人教版九年级数学上册《正多边形的有关计算》教学案

正多边形的有关计算

素质教育目标

1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算

问题转化为解直角三角形的问题.

2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；通过一定量的计算,

培养学生正确迅速的运算能力；通过用不同方法求正多边形的内角，培养学生的发散思维能

力和选优意识；从具体边数的正n边形得到一般正n边形的计算图培养学生化归、转化的数

学思想.

3、由具体边数的正多边形计算图过渡到一般计算图，渗透了“从特殊到一般，再由一

般到特殊”的辩证唯物主义认识观；正多边形计算图的得出渗透了化繁为简、化难为易二矛

盾相互依存、相互转化的思想；通过正多边形的有关计算，培养学生仔细认真、一丝不苟、

严谨的科学态度；通过正多边形有关计算公式的推导，培养学生不断探索科学奥秘的创新精

神.

教学重点、难点、疑点及解决方法

1、重点：化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理、正多边形计算图及其应用。

2、难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运

用几何知识准确计算.

3、疑点及解决方法：学生对只画出正n边形的一部分图形的计算图生疏，用它分析、

计算有疑虑.为此计算图的抽象应由具体边数的正多边形计算图逐步过渡.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法。

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学过程

复司而备部今

复习提问：

1、哪位同学回答，什么叫正多边形.（安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形.）

2、什么是正多形的边心距、半径？（安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距.正

多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.）

3＞正多边形的边有什么性质、角有什么性质？（安排中下生回答：边都相等，角都相等.）

4、什么叫正多边形的中心角？（安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆

心角.）

5、正n边形的中心角度数如何计算？正n边形的一个外角度数如何计算？（哪位同学有所发

现？（安排举手学生：正n边形的中心角度数=正门边形的一个外角度数.）

6、哪位同学记得n边形的内角和公式？（请回忆起来的学生回答）.哪位同学能根据n边形

内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？（安排中下生回答：正

n边形每个内角度数）

7,正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？（中下生答）

根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，

正n边形每个内角度数又可怎样计算？（安排中下生答）

思考练习题一：（引导学生思考，回答）

1.正五边形的中心角度数是；每个内角的度数是；

2.一个正n边形的一个外角度数是360°,则它的边数n=,每个内角度数是；

3.一个正n边形的一个内角的度数是140。，则它的边数n=,中心角度数是.

对于前2题安排中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路.

偏堂獴栋群令

一、展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形.如凰让学生边观察、边回答老师依次

提出的问题、边思考.

1.观察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？（安排中下生回答）

AF

B至月

CD

⑷

2.观察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？（安排中等生回答）

3.将上述四个图形的观察与思考推而广之，你得出了什么结论？［哪位说说自己的想法］

二、作出各等腰三角形底边上的高，如图7-139,安排学生观察、思考并回答以下问题：

1.这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形，这两个直角三

角形全等吗？为什么？（安排中下生回答）

2.这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？（安排中下生回答：边心距）

3.正n边形的n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少？（安

排中等生回答：2n个）

给出定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

A

三、如图：安排学生观察每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成.（安排中下生回答,

直角三角形的斜边是正多边形的半径R、一条直角边是正多边形的边心距.另一直角边是正

多边形边长的一半（在此安排中等生回答:为什么？）半径与边心距的夹角是正多边形一个中

心角的一半.（安排中等生回答“为什么？”）

教师讲解：由于这个直角三角形融合了正多边形诸多元素，所以就可将正多边形有关半径、

边心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决.

给出正多边形抽象的计算图，教师讲解：

由于正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要画出这个直角

三角形就可以了，其余就不画或略画.图中R表示半径，rn表示正n边形的边心距，an表

示正n边形的边长，an表示正n边形的中心角.

提问：对于给定具体边数的正n边形，你首先可以求出直角三角形

中的哪个元素？（安排中下生回答，:中心角）.

（教师讲解）：直角三角形中一锐角己知，所以只要再给直角三角形的R、rn、an其中一项赋

值就可求出其它元素.

例1已知：如图7-142,正4ABC的边心距r3=2.

求：R、a3.

问：要解此题，首先要做什么？（找中等生回答：画出基本计算图）

然后要先计算什么？（找中等生回答：算出g中心角的度数.年=60°）

最后要做什么工作：（找中上生回答：选择三角函数）

图7-142

思考练习题二：完成下列各题：

1.己知，正方形ABCD的边长a4=2.求：R,r4.

2.已知：正六边形ABCDEF的半径R=2,求：r6,a6.

（对于计算正确且较快的学生，让他们自拟试题进行计算，教师重点辅导需要帮助的学生）

再回到例1,问：你会求这个正三角形的周长P3吗？怎么求？为什么这样求？（安排中等生

回答：边长X3,因为正三角形三边相等）.

再问：你会求这个正三角形的面积S3吗？怎么求？为什么这样求？（安排中等生回答：直角

△AOC的面积X6,由定理可知这样的直角三角形的个数是边数的2倍.或者，等腰AAOB

的面积义3,由定理可知选择的等腰三角形的个数与边数相同.）

请同学们分别计算上述二题的周长和面积（计算快而准的学生让其自拟题目再练习）

（幻灯给出例2）：已知正六边形ABCDEF的半径为R,求这个正六边形的边长a6、周长P6和

面积S6.

图7-143

（提问）：1.首先要作什么？（安排中下生回答：画基本计算图）2.然

后计算什么？（安排中下生回答：算出:中心角=30°）3.最后要做什

么？（安排中下生回答：选择三角函数）

通过上面计算，你得出正六边形的半径与边长有什么数量关系？（安排中下生回答：相等）

希望大家记住这个结论：a6=R,因为它不仅有利于计算而且是尺规画正六边形的依据.

大家再看$6=6♦56♦%=?P6♦4，它多象S&=gah,哪位同学

能纳出正n边形的面积公式？（找上等生回答：Sn=pnrn）

总给、名屐（引导学生反思）哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？（安排中

等生归纳）

1.化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理，2.运用正多

边形计算图解题步骤，3.a6=RSn=1pnrn）4.与正多边形有关的

角计算.

布置作业：教材P.158,7、9.

板书设计

7.17正多边形的有关计算（一）

1.n边形内角和=

2.正n边形的一个外角=

3.正n边形的一个内角=｛；］

教后札记：学生对正多边形的有关概念和计算方法能够理解，但是，应用较生，对定理能

够理解，但是，由于解题的综合性较强，对多边形接触较少，应用有难度，解题不周密，要

指导学生对正多边形的概念、作图和定理计算方法的反思学习。

正多边形的有关计算（二）

素质教育目标

1.复习正多边形的基本计算图，并会通过解一般直角三角形来完成正多边形的计算，解决

实际应用问题；通过正十边形的边长alO与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学

方法；在基本计算图的基础上，能将同圆内接正n边形与外切正n边形的有关计算数据进行

相互转化.

2、在解应用题时，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，把实物抽象为几何图形的抽象

能力；根据条件进行正确迅速计算的运算能力；用代数计算的结果作证明依据的综合、分析

问题，解决问题的能力；通过研究同圆内接正n边形与外切正n边形的关系，培养学生的观

察能力.

3、通过解应用题，培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观点；通过研究同

圆内接正n边形与外切正n边形的关系，渗透事物相互转化的观点及抓主要矛盾的辩证唯物

主义观点.

教学重点、难点、疑点及解决方法

1.重点：应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题；用

代数计算的方法证明正十边形的边长a1。=理匚氏（3）同圆内接正n

边形与外切正n边形已知条件与未知元素的相互转化.

2.难点：证a［。：与^R.

3.疑点及解决方法：在推导alO与R关系时，辅助线角平分线是怎么想出来的.解决方法

是复习等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法。

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学步骤

谈话引入：上节课我们根据正多边形的定义及其概念，运用将正多边形分割成三

角形的方法，得到了化正多边形有关计算为解直角三角形问题基本计算图，并应用基本

计算图解决诸如正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，即解决了含特殊角的正多边

形的有关计算问题，本节课我们继续研究正多边形的有关计算问题.正多边形的有关计算方

法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另

一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义，

为此本堂课讲解了几个正多边形有关计算的实例，借以培养学生用数学意识.

课堂探练部分

课堂练习：一，展示正多边形的一般计算图，教师提问以下问题让学生回忆并作答：

1.在RtZkAOD中，斜边R是正n边形的；（安排中下生回答：半径）

2.直角边rn是正n边形的；（安排中下生回答：边心距）

图7-144

3.图中的an表示正多边形的什么？（安排中下生回答：边长）

4.图中的an表示正多边形的什么？（安排中下生回答：中心角）

5.哪位同学知道当应该如何计算？（安排中下生回答：守=

180°、

一^）二，幻灯供题：己知正方形的半径是正，求边心距小边长即.

教师引导学生分析：哪位同学记得解这类题的一般步骤？（安排中下生回答：先画计算

图，标明已知数据，未知条件，再解直角三角形）正方形的g中心角

度数是多少？（安排中下生回答：45°）

要求边心距q,现已知半径R=、窗，大家想想看该选字的哪个三

分析完后，安排学生计算出结果.

例一：在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是

48cm,求它的半径R和边心距r5（精确到0.1cm）.

D

EM2C

AFB

图7-145

教师引导学生分析：哪位同学记得解这类题的一般步骤？（安排中下生回答）

解：设正五边形为ABCDE,它的中心为点0,连接0A,作0FLAB,垂足为F,（问：这一步

目的是什么？）则0A=R,0F=r5,ZA0F=?（安排学生回答：36°）

■AF=^=y=24（cm）,

2424

R=•々A。=———^40.8（cm）

sin360,5878

；.r5=24•ctg36°=24X1.3764^33.0（cm）.

答：这个正多边形的半径约为40.8cm,边心距约为33.0cm.

正多边形的有关计算，在生产和生活中常常会用到，但将实际问题归结为正多边形的有关计

算后，解题的步骤方法就依然如故了，本题拨禾轮问题与前题正方形的计算不是同出一辙

吗？

巩固练习：教材P.151中7,要用圆形铁片截出边长a的正方形铁片，选用的圆铁片的直径

最小要多长？

教师启发，提出下列问题：L要截出边长为a的正方形铁片与选用的直径最小的圆铁片它

们之间是什么关系？（安排中等生回答：正方形是圆的内接正方形）2.这题实质是给出了正

方形的什么元素，求什么元素？（安排中下生回答：给出正方形边长求半径.）

请同学们以最快的速度，求出答案.

例二：给出顶角36。的等腰三角形，教师作如下启发思考的提问：

1.如图，已知aABC中AB=AC,ZA=36°,哪位同学知道NB与Nc的度数？（安排中下生

回答）2.如果BD平分/ABC交AC于D,你发现图形中与BC相等的线段有哪些？（安排

中下生回答）3.你发现图形中哪两个三角形相似？（安排中等生回答）4.如果AC=a,BC

应是多少？怎么计算？（安排学生讨论、研究）

A

D

BC

图7-146

AB=AC1ZABC=72°=ZclZABD=ZDBC=36°

NA=36。BD平分/ABCj=/A=36。

rAD=BD=BC

'AABCcoABDC=

ACBCBC2=AC-DC=>BC2=（AC-AD）•AC）

----=-----=>=>

BCDCBC=ADJ

BC2=BC*AC-AC2=0）、,君-1

八^=>BC2+a*BC-a2=0=>BC=24—a

AC=a2

（继续启发思考提问）：大家观察证明中BC?=DE*AC这一步，因BC=AD,所以前等式变为

AD2=DC-AC,也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全

线段AC的比例中项，哪位同学记得点D应叫做线段AC的什么点？（安排回忆起来的学生回

答：黄金分割点）由上面的证明我们知道AD应是AC的黄金分割线段，由于BC与AD相等，

观察发现BC是顶角36。角的等腰三角形的底,AC是这等腰三角形的腰？通过上面证明哪位

同学能说一下你所得的结论？（安排中上学生回答：顶角36。角的等腰三角形的底边长是它

腰长的黄金分割线段）若腰长为a则底边长应是多少？（安排中等生回答）

1.哪位同学知道正十边形的中心角的度数是多少？（安排中下生回答：36。）2.大家想想看,

正十边形的夹36°中心角的半径与边长组成一个什么图形？（安排中等生回答:顶角36。的

等腰三角形）3.如果一个正十边形的半径为R,那么这个正十边形的边长alO应该等于多少？

你会证明aio=在逐T）Rio吗？请看书本150例三

例三：已知。0的内接正六边形的边长为2,求。。的外切正三角形的边长.

大家观察。0的半径0C,它与内接正六边形ABCDEF、外切正△MNP有什么联系？（安排中上

学生回答：0C是内接正六边形的半径，它又是外切正aWNP的弦心距）由于正六边形的边长

等于半径，知边长为2即知。0的半径R=2,而半径0C又是。。外切

正△MNP的弦心距今，解RtAOCP可得正△ANP的边长=4j3.

通过这题你发现连接圆内接正n边形与圆外切正多边形的桥梁是什么？（安排中等学生回

答：这个圆的半径R）这R是内接正n边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，所以解

这类题的关键在于根据已知条件首先求出R,再将R转化求出未知元素.

总结与拓展（引导学生反思）

哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？（安排上等生归纳）

1.应用正多边形的有关计算解决实际问题.

2.综合代数列方程的方法证明了a1。：誓^R,证明了一条线段

的黄金分割线段是全线段的亨，近似值0.618.

3.明确了连接圆内接正n边形与同圆外切正多边形的桥梁是这个圆的半径，即它是内接正

n边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，因此解决此类问题首先要求它.

布置作业教材P.158中练习8、10、11、12P.i51、1

板书设计

教后札记：学生对正多边形的有关概念和计算方法能够理解，但是，应用较生，对定理能

够理解，但是，由于解题的综合性较强，对多边形接触较少，应用有难度，解题不周密，要

指导学生对正多边形的概念、作图和定理计算方法的反思学习。

新沂市第十中学数学教案一一几何No：第6课时2005年2月26日星期六

国正多边形（一）

素质教育目标

1.使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边

形.使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三

角形、正十二边形.

2、通过画图培养学生的画图能力；通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画

三角形、正十二边形，培养学生观察、抽象、迁移能力.通过画图中需减小积累误差的思考

与操作，培养学生解决实际问题的能力.

3、通过画正方形到画正八边形，画正六边形到画正三角形、正十二边形，渗透从“特

殊到一般，再由一般到特殊”的认识观，从正多边形边数的增加越来越接近于圆，渗透了量

变到质变的运动观点.通过学习画图实践渗透理论联系实际的观点以及创新、选优意识.

教学重点、观点、疑点及解决方法

1.重点：用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形；用尺规

作圆内接正方形和正六边形.

2.难点：准确作图.

3.疑点及解决方法：尺规等分圆法，理论上正确，但实际应用画图时却并非如此，学

生对此产生疑惑，为此在教师示范过程中要演示出误差的积累过程与解决的方法.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法。

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学步骤

（引入）前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆

关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边

形.由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能

力之一。

复习派备都令,,

复习提问：1.哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？（安排中下生回答）2.哪位同

学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？（安排中下生回答：相等的圆

心角所对的弧相等）

健堂探栋郡今

引导学生探究下列问题

1、现在我们要画半径为R的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启

发？（安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为R的圆n等分，依次连结n

个等分点就得正n边形）

2、那么怎样把半径为R的圆n等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大

家相互间讨论.（安排中等生回答：把360°的圆心角n等分）

3、如果要作半径2cm的正九边形，你打算如何作呢？大家互相讨论看看.（安排中等生回

答：先画半径2cm的圆，然后把360。的圆心角9等份，每一份40。）,用什么工具可

得到40°角呢？（安排中下生回答：量角器）

教师总结：我们本堂课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，

课堂练习一：大家用量角器画出半径为2的内接正九边形.（让学生讨论交流不同的

画法后分类型板演）

注意:学生在画图实践中必然出现两种情况:其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，

这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40。的圆心角，然后在圆上依次

截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误

差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大.对此学生必然迷惑不解，在

此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，

然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽

可能准确的等于所画正九边形的边长.其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误

差的机会.

G

C

图7-148

课堂练习二：大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢？（安排中下生回答）

注意：画出NA0B=90°后，

方法1,可依次作90°圆心角；

方法2,用圆规依次截取等于AB的弧，大家观察有没有更好的方法？（安排中等生回

答：将AO与B0边延长交。。于C、D）.正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用

尺规能不能做出90°的圆心角呢？用尺规如何作半径为2cm的正方形？（安排中上等生回

答，先作半径2cm的圆，然后画两条互相垂直的直径）

图T-149

课堂练习三：请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形.（安排中上生完成）

引导学生思考：

1、大家想想看，借助这个图形，能否作出00的内接正八边形？（同学们互相研究研究，

安排中上生回答：能，过圆心0作正方形各边的垂线与圆相交即得。0的八等分点）为什么？

根据什么定理？（安排中上等生回答：垂径定理）还有什么方法？（安排中上等生作各直角的

角平分线.）请同学们用此二法在图上画出正八边形.

2、照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？（安排中下生回答：16边

形等）

教师引导学生总结：综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知。。的互相垂直的直

径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与。0相交，或作各中心角的角平分线与。0

相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

课堂练习四：大家再思考一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢？你都有哪些方

法？

引导学生讨论交流：

方法1.画半径2cm的。0,然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周.

方法2.画半径2cm的。0,然后用量角器画出60°的圆心角，

如果有同学想到方法3