3月大数据模拟卷03（广东专用）（解析版）高中数学

3月大数据精选模拟卷03(广东专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知集合A={x|0<x<2},集合3=卜卜2<才，则Ap|8=()

A.(1,2]B.(0,1)C.[0,1)D.(1,2)

【答案】B

【详解】

因为A={x[0«x<2},B=<xj=(0,1),

所以408=(0,1),

故选：B

2

2.已知复数2=——(i是虚数单位)，则1=()

1+2/

12.12.24.24.

A.—I—iB.-----1C.—I—iD.-----1

55555555

【答案】C

【详解】

2_2(1-2/)_24.._24,

Z——r-I1••Z=--1--1f

l+2z(l+2z)(l-2z)5555

故选:C.

3.设xeR,则“MKl”是<1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

当|x|vl时,BP-1<x<1,

x3-1=(x-l)(x2+x+l)<0=>x3-l<0=>x3<l,

因此山|X|<1能推出d<1，

1

当d<i时，显然当x=-2时成立，但是lx|<l不成立,

因此由<1不一定能推出|刘<1,

所以"Ix|<1"是“13<1，，的充分不必要条件,

故选：A

4.将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则

恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（）

11-11

A.—B.-C.—D.一

12326

【答案】D

【详解】

分配方案的总数恰好一名女生和一名男生分法有恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概

G6J

率是p=6

故选：D.

5.化简sirT[%—a)—sin~[1+a)可得()

A.cos2a+—\B.一sin2a+—C.cos2a——D.sin2a——

I3jI6)I3jI6

【答案】B

【详解】

TCTC7C

因为(7—a)+(—+a)=—

632

所以原式=cos"(—Fa)—sin2(—Fa)—cos(---F2a)——sin(2a4—),

3336

故选：B.

6.如图，直角三角形△ABC中，/ABC=900,A3=3,3C=4,M点是线段AC一动点，若以M为圆

心半径为右的圆与直线AC交于P,Q两点，则丽•苑的最小值为（）

2

1219719

A.—B.—D.—

152515

【答案】B

【详解】

因为证=一诙,

所以呼•丽=（两+M户）•（两一标）=\BM|2-|MP|2,

即旃.丽=|BW|2_5,

只需要求忸M的最小值即可，

12

当3MLAC时，忸闾最小，此时怛M=《,

所以（丽•丽）mm=9—5=音，

故选：B

7.已知曲线y=lnx在A（玉,y）,，两点处的切线分别与曲线y=e■'相切于。（刍,％），

。（王，%），则》也+y3y4的值为（）

3

5-17

A.1B.2C.一D.—

24

【答案】B

【详解】

1

xv,

—=e।1

百InXj-----

由题设有《,化简可得Xj_1即％3=X+l-xlnx=一山不，

Inx,-e'3_1

%一七用

,王一刍玉

,x+1,+1

整理得到皿广工，同理山”二，不妨设…2,

x+1

令y=]nx_=lnx-l---

x-lx-l

2Y4-1

因为当xe(O,l)时,y=lnx,y=均为增函数，故y=lnx---------为增函数,

x-lX—1

X4-1

同理当xe（l,+oo）时，故y=lnX-为--增-函数,

X-1

y-_|_1

故拓W分别为y=lnx—±」•在（0,1）、（1,+8）上的唯一解,

X—1

1,1,

----卜1----F1

天

111jX1!+1,IX]

Xin—=-lnxl,-i——=一一-故In-u-j]——

玉l-l占

3大

1x+1/、1

故—为y=lnx—在。，+°。）的解，故一=々即玉々=1.

x-lx\

所以X[X,+y3y4=x\x2+e的+&=+」一=2,

■西马

故选：B.

〃eN+）,q>0,则当也22时，下列判断不二定正确的是（）

8.已知数列{a,,},%=an+—

A.an>nB-an+2-an+i>an+i-an

-an+2/an+l

c.----3----------D.存在正整数当〃2A时，4+l恒成立

an+\an

【答案】C

【详解】

4

Q%+1=%+£•（〃€"）,a>0.

%

当〃=1时，a2=a{+—>2,当q=l时取等号，

4

假设〃=%时，ak>k,

kki—

当〃=Z+1时，4+i=%+——，由函数y=x+—在[JT,+oo）上单调递增知

%x

、ik1唯

。什12KH---=攵+1,

k

由以上可知，为之〃对〃之2成立，故A正确.

〃+1nn+1

若4+2—an+l-a,i+\~an成立，则需----一成立，即------”----成立，

a,用anann

a,.,..n,n〃+1

而3=l+r”l+-r=——成立，故原命题，B正确；

an%nn

533%33233a,515a.a,

取°尸2,则4=5,%=后此时二=式与=区7=于2="所以丁>获可知°不正确;

Qa“+i=4+T〃eAT）

a,

a；+]=a；+2〃H—r-„a：+2〃+1,

a；

故a-（〃+1）2«4一〃2,

2

故a；一〃-«a；_4=d=>an<\jn+d„n+1

d-\

取A2-―■的正整数，则有〃之人时，。“4〃+1恒成立，故D正确.

2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.若随机变量&〜N（0,l）,。（力=尸管4耳，其中x>0,下列等式成立有（）

A.0（-x）=l-°（x）B.0（2x）=2^（x）

5

C.P(冏<x)=20(x)—lD.尸(团>x)=2一°(x)

【答案】AC

【详解】

•••随机变量占服从标准正态分布N(0,1),

..・正态曲线关于4=0对称，

•.S(x)=PC，,x,x>0),根据曲线的对称性可得：

A>(-x)=^>x)=l-^(x),所以该命题正确；

B/(2x)=<2x),20(x)=2幅<x),所以0(2x)=20(x)错误;

C.^(1I<x)=P(-x<^<x)=1-2^(-x)=1-2[1-^(x)J=2^(x)-1,所以该命题正确；

D.P(l]1>X)=>无或Jv-x)=l-0(x)+。(一X)=1-0(x)+1=2-200),所以该命题错误.

10.已知函数/(x)=2cos2*-2行sin(i+x)cosx-1,则下列结论正确的是()

A.函数/(X)的图象关于点对称

B.函数/(X)在05单调递增

JT

C.函数“X)在0,-上的值域为1—1,2]

6

D.把函数y=2sin2x的图象向左平移2个单位长度可得到函数y=/（x）的图象

6

【答案】BC

【详解】

函数/（工）=2cos2尤一2百sin（乃+x）cos九一1=2cos2x-1+2\/3sinxcosx

=V3sin2x+cos2x=2sin2x+—

k6J

对于A,当x=q时，/^y'|=2sin^2xy+^=2sin^=l,故图像不关于点件0）对称，故A错

误；

'JI'JI,）I7/7/

对于B,由---h2火zr<2xH—W—F2k兀（kwZ）得----Fk1<xW—Fk7T（kGZ）,当左=0时，知函

26236

乃冗

数在一小二单调递增，故B正确；

|_36

式,知71,由正弦函数性质知sin（2x+w71j£—

对于C,由xe0,—P11

66

/（X）G[-1,2],故C正确；

对于D,函数y=2sin2x的图象向左平移2个单位长度可得到函数尸2"呜）=2可2呜），故D

错误；

11.下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）

A.设A、3为两个定点，上为非零常数，|西卜|丽卜女,则动点尸的轨迹为双曲线

B.设定圆。上一定点A作圆的动弦AB，0为坐标原点，若。户=g（（*+。月），则动点P的轨迹为椭

圆

C.方程2f—5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

222

D.双曲线二―二=1与椭圆工+丁=1有相同的焦点

25935•

【答案】CD

【详解】

对于A选项，若动点p的轨迹为双曲线，则|再H而|<|而卜即网<|通卜

7

但附与|国的大小关系未知，A选项错误；

对于B选项，由而=4d+0可可得而一丽=4砺+而）一次=,（砺_丽卜

一1一

可得AP=—A8,所以，点P为线段A3的中点，

2

如下图所示：

P与。重合;

当AB不是圆C的直径时，由垂径定理可得CPVAB.

设AC的中点为M，由直角三角形的几何性质可得|PM|=；|AC|（定值）,

所以，点P的轨迹为圆，B选项错误:

对于C选项，解方程2f-5x+2=0，可得玉=g，2=2,

所以，方程2f一5尤+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，c选项正确;

22.

对于D选项，双曲线全一方=1的焦距为2疹后=2型，焦点坐标为上庖⑼，

2__

椭圆工+y2=l的焦距为2居=1=2取，焦点坐标为（土后,0），D选项正确.

12.如图三棱锥尸-ABC,平面平面ABC,已知APBC是等腰三角形，△MC是等腰直角三角

形，若AB=BC=2,PB=PC=®球。是三棱锥P-ABC的外接球，贝U（）

8

p.

33

A.球心到平面PBC的距离是一B.球心到平面4BC的距离是一

24

D.球的体积是®^兀

C.球的表面积是一TT

43

【答案】BC

【详解】

三棱锥可置于棱长为2的正方体内,

正方体的上底面6G的中点P即为此三棱锥的顶点,

分别设。1，Q为△A6C、“方。外接圆圆心，。。2=1所以A错;

因为则。।是4C的中点.在等腰三角形PBC中，PM=2BM=2,

9

设其外接圆半径为「(如图)，

,53

则PO2=BO2=Ca=r，/。2=2—r得：,=但—r)一+F,解得「=彳，"2=2—厂=彳.所以，8

对；

设三棱锥P—ABC外接球半径为R在RQBO0中，

O0=MQ=j，BO\=C，所以收=8。2=(胃+(&y，解得代=段.

从而S=4万R?=2，V=—^-/?3=---处-所以C对，。铅.

4348

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式［％—j=)的展开式中的常数项为.

【答案】15

【详解】

(_iY6'3r

由题意可得，通项为C-x6T.-X2=C；-(-l)r-x2,令6--=0,得r=4，

<)2

所以常数项为C；1—1)4=15,

14.己知抛物线>2=4》的一条弦AB恰好以尸(U)为中点，则弦AB所在直线方程是

［答案］2x-y-l=0

【解析】

设A(X1,y),5(工2，必)，弦AB所在直线方程为y=%(x—l)+l,则%+%=2,乂+%=2

；A,B在抛物线y=4x上

10

.*2=4%

"W=4*2

，+%)(%-%)=4(%一工2)

&=2,即后=2

%]—x2

.・・弦AB所在直线方程为2%-y-1=0

15.设曲线y=/在点(0,1)处的切线与曲线y=’(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为.

x

【答案】(U)

【详解】

设P(%,%).

对y=e，求导得y=eS令x=0,得曲线y=e，在点(0,1)处的切线斜率为1,故曲线y='(x>0)上点尸

X

，|1I

处的切线斜率为-1,由>「』二――T=T，得鹏=i，则%=1，所以P的坐标为a,i).

xo

16.已知球。是三棱锥P—A5C的外接球，/%=AB=P3=AC=2,CP=20，点。是PB的中点,

且CD=5，则球。的表面积为.

【详解】

由Q4=AC=2,CP=2起，可得C产=B42+AC2,所以~4，AC，

由点。是PB的中点，且A4=AB=~B=2，可求得AO=G，

又由C£>=J7,AC=2,可得C£>2=A£>2+AC2,所以AD_LAC,

乂4。04/>=4且4。,48匚平面巳45,所以AC,平面%5，

以△如§为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，如图所示，

则三棱锥ABC的外接球即为该三棱柱的外接球，

球心O到底面4PAB的距离为d=,AC=1,

2

II

1PA2

由正弦定理‘可得△皿的外接圆的半径为〃嬴不=用

所以球。的半径为R="7

所以球。的表面积为S=4兀R2=47x@）2=一

故答案为：物

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

巧

17.在锐角△A6C中，设角A,B,。所对的边长分别为。，b,c,且/>sinA=±a.

2

（1）求3的大小；

3

（2）若AB=2,BC=不，点。在边AC上，__________,求3。的长.

2

请在①AZ）=OC；②NDBC=NDBA；③30,AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并

完成解答（如选多个条件作答，按排列最前的解法评分）.

【详解】

（1）在ZkABC中，由正弦定理一--=---及bsinA="a，

sinAsinB2

得sin8sinA=—sinA.

2

因为3c为锐角三角形，所以所以sinA>0.

12

所以sinB=.

2

又因为所以8=(.

(2)若选①.

在△A5C中，由余弦定理，得

3、2O_1O

--2x2x-xcos-=--

(2)234

所以AC=巫，所以AO=QC=中.

24

在△ABO中，由余弦定理，得

即4=8。+”-巫80cosZADB,

162

在△O8C中，由余弦定理，得BC=BD+DC-2BD-DC-cosNCDB、

BP-=BD2+—--BDcosNCDB.

4162

又ZADB+NCDB=n,所以COSNADB+COSNCDB=().

913

所以4+—=2g+—,

48

所以8。=圾.

4

若选②.

在△ABC11'，S4ABe=SjBD+S^CBD，

232o2o

BP|x2x|x^=lx2xBDxl+lxBDx|xl,

解得利=单.

若选③.

在AABC中，由余弦定理，得从。2=AB2+5C2—2A8-BC-COS3

.-37113pi~,_,713

=2+|——2x2x—xcos—=—>1力以4AC,=-----•

⑴2342

因为S3c=TB48C-sin8=乎，又S.板.AC=平8。，

13

所以呼8。=挛，解得80=2叵.

4413

18.已知数列｛。"｝满足％=3,an+｝=2an-n+1,数列｛么｝满足乙=2,bn+l=bn+an-n.

(1)证明数列｛a„-n｝为等比数列并求数列｛4｝的通项公式；

an-n

(2)数列数”｝满足%='求数列｛%｝的前〃项和北.

(2++1)

【详解】

怎+1-("+1)=(2《-〃+1)-(〃+1)=2

(1)•.•当〃eN+时,

an-n

又•.•4一1=2,.•.数歹是首项为2,公比为2的等比数列,

==2",

an=2"+n(n&N+)；

n

(2),/bn+}=bn+a„-n=bn+2+n-n=hn+T,

当"=1时4=2,当“22时N一"t=2"T,

nn

■■bl,=(bn-hn_l)+-+(b2-bl)+bi=2-'+--+2'+2^2x^-^+2=2,

2—1

当〃=1时符合，，"=2",

.°二….2"_1_______1_

"(2+1)(2M+1)(2n+l)(2,,+1+l)2"+12fl+,+l'

：.Tn=cl+c2+--+cn_l+cn

,11、，11、/11、，11、

-2+T-22+l+22+l-23+l+"++2H+l-2n+,+l

2____i

-3-2n+,+1'

19.随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化

受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类

储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局

14

在A、5两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周(7天)进

行生活垃圾分类占用时间统计如下表：

住户编号123456

A小区(分钟)220180210220200230

3小区(分钟)200190240230220210

(1)分别计算A、B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；

(2)如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物

业及住户协商，初步实施下列方案：

①A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员

进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元(按照28天计算标准)计算，则每位住

户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？

②8小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一

位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员(每

天工作8小时)月工资按照4(X)()元(按照28天计算标准)计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃

圾分类费是多少？

③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值

得进行推广？

【详解】

(1)=-(220+180+210+220+200+230)=210(分钟)，

6

,=」(200+190+240+230+220+210)=215(分钟)，

6

-[(220-210)2+(180-210)2+(210-210)2+(220-210)2+

/6

800

(200—210)92+(230—210)29]=宁，

4=-[(200-215)2+(190-215)2+(240-215)2+(230-215)2+

6

(220—215)2+(210—215y]=T；

(2)①按照A方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是

5x3000=15000元，

每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为弛&=15(元)，

1000

15

②由（1）知，8小区平均每位住户每周需要215分钟进行垃圾分类，一月需要215x4=860（分钟），

3小区一月平均需要860x1000=860000分钟的时间用于生活垃圾分类，

•••一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准，

一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于4名普通居民对生活垃圾分类的效果，

3小区一月需要专职工作人员至少一16（名），

8x60x28x4

则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为空幽=64（元），

1000

③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，

选择A方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；

如果对于高档小区的居民来说，可以选择8方案，这只是方便个别高收入住户，

综上，选择A方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.

20.如图1,在梯形ABC。中，AB//CD,AE1CD，5/，8.将44）£：与486分别绕45，BF

旋转，使得点0,C相交于一点，设为点P,形成图2,且二面角P—AE-尸与二面角尸一班'一后都是

45°.

（1）证明：平面PEF，平面ABFE；

⑵若AB=M，且梯形ABC。的面积为五+1，求二面角厂一心一A的余弦值.

【详解】

（1）VAE1CD-BF工CD，

：.ZAED=90°,ZBFC=90°./.AE//BF.

△AZ）石与△BCE分别绕AE,旋转的过程中，

ZAED，N5尸C的角度保持不变，故有尸E，BF±PF.

又由AE/AB尸得AELPf,且=故可得AEL平面PEF.

又由AEu平面A6EE，所以平面P£b_L平面A6EE.

（2）根据翻折过程中角度的不变性可知，PE±AE，EF工AE.

故NPEF为二面角P-AE—F的平面角，同理NPFE为二面角尸一3尸一£的平面角.

16

IlI题意可知NPEF=ZPFE=45°,所以&PEF为等腰直角三角形.

依题意易求得A3=EF，又求得EF=0，由此可得PE=PF=1

.即可得CD=0+2.结合梯形的面积公式可得AE=8尸=1.

如图，以所的中点0为原点建立空间直角坐标系。-孙z,

则可得点尸（0,坐,o],P[O,O,军

I2JI2

（V2（V2（V2

B1,—,0,A1,--,0,E0,--,0

所以有AA=1,♦，——，丽=（。,也,0）,

、7

由第（1）问可知而是平面的一个法向量,

取平面PM的一个法向量蓝=夜丽=（0,1,1）.

n-PB=0,

设平面PBA的一个法向量〃=（x,y,z），则有，

n,AB=0.

6a

x-\-y--z=0,

即可得〈22

V2y=0,

解得y=0.令Z=&，可得X=1.即＞=（l,o,、回）.

所以有cos（疝石m-nV3

m-\n\T

17

则有二面角尸一依一A的余弦值为-且