除技术改造资金），求A。、B”的表达式；

（II）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技

术改造的累计纯利润？

21.（本小题满分12分）

如图，P是抛物线C：上一点，直线/过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，/与抛物

2

线C相交于另一点Q

（1）当点P的横坐标为2时，求直线/的方程；

（II）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距

离.

22.(本小题满分14分)

2

已知Wx)=4x+ax2—§x3(xwR)在区间［―1,1］上是增函数.

(I)求实数。的值组成的集合A；

1-

(II)设关于X的方程#幻=2x+§/的两个非零实根为小、X2.试问：是否存在实数m,使得不

等式m2+tm+l2k1一对对任意&WA及tW［—1,1］恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，

请说明理由.

2004年普通高等学校招生福建文史类卷数学试题参考答案

一、l.A2.C3.D4.B5.A6.B7.C8.B9.C10.Dll.C12.B

二、13.4石14.(-w-1)15.6316.2/3

三、

17.本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运

算能力.满分12分.

解：(I)依题设，f(x)=2cos2x+V3sin2x=1+2sin(2x+—).

6

由l+2sin(2xd—)=1—,得sin(2—H—.

662

冗7c万一5万7T

—W2x-i—W—：.2x+-=-

3326663

即产一生.

4

(II)函数y=2sin2r的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x—m)+n的图象，即函数

的图象.

■)1

由(I)得#x)=2sin2(x+—)+1.Vlml<—,m=-----，n=l.

12212

18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解：(I)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则

P,A、_*C：+C：_60+20_2_56+56_14

C,o1203C,o12015

214

答：甲、乙两人考试合格的概率分别为一和一.

315

(II)解法一、因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为

————2141

P(AB)=P(4)P(3)=1一一)(1一一)=—.

31545

甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

——144

p=l-p(A.8)=l———=——.

4545

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为空44.

45

解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P=P(A•B)+P(A•B)+P(A•B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

21I1421444

31531531545

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为二.

45

19.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象

能力和逻辑推理能力.满分12分.

解法一：(I)取AC中点D,连结DS、DB.

：SA=SC,BA=BC,

AACISD且ACXDB,

；.AC_L平面SDB,又SBu平面SDB,

AACISB.

(II)VSD1AC,平面SACJ_平面ABC,

平面ABC.

过D作DE_LCM于E,连结SE,则SE_LCM,

.♦.NSED为二面角S-CM-A的平面角.

由已知有OE〃工4W,所以DE=1,又SA=SC=2jI,AC=4,ASD=2.

=2

在RtZ\SDE中，tanNSED=-----=2,

DE

.,.二面角S—CM一A的大小为arctan2.

(Ill)在RtZ\SDE中，SE=y/SD2+DE2=75,CM是边长为4正AABC的中线,

CM-2A/3.SASCM=_CM,SE=—x2A/3X-\/5--VL5，

22

设点B到平面SCM的距离为h,

由VB-SCM=VS(MB，SD_L平面ABC,得—SZ\SCM•h=—SYMB•SD,

33

•••h=SACM8=逑即点B到平面SCM的距离为迪.

Q55

解法二：(1)取AC中点O,连结OS、OB.

VSA=SC,BA=BC,

.•.AC_LSO且AC_LBO.

「平面SAC_L平面ABC,平面SACC平面ABC=AC

；.SO_L面ABC,ASOIBO.

如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.

则A(2,0,0),C(-2,0,0),

S(0,0,2),B(0,2A/3,0).

AC=(-4,0,0).BS=(0,-2V3，2),

AC,BS=(-4,0,0),(0,—2y/3,2)=0.

AACIBS.

(H)由(I)得M(1,V3,0),CA/=(3,V3,O),

CS=(2,0,2).设n=(x,y,z)为平面SCM的一个法向量,

n-CM=3x+V35=0

则\一取x=T,则y=V3,z=1,

n-CS=2x+2z=0,

.*.n=(-l,V3，1).又OS=(0,0,2)为平面ABC的一个法向量,

cos(n,OS)=--------=—:

InI-I05I5

V5

二面角S-CM-A的大小为arccos----.

5

(III)由(I)(II)得)=(2,2A/3,0),

n=(-1,、回，1)为平面SCM的一个法向量,

_kfhIn-CMI45/5

..点B到平面SCM的距离d=--------=^―

INI5

20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际

问题的能力.满分12分.

2

解：(I)依题设，An=(500-20)+(500-40)+--•+(500-20n)=490n-lOn；

111500

Bn=500[(1+—)+(1+=)+…+(1+—)]-600=500n-——-100.

222"2"

(II)Bn-An=(500n-迎一100)-(490n-10n2)

2"

=10n2,+10n--500-100=10[n(n+l)——50-10].

因为函数y=x(x+l)—丁一10在(0,+°°)上为增函数，

当lWnW3时，n(n+l)—-10^12-—10<0；

2"8

当