2020年中考数学人教版复习：相交线学案设计

2020年中考数学人教版专题复习：相交线

一、学习目标：

1.理解对顶角、邻补角、垂直、点到直线的距离等概念；

2.能够利用对顶角、邻补角的性质和垂直的定义解答有关角的问题;

3.掌握垂线的两个性质，体会其性质的应用；

4.了解“三线八角”，为学习平行线打下基础.

二、重点、难点：

重点：对顶角和邻补角的性质，垂线的定义和性质.

难点：怎样确定同位角、内错角、同旁内角.

三、考点分析：

本节的主要考点是：(1)对顶角的概念及其性质的应用；(2)同位角、内错角、同旁内

角这三类角的识别;(3)应用垂线的性质解决实际问题，其中与生活实际联系密切的应用题、

跨学科综合题、最短路径题是中考命题的方向.对本节知识的考查通常以填空题和选择题的

形式出现.

知识梳理

1.相交线

(1)邻补角：如图①，两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为

反向延长线的两个角互为邻补角.如图②，邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线

上的一条射线组成的两个角.邻补角具有特殊的位置关系，是两角互补的特例.

(2)对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系

的两个角互为对顶角.对顶角相等.

2.垂线

(1)垂直的概念

当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一

条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.如图③，直线AB、CD互相垂直，记作

AB_LCD或CD_LAB,若垂足为点。，记作AB_LCD,垂足为。或AB_LCD于点0.

根据两直线垂直的定义可知：因为NAOD=90°,所以AB_LCD于。；反过来，因为AB

_LCD于。，所以/AOD=90°.

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.如图④，线段PB的长

度是点P到直线/的距离.

C

A---------3--------B

0

D

③

(2)垂线的性质

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

3.同位角、内错角、同旁内角

如图⑤所示，直线AB、CD与EF相交(也可以说两条直线AB、CD被第三条直线EF所

截)，构成的八个角中，具有/I与N5这样的位置关系的角称为同位角.同位角的特征：在

被截两直线的同一方向;在截线的同旁.图中N2与/6,Z3与N7,Z4与N8也是同位角.具

有/4与/6这样的位置关系的角称为内错角.内错角的特征：在被截两直线之间；在截线

的两旁.图中Z3和N5也是内错角.具有N4和N5这样位置关系的角称为同旁内角.同旁

内角的特征：在被截两直线之间；在截线的同旁.图中/3和N6也是同旁内角.

2^

3/4

6/

C-----7^

F⑤

典例精析

知识点一：相交线

例1.下列结论错误的是（）

A.Na的邻补角与/a的和是180°

B.对顶角的角平分线在一条直线上

C.相等的角是对顶角

D.同一个角的两个邻补角是对顶角

思路分析：

题意分析：本题考查对顶角和邻补角的定义与性质.

解题思路：由邻补角的定义可知A和D是正确的，对于B,如图所示，因为AB、CD相交于

点0,根据对顶角相等，得NA0C=NB0D,则它们的一■半也相等，即N1=N2,因为NCOD

是一条直线，所以N1+NEOD=180°,Z2+ZEOD=180°,即OE与OF构成平角，所以

OE、OF在同一条直线上，对于C,相等的角不一定是对顶角，如图，Z1=Z3,但它们不

是对顶角.

解答过程：C

解题后的思考：①几何问题通过画图来帮助分析可使问题更有直观性.如图所示，画AB、

CD交于点0,画NAOC的平分线0E,NBOD的平分线OF.②判断OE、OF是否在一条直线

上，要看它们是否构成一个平角.③要说明某一结论是错的，只需举一个反例即可.

例2.如图所示，AB与CD相交于点。，0E平分NAOD,ZAOC=120°.求NBOD、Z

AOE的度数.

思路分析：

题意分析：如图所示，NA0C与NB0D是对顶角，NA0D与NA0C是邻补角，ZAOE=ZDOE

1

,/AOD.

解题思路：/BOD与NA0C是对顶角，可得NBOD的度数.由于/AOC与NA0D是邻补角，

可得NA0D的度数.又由于0E平分ZA0D,可得NAOE的度数.

解答过程：已知AB与CD相交于点。，

由对顶角相等，得：ZBOD=ZAOC=120°,

由邻补角的定义可得：ZAOD=180°-ZA0C=180o-120°=60°,

又因为0E平分/AOD,

11

所以NAOE=5/AOD=5X60。=30°

解题后的思考：对顶角、邻补角的性质揭示了两个角的数量关系，因此，我们要善于观察图

形，利用这种数量关系求角.

例3.如图所示，直线AB、CD、EF相交于点0,ZAOF=3ZFOB,ZAOC=90°.求/

EOC的度数.

D

F

思路分析:

题意分析：本题考查邻补角、对顶角性质的应用.

解题思路：由观察图形可知，NAOF与/FOB是邻补角，/BOF与NAOE是对顶角，利用它

们的性质和已知条件可求得/EOC的度数.

解答过程：设/BOF=x,则/AOF=3x.

由邻补角的定义可得：x+3x=180。.

解方程得x=45°,即NBOF=45°.

由对顶角相等，得NAOE=/BOF=45°,

BPZEOC=ZAOC-ZAOE=90°-45°=45°.

解题后的思考：有关图形的计算题常借用方程来求解.一般地，有类似NAOF=3/FOB这

样的条件时，引入未知数构建方程较好.

小结：在两条直线相交所形成的四个角中，相邻的是邻补角，相对的是对顶角，理解邻补角

和对顶角时要注意两点：一是位置关系，二是数量关系.

知识点二：同位角、内错角、同旁内角

例4.如图所示，写出图中/I的同位角.

/b

4

3/2

思路分析:

题意分析：要准确地找出所有的同位角，就必须做到不重复、不遗漏，而出现同位角的条件

必须是两条直线被第三条直线所截.

解题思路：由题意知，与N1构成同位角的三条直线只可能是a、b、/i或a、b、卜，当直线

h.12被直线。或b所截时，Z1不具有形成同位角的位置特征.

解答过程：(1)当三条直线为。、b、/i时，①直线。、/i被直线b所截，得/I的同位角是

Z2；②直线b、/i被直线。所截，得N1的同位角是23.(2)当三条直线为a、b、/2时，

①直线。、匕被直线b所截，得N1的同位角是/4；②直线b、〃被直线。所截，得/I的同

位角是/5.图中N1的同位角共有4个，Z2.Z3.Z4.Z5.

解题后的思考：解答这类题时，先确定截线和被截的两条直线，再根据同位角、内错角、同

旁内角的位置特征来找.

例5.如图所示，已标出8个角，其中内错角、同旁内角各有几对？

思路分析：

题意分析：本题考查对内错角、同旁内角的理解.

解题思路：可依据内错角、同旁内角的特征来确定.

解答过程：内错角有4对：N1与N7,N2与/8,/4与N7,/3与N6.

同旁内角有7对：N1与N8,N2与/7,N2与N3,N3与N7,N4与N5,N4与

Z6,与N6.

解题后的思考：在找图形中的内错角、同旁内角时，要抓住特点，掌握其顺序方法，做到不

重、不漏.

小结：在两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，同位角、内错角、同旁内角具有不同

的位置特征，但在数量关系上并没有要求.如果在数量上存在某种特殊关系，那么这三条直

线就会存在某种特殊的位置关系，这正是下一讲要学的内容.

知识点三：垂线

例6.（1）如图①所示，AC±/i，AB1/2，垂足分别为点A、B,则点A到直线/2的距

离是线段的长度.

（2）如图②所示，POXOR,0Q1PR,能表示点到直线（或线段）的距离的线段有

__________条.

思路分析：

题意分析：表示点到直线的距离必须明确是哪一点到哪一条直线的距离，注意不要被图形中

无关的点和线段混淆视线而盲目作答.

解题思路：（1）题要求找点A到直线/2的距离，即是找点A到直线/2的垂线段，显然线段

AB符合要求.（2）这是一道几何计数问题，实际上是找点到线段的距离，注意，不要漏点、

漏线.

解答过程：（1）AB；（2）5.P0表示点P到OR的距离；PQ表示点P到0Q的距离；R0表

示点R到0P的距离；RQ表示点R到0Q的距离；0Q表示点0到PR的距离.

解题后的思考:表示点到线段的距离时，要明确是点到该线段所在的直线的距离.如下图中，

CF表示点C到线段AB的距离，BE表示点B到线段AC的距离.

c

例7.如图所示，直线AB、CD相交于点。，OM±AB.

(1)若N1=N2,求NNOD的度数；

1

(2)若Nl=w/BOC,求/MOD的度数.

思路分析：

题意分析：若两条直线垂直，那么它们所得的四个角中每个角都是90°,在计算角的度数

时，根据需要选用一个即可.

解题思路：由己知条件和观察图形，可知N1与/COA互余，又Nl=/2,即可推出N2与

/COA互余，利用这些关系可求出/NOD；由/1=(/BOC,而NBOC=/1+90°,即可求

出N1的度数.

解答过程：(1)由OMJ_AB可得，NBOM=NAOM=90°,

而NAOM=N1+NAOC、Z1=Z2.

所以/AOM=/2+/AOC=90°.

又因为/2+/AOC=NCON,

所以NCON=90°，而NNOD=/COD—/CON.

所以NNOD=180°-90°=90°.

(2)由题意可得/BOC—/1=90°,

1

所以NBOC-W/BOC=90°,所以NBOC=120°,

11

Zl=^ZB0C=-X120o=30。.

所以NMOD=NCOD-/1=180°—30°=150°.

解题后的思考：在有关角的计算问题中，根据条件给出的角与角的关系，利用方程的思想方

法进行角的相关计算.

例8.某人骑自行车在直线形的公路AB上由A向B行进，M、N是分别位于AB两侧的

村庄.

(1)设此人骑行到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近；骑行到点Q的位置时，

距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出P、Q的位置(保留画图痕迹).

(2)当自行车从A出发向B行进时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村越来越

近？在哪一段路上，距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？(分别用文字表述你

的结论，不必证明)

思路分析：

题意分析：本题考查：①点到直线的距离的定义，垂线段最短；②两点的距离的定义：③作

图能力；④应用所学知识解决实际问题的能