九年级数学圆教学案

圆

第一课时

教学容

1.圆的有关概念.

2.垂径定理：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们

的应用.

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.

从感受圆在生活量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念.利用操作几何的方法，

理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方法得出猜测垂径

定理，并辅以逻辑证明加予理解.

重难点、关键

1.重点：垂径定理及其运用.

2.难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.

教学过程

一、复习引入

〔学生活动〕请同学口答下面两个问题〔提问一、两个同学〕

1.举出生活中的圆三、四个.

2.你能讲出形成圆的方法有多少种？

教师点评〔口答〕：〔1〕如车轮、杯口、时针等.〔2〕圆规：固定一个定点，固定一个长度，

绕定点拉紧运动就形成一个圆.

二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做

圆.固定的端点。叫做圆心，线段OA叫做半径.

以点O为圆心的圆，记作"OO",读作"圆O".

学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1:图上各点到定点〔圆心O〕的距离有什么规律？

问题2:到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

教师提问几名学生并点评总结.

[1]图上各点到定点〔圆心。〕的距离都等于定长〔半径r〕；

〔2〕到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点。的距

离等于定长r的点组成的图形.

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB;

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB;

③圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧，"以A、C为端点的弧记作AC”,读作"圆弧AC"

或“弧AC”.大于半圆的弧〔如下图ABC叫做优弧，小于半圆的弧〔如下图〕AC或BC叫

做劣弧.

B

Q

___/C

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

〔学生活动〕请同学们答复下面两个问题.

1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进展交流.

〔教师点评〕1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径.

3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的.

因此，我们可以得到：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.

〔学生活动〕请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是OO的一条弦，作直径CD,使CDLAB,垂足为M.

〔1〕如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

〔2〕你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由.

〔教师点评〕〔1〕是轴对称图形，其对称轴是CD.

[2]AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直径CD平分弦AB,并且平分AB及ADB.

这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

下面我们用逻斡思维给它证明一下：

:直径CD、弦AB且CDJ_AB垂足为M

求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD.

分析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此，只要连结。A、OB

或AC、BC即可.

证明：如图，连结OA、OB,那么OA=OB

在RtAOAM和RtAOBM中

OA=OB

OM=OM

：.RtAOAM^RtAOBM

/.AM=BM

二点A和点B关于CD对称

■,,©O关于直径CD对称

，当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合，AO与8。重合.

..AC=BC,AD=BD

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

〔此题的证明作为课后练习〕

例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦〔即图中C。，点O是C。的圆心，其中

CD=600m,E为CO上一点，且OE_LCD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几

何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.

解：如图，连接OC

设弯路的半径为R,那么OF=[R-90]m_

•,OE1CD''''、

11\,E

.-.CF=-CD=-X600=300[mJ\

22F\

根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2ID

即R2=3O()2+(R-90]2解得R=545°,

,这段弯路的半径为545m.

三、稳固练习

教材P86练习P88练习.

四、应用拓展

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m,水面到

拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由.

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，

因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.

解：不需要采取紧急措施

设OA=R,在RtZ\AOC中，AC=30,CD=18D

R2=302+[R-18]2R2=900+R2-36R+324MIEN

解得R=34〔m〕

C

连接OM,设DE=x,在Rt^MOE中，ME=16A----------------------------B

342=16?+[34-x]26

162+342-68X+X2=342X2-68X+256=0

解得X|=4,X2=64〔不合设〕

.1.DE=4

二不需采取紧急措施.

五、归纳小结〔学生归纳，教师点评〕

本节课应掌握：

1.圆的有关概念；

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.

3.垂径定理及其推论以及它们的应用.

六、布置作业

1.教材P94复习稳固1,2、3.

2.车轮为什么是圆的呢？

3.垂径定理推论的证明.

4.选用课时作业设计.

圆（第2课时）

教学容

1.圆心角的概念.

2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所

对的弦也相等.

3.定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对

的弦相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

教学目标

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以

推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.

通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆

中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别

相等，最后应用它解决一些具体问题.

重难点、关键

1.重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个

推论和它们的应用.

2.难点与关键：探索定理和推导及其应用.

教学过程

一、复习引入

〔学生活动〕请同学们完成下题.

△OAB,如下图，作出绕。点旋转30°、45°、60°的图形.

教师点评：绕。点旋转，。点就是固定点，旋转30°,就是旋转角/BOB'=30°

二、探索新知

如下图，NAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

〔学生活动〕请同学们按以下要求作图并答复以下问题：

如下图的。。中，分别作相等的圆心角NAOB和/A'OB'将圆心角NAOB绕圆心。

旋转到NA'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

AB=A'B',AB=A'B'

理由：•.•半径OA与O'A'重合，JLZAOB=ZA，OB'

二半径OB与OB'重合

:点A与点A'重合，点B与点B'重合

与A'8'重合，弦AB与弦A'B'重合

AB=A'B',AB=A'B'

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作

一作.

〔学生活动〕教师点评：如图1,在。。和O。’中，分别作相等的圆心角NAQB和/A'

O'B'得到如图2,滚动一个圆，使。与O'重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度,

使得OA与O'A'重合.

你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？

我能发现：AB=A'B',AB=A/B/.

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢——化

归思想，化未知为，因此，我们可以得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

〔学生活动〕请同学们现在给予说明一下.

请三位同学到黑板板书，教师点评.

例1.如图，在OO中，AB、CD是两条弦，OE_LAB,OF1CD,垂足分别为EF.

〔1〕如果NAQB=/COD,那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？

〔2〕如果OE=OF,那么AB与CO的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？

为什么？ZAOB与ZCOD呢？

分析：〔1〕要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF,

即说明AB=CD,因此，只要运用前面所讲的定理即可.

⑵-.OE=OF,.,.在RtZiAOE和RtZ\COF中,

又有AQ=C。是半径，.,.RtAAOE^RtACOF,

.,.AE=CF,/.AB=CD,又可运用上面的定理得到AB=CO

解：〔1〕如果NAOB=/COD,那么OE=OF

理由是：ZAOB=ZCOD

.-.AB=CD

-.OE1AB,OF1CD

11

.".AE=-AB,CF=-CD

22

.-.AE=CF

又...OA=OC

.,.RtAOAE^RtAOCF

.-.OE=OF

〔2〕也□果OE=OF,月口么AB=CD,AB=CD,ZAOB=ZCOD

理由是：

•.OA=OC,OE=OF

.,.RtAOAE^RtAOCF

.-.AE=Cr

又「OEIAB,OF1CD

11

.".AE=-AB,CF=-CD

22

.1.AB=2AE,CD=2CF

.-.AB=CD

..AB=CD,ZAOB=ZCOD

三、稳固练习

教材P89练习1教材P90练习2.

四、应用拓展

例2.如图3和图4,MN是。。的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P,NAPM=N

CPM.

〔1〕由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.

〔2〕假设交点P在。。的外部，上述结论是否成立？假设成立，加以证明；假设不成立,

请说明理由.

(3)

分析：〔1〕要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半

相等.

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的.

解：〔1〕AB=CD

理由：过。作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F

ZAPM=ZCPM

.1.Z1=Z2

OE=OF

连结OD、OB且OB=OD

.,.RtAOFD^RtAOEB

.,.DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

〔2〕作OE_LAB,OF1CD,垂足为E、F

ZAPM=ZCPN且OP=OP,ZPEO=ZPFO=90°

.'.RtAOPE^RtAOPF

.".OE=OF

连接OA、OB,OC、OD

易证RtaOBE9RtZ\ODF,RtAOAE^RtAOCF

Z1+Z2=Z3+Z4

.'.AB=CD

五、归纳总结〔学生归纳，教师点评〕

本节课应掌握：

1.圆心角概念.

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对

应的其余各组量都局部相等，及其它们的应用.

六、布置作业

1.教材P94-95复习稳固4、5、6、7,8.

2.选用课时作业设计.

圆（第3课时）

教学容

1.圆周角的概念.

2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的

圆心角的一半.

推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应

用.

教学目标

1.了解圆周角的概念.

2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半.

3.理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的

弦是直径.

4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻

辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些

实际问题.

重难点、关键

1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.

3.关键：探究圆周角的定理的存在.

教学过程

一、复习引入

〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫圆心角？

2.圆心角、弦、弧之间有什么在联系呢？

教师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所

对的其余各组量都分别相等.

刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位

置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的

问题.

二、探索新知

问题：如下图的QO,我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员

们只能在E/7所在的。。其它位置射门，如下图的A、B、C点.通过观

察，我们可以发现像NEAF、ZEBF,NECF这样的角，它们的顶点在圆

上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题.

1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？

2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？

3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言.

教师点评：

1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.

2.通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的.

3.通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好

等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”

〔1〕设圆周角NABC的一边BC是。。的直径，如下图

■/ZAOC是AAB。的外角

ZAOC=ZABO+ZBAO

•.OA=OB

ZABO=ZBAO

ZAOC=ZABO

ZABC=-ZAOC

2

〔2〕如图，圆周角/ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，

那么NABC=LNAOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程.

2

教师点评：连结BO交。。于D同理/AOD是AAB。的外角，Z

COD是△BOC的外角，那么就有NAOD=2/ABO,NDOC=2/CB。,

因此NAOC=2/ABC.

〔3〕如图，圆周角/ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，

那么/ABC=-ZAOC吗？请同学们独立完成证明.

2

教师点评：连结OA、OC,连结BO并延长交。。于D,那么/AOD=2

11

ZABD,zCOD=2zCBO,而ZABC=ZABD-ZCBO=-ZAOD--Z

22

I

COD=-ZAOC

2

现在，我如果在画一个任意的圆周角NAB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因

此，同弧上的圆周角是相等的.

从⑴、〔2〕、⑶,我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目.

例1.如图，AB是。。的直径，BD是。O的弦，延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的

大小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD,因为AB=AC,所以这个AABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要

连结AD证明AD是高或是/BAC的平分线即可.

解：BD=CD

理由是：如图24-30,连接AD

/AB是OO的直径

NADB=90"即ADJ_BC

5C--AC=AB

.".BD=CD

三、稳固练习