2024八年级数学下册第14讲正方形核心考点讲与练含解析新版浙教版

Page1第14讲正方形（核心考点讲与练）一．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，相互垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．二．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．三．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的全部性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．一．正方形的性质（共7小题）1．（鄞州区校级期末）如图所示，将边长为12cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为32cm2，则它移动的距离AA'等于（）A．4cm B．6cm C．8cm D．4cm或8cm【分析】依据平移的性质和正方形的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12﹣x，依据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【解答】解：设AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°，∴△A′HA是等腰直角三角形，设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12﹣x，∴x•（12﹣x）＝32，解得x1＝4，x2＝8，即AA′＝4cm或AA′＝8cm，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质和平移的性质．解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．2．（鄞州区校级开学）如图，正方形ABCD的边长为6，P，Q两点同时从点A动身，在正方形ABCD的边上分别按顺时针和逆时针方向匀速运动，点Q的运动速度是点P的两倍，当点P第一次回到动身点时两点同时停止运动，在运动过程中，出现以P，Q，B，D为顶点的四边形为平行四边形的次数为（）A．0次 B．1次 C．2次 D．3次【分析】设点P的运动速度为1，点Q的速度为2，运动时间为t，然后利用平行四边形的性质分状况探讨求得t的值，即可得到结果．【解答】解：当点Q第一次位于AB上时，0≤t＜3，此时，点P位于AD上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；当点Q第一次在BC上时，3≤t＜6，点P在AD上，如图1，此时，PD＝6﹣t，BQ＝2t﹣6，∵四边形PBQD为平行四边形，∴PD＝BQ，即6﹣t＝2t﹣6，∴t＝4，符合题意；当点Q第一次在CD上时，6≤t＜9，此时，点P在CD上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；当点Q第一次在AD上时，9≤t＜12，此时，点P在CD上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；当点Q回到点A时，t＝12，点P在点C处，此时，四边形PBQD为正方形，符合题意；当点Q其次次位于AB上时，12＜t＜15，此时，点P位于BC上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；当点Q其次次位于BC上时，15≤t＜18，此时，点P位于BC上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；当点Q其次次位于CD上时，18≤t＜21，此时点P位于AB上，PB＝t﹣18，DQ＝42﹣2t，∵四边形PBQD是平行四边形，∴PB＝QD，即t﹣18＝42﹣2t，∴t＝20，符合题意；当点Q其次次位于AD上时，21≤t≤24，此时，点P位于BC上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；综上所述，以P，Q，B，D为顶点的四边形为平行四边形的次数为3次，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟知正方形的性质．3．（诸暨市期末）如图，在正方形ABCD内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．（1）若①号长方形纸片的宽为1厘米，则②号长方形纸片的宽为2厘米；（2）若①号长方形纸片的面积为10平方厘米，则②号长方形纸片的面积是平方厘米．【分析】（1）依据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等，可得②号长方形纸片的宽＝①号长方形纸片的宽×2，依此计算即可求解；（2）视察图形可知，②号长方形纸片的宽＝①号长方形纸片的宽×2，②号长方形纸片的长×3＝①号长方形纸片的长，依此计算即可求解．【解答】解：（1）1×2＝2（厘米）．故②号长方形纸片的宽为2厘米．故答案为：2；（2）10÷3×2＝（平方厘米）．故②号长方形纸片的面积是平方厘米．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，有理数的混合运算，解题的关键是视察图形得到②号长方形纸片的宽＝①号长方形纸片的宽×2，②号长方形纸片的长×3＝①号长方形纸片的长．4．（上城区月考）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）设∠AEC＝α，∠AFD＝β，试求β关于α的表达式．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE；（2）由全等三角形的性质可求∠CEB，由三角形的外角的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝α，∴∠CEB＝α＝∠AEB，∴∠DEF＝α，∴∠AFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣45°﹣α＝β．∴β＝135°﹣α．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，驾驭正方形的性质是本题的关键．5．（临海市开学）如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．（1）求证：DE＝BF；（2）若AH平分∠FAE交线段BC上一点H，连接EH，请推断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．【分析】（1）由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE，由全等三角形的性质可得DE＝BF；（2）依据全等三角形的性质得到AF＝AE，依据角平分线的定义得到∠FAH＝∠EAH，依据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∵EA⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠FAB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠DAE，在△BAF和△DAE中，，∴△BAF≌△DAE（ASA），∴DE＝BF；（2）解：DE+BH＝HE，理由如下：由（1）知△BAF≌△DAE，∴AF＝AE，∵AH平分∠FAE，∴∠FAH＝∠EAH，在△FAH与△EAH中，，∴△FAH≌△EAH（SAS），∴FH＝EH，∴DE+BH＝HE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，娴熟驾驭全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．6．（镇海区期末）如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是它的四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，AC与四边形EFGH的边EH交于点P．若，则∠AHE＝22.5度．【分析】过点E作EM∥BC交AC于点M，依据正方形的性质可得AD∥BC，∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，所以EM∥BC，可得△AEM是等腰直角三角形，可得AM＝AE，然后依据平行线分线段成比例定理和已知条件可得AE＝AP，再依据三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EM∥BC交AC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，∴EM∥BC，∴∠AEM＝90°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴AE＝ME，∴AM＝AE，∵EM∥BC，∴＝＝，∵，∴AE＝AP，∴∠AEP＝∠APE＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠AHE＝90°﹣67.5°＝22.5°．故答案为：22.5°．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是驾驭正方形的性质．7．（诸暨市期末）如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（）A．34 B．89 C．74 D．109【分析】过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，依据正方形的性质和平行线的性质，证△ABE≌△CDG即可；易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且两直角边长分别为h1、h1+h2，四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以S＝4××h1（h1+h2）+h22＝2h12+2h1h2+h22＝（h1+h2）2+h12，将h1＝5，h2＝2代入，即可解决问题．【解答】证明：如图，过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，∵四边形ABCD是正方形，l1∥l2∥l3∥l4，∴AB＝CD，∠ABE+∠HBC＝90°，∵CH⊥l2，∴∠BCH+∠HBC＝90°，∴∠BCH＝∠ABE，同理可得，∠BCH＝∠CDG，∴∠ABE＝∠CDG，∵∠AEB＝∠CGD＝90°，在△ABE和△CDG中，，∴△ABE≌△CDG（AAS），∴AE＝CG，即h1＝h3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∵∠AEB＝∠DFA＝∠BHC＝∠CGD＝90°，∠ABE＝∠FAD＝∠BCH＝∠CDG，∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且两直角边长分别为h1、h1+h2，∴四边形EFGH是边长为h2的正方形，∴正方形ABCD的面积S＝4××h1（h1+h2）+h22＝2h12+2h1h2+h22＝（h1+h2）2+h12，∵h1＝5，h2＝2，∴S＝（h1+h2）2+h12＝49+25＝74．故选：C．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质，本题的关键在于作好帮助线，依据已知找到全等三角形即可．二．正方形的判定（共4小题）8．（綦江区期末）如图，已知四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BC D．AC⊥BD【分析】依据已知条件可以推断四边形ABCD是矩形，则四条边相等的矩形是正方形或者对角线相互垂直的矩形是正方形．【解答】解：∵已知四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形．A、当AC＝BD时，只能判定四边形ABCD是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；B、矩形ABCD的四个角都是直角，则AB⊥BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；C、矩形ABCD的对边AD＝BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；D、当矩形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD时，该矩形是正方形，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定．须要驾驭矩形与正方形间的区分与联系．9．（嘉兴期末）要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是AB＝BC（写一个即可）．【分析】依据有一组邻边相等或对角线相互垂直的矩形是正方形添加条件．【解答】解：依据有一组邻边相等或对角线相互垂直的矩形是正方形，得到应当添加的条件为：AB＝BC或BC＝CD或CD＝DA或DA＝AB或AC⊥BD．故答案为：AB＝BC．【点评】本题是考查了正方形的判定，判别一个四边形为正方形主要依据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．10．（镇海区校级开学）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）请干脆填写，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．【分析】（1）依据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以推断四边形AEDF是平行四边形，再依据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；（2）依据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题．【解答】证明：（1）∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，时，四边形AEDF是正方形，理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，由（1）知四边形AEDF是菱形，∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．故答案为：90．【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题须要的须要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答．11．（富阳区期末）如图，在线段AB的同侧作射线AC和BD，当AC∥BD时，若∠CAB与∠DBA的角平分线分别交射线BD，AC于点E，F，两条角平分线相交于点P，连接EF．（1）试推断四边形ABEF的形态并赐予证明；（2）若AB＝BF＝2，在线段AE上取一点G，点G关于点P的对称点为点H，问线段AG的长为多少时？以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．【分析】（1）先依据角平分线的定义和平行线的性质证明AE⊥BF，AB＝BE，由AC∥BD，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由对角线相互垂直的平行四边形是菱形，可得结论；（2）由菱形的性质得到AF＝AB，推出△ABF是等边三角形，得到∠BAF＝60°，求得AP＝，依据正方形的性质得到PG＝PH＝1，于是得到结论．【解答】解：（1）四边形ABEF是菱形，理由是：∵AE平分∠FAB，BF平分∠ABE，∴∠FAP＝∠PAB＝∠FAB，∠PBA＝∠ABE，∵AC∥BD，∴∠FAB+∠ABE＝180°，∠FAP＝∠BEP，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∠BAP＝∠PEB，∴∠APB＝90°，AB＝BE，∴AE⊥BF，∵∠FAP＝∠BAP，∠APF＝∠APB＝90°，∴∠AFP＝∠ABP，∴AF＝AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AF＝AB，∵AB＝BF＝2，∴△ABF是等边三角形，∴∠BAF＝60°，∴∠FAP＝30°，∴AP＝，∵以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形，∴HG＝BF＝2，∴PG＝PH＝1，∵在线段AE上取一点G，点G关于点P的对称点为点H，∴点G在线段AP上或线段PE上，∴AG＝﹣1或+1．∴线段AG的长为﹣1或+1，以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，角平分线的定义，对称的性质，正确的理解题意是解题的关键．三．正方形的判定与性质（共4小题）12．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）A．40 B．25 C．26 D．36【分析】设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由正方形的面积公式，依据题意列出方程组解方程组得出大正方形的边长，则可求出面积．【解答】解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab+a（b﹣a）＝24①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得（b﹣a）2＝a2﹣3，②将①②联立解方程组可得：a＝4，b＝5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质及面积公式，难度较大，关键依据题意列出方程．13．（上城区校级期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE不行能是菱形（填“可能”或“不行能”）．请说明理由．【分析】（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得△OEC与△OFC是等腰三角形，则可证得OE＝OF＝OC；（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA＝OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB＝90°时，可满足其为正方形；（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线相互垂直．【解答】解：（1）OE＝OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC＝∠ECB，∴∠NEC＝∠ACE，∴OE＝OC，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF＝∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD，∴∠OFC＝∠OCF，∴OF＝OC，∴OE＝OF；（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形；（3）不行能．理由如下：如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不行能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．故答案为不行能．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，正方形、菱形的判定，关键是依据正方形的判定和性质解答．14．（鄞州区期末）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】延长EP交AD于Q，利用SAS证明△AQP≌△FCE，可得AP＝EF，即可判定①；由AP⊥BD可证得∠EFC＝∠PAQ＝45°，利用平行线的判定可证明②的正确性；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，由勾股定理及直角三角形的性质可求得AP的最小值，进而求得EF的最小值，进而可判定③．【解答】解：延长EP交AD于Q，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，∵PF⊥CD，∴∠DPF＝45°，∴DF＝PF，∵PE⊥BC，∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，∴DF＝QP，∴CE＝QP，在△AQP和△FCE中，，∴△AQP≌△FCE（SAS），∴AP＝EF，若AP＝5，则EF＝5，故①正确；若AP⊥BD，则∠PAQ＝45°，∵△AQP≌△FCE，∴∠EFC＝∠PAQ＝45°，∵∠BDC＝45°，∴∠EFC＝∠BDC，∴EF∥BD，故②正确；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，∵AB＝AD＝4，∴BD＝，∴AP＝BD＝，∵EF＝AP，∴EF的最小值为，故③错误，故选：A．【点评】本题主要考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等学问的综合运用，证明△AQP≌△FCE是解题的关键．15．如图，P为正方形ABCD内的一点，画▱PAHD，▱PBEA，▱PCFB，▱PDGC，请证明：以E，F，G，H为顶点的四边形是正方形．【分析】要证明以E，F，G，H为顶点的四边形是正方形，须要作帮助线连接四个顶点，推断4条线段与已知图形之间的关系，利用平行四边形的对角线相互平分的性质得到中点四边形是正方形，利用三角形的中位线定理很简洁证明须要的结论．【解答】证明：如图，连接PH、PG、PF、PE，交点分别为：M、N、L、K，再连接HG、GF、FE、EH、PH．依据平行四边形的性质，M平分AD和PH，N平分CD和PG，因此MN是△PHG的中位线，所以HG∥MN，HG＝2MN．∵顺次连接正方形ABCD各边中点得MNLK是正方形，∴MN＝NL＝LK＝KM，4个角都为90°．同理可证：GF∥NL，GF＝2NL；FE∥LK，FE＝2LK；EH∥KM，EH＝2KM．∴HG＝GF＝EF＝EH，四边形EFGH的4个角也为90°，所以E，F，G，H是正方形的四个顶点．【点评】本题考查了正方形的判定与性质、平行四边形的性质以及三角形中位线定理的运用．题组A基础过关练一．选择题（共5小题）1．（海曙区期末）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列推断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形 B．假如AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形 C．假如∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 D．假如AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故本选项正确．B、假如AD⊥BC时，∠EDF不愿定是直角，且ED不愿定等于DF，所以不能判定平行四边形AEDF是正方形．故本选项错误；C、平行四边形AEDF的一内角∠BAC＝90°，所以平行四边形AEDF是矩形．故本选项正确．D、因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以平行四边形AEDF是菱形．故本选项正确．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等学问点．2．（綦江区期末）如图，已知四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BC D．AC⊥BD【分析】依据已知条件可以推断四边形ABCD是矩形，则四条边相等的矩形是正方形或者对角线相互垂直的矩形是正方形．【解答】解：∵已知四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形．A、当AC＝BD时，只能判定四边形ABCD是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；B、矩形ABCD的四个角都是直角，则AB⊥BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；C、矩形ABCD的对边AD＝BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；D、当矩形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD时，该矩形是正方形，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定．须要驾驭矩形与正方形间的区分与联系．3．（庆安县期末）一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【分析】依据正方形的性质可求得边长，从而依据面积公式即可求得其面积．【解答】解：依据正方形的性质可得，正方形的边长为cm，则其面积为2cm2故选：A．【点评】此题主要考查学生对正方形的性质的理解及运用．4．（婺城区校级期末）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3 B． C．2 D．4【分析】依据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝1，依据勾股定理可得EF的长．【解答】解：∵ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°∵DF⊥DE∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°∴∠ADE＝∠CDF且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°∴△ADE≌△CDF∴AE＝CF＝1∵E是AB中点∴AB＝BC＝2∴BF＝3在Rt△BEF中，EF＝＝故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键娴熟运用这些性质解决问题．5．（温州校级月考）如图，点C为线段AB的中点，在AC边上取点D，分别以CD，BC，BD为边向上做正方形CDEF，正方形BCGH，正方形BDJI，已知AB为4，若连结AI恰好经过点E，则阴影部分面积为（）A． B． C．4﹣2 D．8﹣8【分析】依据△ADE和△ABI相像得出CD的长度，再依据长方形的性质即可得出答案．【解答】解：由题意得CD＝DE＝HI，设CD的长度为x，由△ADE和△ABI相像可得：，∵AB＝4，∴BC＝2，AD＝2﹣x，∴，解得x＝﹣2+2，∴阴影部分的面积为：＝＝8﹣8，故选：D．【点评】本题主要考查相像三角形的性质，关键是要牢记相像相像三角形的性质定理，能通过图视察出△ADE和△ABI相像．二．填空题（共9小题）6．（萧山区月考）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的点，AE的垂直平分线交CD，AB于点F，G．若BG＝2BE，则AG：BG＝：2，DF：CF＝．【分析】连接GE，延长GF交AD的延长线于H点，由于BG＝2BE，设BE＝x，BG＝2x，依据锐角三角函数的定义以及正方形的性质即可求出答案．【解答】解：连接GE，延长GF交AD的延长线于H点，∵BG＝2BE，设BE＝x，BG＝2x，则：GE＝x，又∵FG垂直平分AE，则AG＝GE＝x，∴＝；故正方形的边长AB＝AG+BG＝（+2）x，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝＝﹣2，∵∠H＝∠BAE，tan∠H＝＝﹣2，∴＝﹣2，则AH＝（5+2）x，∴DH＝AH﹣AD＝（5+2）x﹣（+2）＝（+3）x，∵tanH＝＝﹣2，∴DF＝（﹣2）（+3）x＝（﹣1）x，∴FC＝CD﹣DF＝（+2）x﹣（﹣1）x＝3x，故＝；故答案为：：2，．【点评】考查正方形的性质，解题的关键是娴熟运用中垂线的性质，勾股定理以及解直角三角形，本题属于中等题型．7．（嘉兴期末）要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是AB＝BC（写一个即可）．【分析】依据有一组邻边相等或对角线相互垂直的矩形是正方形添加条件．【解答】解：依据有一组邻边相等或对角线相互垂直的矩形是正方形，得到应当添加的条件为：AB＝BC或BC＝CD或CD＝DA或DA＝AB或AC⊥BD．故答案为：AB＝BC．【点评】本题是考查了正方形的判定，判别一个四边形为正方形主要依据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．8．（杭州期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F．△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，则CE的长为2．【分析】作帮助线GH过点E，且GH∥AB，构造一线三垂直模型，用EH分别表示出S1和S2的值，列出关于EH的式子，求出EH即可求出CE．【解答】解：如图，作GH过点E，且GH∥AB，∵∠HBE+∠HEB＝90°，∠HEB+∠GEF＝90°，∴∠HBE＝∠GEF，∵AC为正方形的对角线，∴CH＝EH，∴HB＝GE，在△HBE和△GEF中，，∴△HBE≌△GEF（ASA），∴GF＝EH，设EH＝a，AF＝6﹣2a，，，∵2S1＝3S2，∴6a＝3（a2﹣9a+18），解得a＝2，∴CE＝＝2，故答案为2．【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要能作出帮助线GH，构造一线三垂直模型，出现须要判定的全等三角形，将AF用EH表示出来．9．（秀洲区校级月考）如图，点P在线段AB上，PA＞PB．在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF，若两个正方形的面积之差等于10，则四边形DFEC的面积为5．【分析】设AP＝a，PB＝b，依据正方形的性质得到CD＝PC＝a，PF＝EF＝b，∠DCF＝∠PFE＝90°，求得CF＝PC﹣PF＝a﹣b，∠CFE＝90°，依据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：设AP＝a，PB＝b，∵四边形形APCD和四边形PBEF是正方形，∴CD＝PC＝a，PF＝EF＝b，∠DCF＝∠PFE＝90°，∴CF＝PC﹣PF＝a﹣b，∠CFE＝90°，∴四边形DFEC的面积＝S△DCF+S△CEF＝CD•CF+CF•EF＝a（a﹣b）+（a﹣b）b＝（a2﹣ab+ab﹣b2）＝（a2﹣b2），∵两个正方形的面积之差等于10，∴四边形DFEC的面积＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积的计算，娴熟驾驭正方形的性质是解题的关键．10．（柯桥区月考）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y，则当y＝，x的值为或2+．【分析】分两种情形：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．如图2中，当点A在正方形外部时，分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝；如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝×2×2﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故答案为或2+．【点评】本题考查正方形的性质，平移变换，多边形的面积等学问，解题的关键是理解题意，学会用分类探讨的思想思索问题．11．（柯桥区月考）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为2．【分析】依据旋转的性质得出∠EAF′＝45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝CD+BC＝4，得出正方形边长即可．【解答】解：如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∵将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，则△DAF≌△BAF′，∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°∴∠EAF′＝45°，在△FAE和△F'AE中，，∴△FAE≌△F'AE（SAS），∴EF＝EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+BC+BF′＝DF+FC+BC＝4，∴2BC＝4，∴BC＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等学问，得出△FAE≌△F'AE是解题关键．12．（温岭市期末）如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与OGDF也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则OA＝2．【分析】先证四边形AHOF是矩形，可得AH＝OF，由三角形的面积公式可得OF2+OH2＝20，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD，四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形，∴AD∥BC∥HG，AB∥EF∥CD，FO＝OG，HO＝OE，∴四边形AHOF是平行四边形，又∵∠BAD＝90°，∴四边形AHOF是矩形，∴AH＝OF，∵阴影部分的面积是10，∴×OG×OF+×OE×OH＝10，∴OF2+OH2＝20，∴AH2+OH2＝20，∴OA2＝20，∴OA＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等学问，求出OA2的值是解题的关键．13．（嵊州市期末）如图，四边形ABCD和AEFG均为正方形，点G在对角线BD上，点F在边BC上，连结BE．若DG＝3，BF＝1，则正方形ABCD的边长为7．【分析】过点E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由“SAS”可证△BAE≌△DAG，可得BE＝DG＝3，∠ABE＝∠ADG＝45°，由等腰直角三角形的性质可求EH＝BH＝3，利用勾股定理可求EF，FG，即可求解．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，∵四边形ABCD和AEFG均为正方形，∴AE＝AG，AD＝AB，∠EAG＝∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，BD＝AD，EG＝EF，∴∠EAB＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG＝3，∠ABE＝∠ADG＝45°，∴∠EBH＝180°﹣45°﹣90°＝45°，∵EH⊥BH，∴∠EBH＝∠BEH＝45°，∴EH＝BH，∴BE＝BH＝3，∴EH＝BH＝3，∴FH＝BF+BH＝4，∴EF＝＝＝5，∴EG＝5，∴BG＝＝＝4，∴BD＝BG+DG＝7，∴AD＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等学问，求出EH的长是解题的关键．14．（宁波期末）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连结AE，交BD于点F．若∠CDE＝30°，则∠DFC的度数为105°．【分析】依据正方形性质和已知得AD＝DE，依据等腰△ADE顶角为120°计算∠DAE＝30°，由三角形的内角和定理得∠AFD＝105°，通过证明△ADF≌△CDF证出∠DFC＝∠AFD即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵DC＝DE，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠ADE＝90°+30°＝120°，∴∠DAE＝30°，∴∠AFD＝180°﹣25°﹣45°＝105°，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DFC＝∠AFD＝105°，故答案为：105°．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，娴熟驾驭正方形的性质是关键．三．解答题（共4小题）15．（乐清市校级开学）如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E，F在对角线BD上，AE∥CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠ABE＝2∠BAE，求DF的长．【分析】（1）利用平行线性质和正方形的性质可得∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，则借助AAS可证明△ABE≌△CDF；（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，证明∠HAE＝∠HEA，得到AH＝HE．设BE＝DF＝HE＝AH＝x，则HB＝x．依据AB＝4，构造关于x的方程，解方程即可．【解答】证明：（1）∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFB．∴∠AEB＝∠CFD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（AAS）．（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，∴∠BHE＝∠HBE＝45°．∵∠ABE＝2∠BAE，∴∠BHE＝2∠BAE．又∵∠BHE＝∠HAE+∠AEH，∴∠HAE＝∠HEA．∴AH＝HE．设BE＝DF＝HE＝AH＝x，则HB＝x．∴x+x＝4，解得x＝4﹣4．所以DF＝4﹣4．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，此题第一问简洁，其次问是“倍半角”问题，通过帮助线构造等腰三角形转化角的解决这类问题的通用方法．16．（阳信县模拟）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE，（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由（2）在（1）的条件下，当∠A＝45°时四边形BECD是正方形．【分析】（1）先证明AC∥DE，得出四边形BECD是平行四边形，再“依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD＝BD，得出四边形BECD是菱形；（2）先求出∠ABC＝45°，再依据菱形的性质求出∠DBE＝90°，即可证出结论．【解答】解：当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；理由如下：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；∵D为AB中点，∴AD＝BD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB＝BD，∴四边形BECD是菱形；（2）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∵四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．故答案为：45°．【点评】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；依据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．17．（滨江区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AC，交边AD，AB于点F，H，连接CF，CH．（1）求证：CF＝CH；（2）若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．【分析】（1）利用正方形的性质得到∠FAE＝∠HAE＝45°，再证明△AEF≌△AEH得到EF＝EH，然后依据线段垂直平分线的性质得到结论；（2）设AE＝x，依据等腰直角三角形的性质得到AF＝x，FH＝2x，利用三角形面积公式得到•2x•x＝×1•（1﹣x），然后解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠FAE＝∠HAE＝45°，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝∠AEH＝90°，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH（ASA），∴EF＝EH，∴AC垂直平分FH，∴CF＝CH；（2）解：设AE＝x，AF＝x，DF＝1﹣x，FH＝2AE＝2x，∵△AFH与△CDF的面积相等，∴•2x•x＝×1•（1﹣x），整理得2x2+x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝（舍去），∴AE＝．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的两条对角线相等，相互垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质．18．（路桥区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（DE＜BE），连接AE，过点E分别作EF⊥AE交BC于点F，EG⊥BD交BC的延长线于点G．（1）若AD＝2，DE＝1，求EG的长度；（2）求证：FG＝AB．【分析】（1）由正方形的性质可得AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，∠ABD＝∠CBD＝45°，可求BE的长，由等腰三角形的性质可得EB＝EG＝2﹣1；（2）由“AAS”可证△ABE≌△FGE，可得FG＝AB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴BE＝BD﹣DE＝2﹣1，∵EG⊥BD，∠DBG＝45°，∴∠DBG＝∠EGB＝45°，∴EB＝EG＝2﹣1；（2）∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠GEF，又∵BE＝EG，∠ABD＝∠FGE＝45°，∴△ABE≌△FGE（AAS），∴FG＝AB．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵敏运用这些性质进行推理是本题的关键．题组B实力提升练一．选择题（共7小题）1．（椒江区校级月考）正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F，B，C在同始终线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF并取中点M，则AM的长为（）A． B． C． D．【分析】依据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出BH，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：延长AM交BC于H点，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，BG＝，BC＝3，∴BF＝BG＝2，AB＝AD＝CD＝BC＝3，∵点F，B，C在同始终线上，∴AD∥CF，∴∠DAM＝∠FHM，∠ADM＝∠HFM，∵M是DF中点，∴DM＝FM，∴△ADM≌△HFM（AAS），∴AD＝FH＝3，AM＝HM＝AH，∴BH＝FH﹣BF＝1，在Rt△ABH中，AH＝，∴AM＝，故选：A．【点评】此题考查正方形的性质，关键是依据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．2．（芜湖模拟）如图所示，四边形ABCD是正方形，G是BC上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．若3AB＝5EF，则S阴影：S正方形ABCD的值为（）A．5：9 B．3：5 C．17：25 D．16：25【分析】设EF＝3a，则AB＝5a，证明△DAE≌△ABG，得到AE＝BF，再利用勾股定理求出AE＝BF的长度，求S△DAE和S△ABF，从而得解．【解答】解：设EF＝3a，则AB＝5a，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵∠DAE+∠GAB＝∠GAB+∠FBA＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（AAS），∴AE＝BF，设AE＝BF＝m，在Rt△ABF中，AB＝5a，BF＝m，AF＝3a+m，∴m2+（3a+m）2＝（5a）2，解得m1＝a，m2＝a（舍去），∴S△DAE＝S△ABF＝（a+3a）×（a）＝4a2，∵S正方形ABCD＝5a×5a＝25a2，∴S阴影＝25a2﹣2×4a2＝17a2，∴S阴影：S正方形ABCD＝17a2：25a2＝17：25．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题关键是证明∴DAE≌△ABG，得到AE＝BF，进而计算面积求解．3．（温州期末）在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，将线段EF向右平移m个单位，使得点E落在CD上，F落在BC上，已知AE+EF+CF＝24，CD＝10，则m的值为（）A．6 B．4﹣2 C．4 D．2+2【分析】过点E作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，利用一线三垂直模型证明△AME≌△ENF，列出关于m的方程，求出m即可．【解答】解：过点E作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，∵E在正方形的对角线上，∴EM＝EE'＝m，∴AM＝10﹣m，EN＝10﹣m，∵∠FEN+∠AEM＝90°，∠FEN+∠EFN＝90°，∴∠AEM＝∠EFN，在△AME和△ENF中，，∴△AME≌△ENF（AAS），∴FN＝ME＝m，∴，解得m＝，故选：B．【点评】本题主要考查正方形的性质，关键是要作帮助线构造一线三垂直模型，证明全等的三角形，才能列出关于m的方程，从而求出m的值．4．（浦江县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF，交点为G，CH⊥BF，交BF于点H．若CH＝HG，S△CFH＝1，那么正方形的面积为（）A．15 B．20 C．22 D．24【分析】依据AE⊥BF，利用同角的余角相等得出∠EAB＝∠FBC，再依据AAS即可证出△ABG≌△BCH，得BG＝CH，设CH＝x，算出BC＝＝，设FH为y，分别在△CFH和△CFB中运用勾股定理得y＝x，再由S△CFH＝1得x＝2，即可求出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵AE⊥BF，∠ABC＝90°，∴∠BAE+∠GBA＝90°，∠FBC+∠GBA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∵CH⊥BF，∴∠BHC＝90°＝∠AGB，在△ABG与△BCH中，，∴△ABG≌△BCH（AAS），∴BG＝CH，设CH＝x，则HG＝BG＝x，∴BH＝2x，∴BC＝＝，设FH为y，∵CH⊥BF，在△CFH中，CF2＝FH2+CH2＝x2+y2，在△CFB中，CF2＝BF2﹣BC2＝（2x+y）2﹣5x2，∴x2+y2＝（2x+y）2﹣5x2，解得：y＝x，∴＝＝1，∴x＝2，∴正方形的面积为BC2＝（2）2＝20．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，分别在△CFH和△CFB中运用勾股定理是本题的关键．5．（丽水期末）如图正方形ABCD的边长为a，P是对角线AC上的点，连结PB，过点P作PQ⊥BP交线段CD于点Q．当DQ＝2CQ时，BP的长为（）A．a B．a C．a D．a【分析】作PE⊥AB于E，交CD于F，依据正方形的性质得∠PAE＝∠PCF＝45°，AB∥CF，再推断△PCF为等腰直角三角形得到PF＝CF，接着利用等角的余角相等得到∠1＝∠2，于是可证明△BEP≌△PQF，所以PE＝FQ，设EP＝FQ＝x，则AE＝x，CF＝x+，在△BEP中用勾股定理即可算出BP＝＝．【解答】解：过P作PE⊥AB于E，交CD于F，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠PAE＝∠PCF＝45°，AB∥CF，∴PF⊥CF，∴△PCF为等腰直角三角形，∴PF＝CF，而CF＝BE，∴PF＝BE，∵PB⊥PQ，∴∠1+∠BPE＝90°，而∠2+∠BPE＝90°，∴∠1＝∠2，在△BEP和△PQF中，∴△BEP≌△PFQ（ASA），∴EP＝FQ，正方形ABCD的边长为a，DQ＝2CQ，∴CQ＝，设EP＝FQ＝x，则AE＝x，CF＝x+，∴AB＝x++x＝a，∴x＝，∴BP＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作出帮助线构造△BEP≌△PQF是本题的关键．6．（瑞安市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边分别作正方形ACDE，正方形BCFG与正方形ABMN，AN与FG相交于点H，连接NF并延长交AE于点P，且NF＝2FP．记△ABC的面积为S1，△FNH的面积为S2，若S1﹣S2＝21，则BC的长为（）A．6 B． C．8 D．9【分析】作NI⊥FG，先证明四边形AOIF为矩形以及△BAC≌△NAO，由此得AO＝AC，NO＝BC，设AC＝a，BC＝b，再证明△NFI∽△NPO，△NHI∽△NAO，由此得b＝a．最终分别求出S1，S2，即可得到答案．【解答】如图，作NI⊥FG，垂足为I，延长EA，NI交于O，∵∠ACB＝90°，四边形ACDE与四边形CBGF为正方形，∴AE∥BD，FG∥BD，CF⊥FG，∴AE∥FG．∵NI⊥FG，CF⊥FG，∴NI⊥AE，CF∥NO，∴四边形AOIF为矩形，∵∠O＝90°，AF＝IO，FI＝AO，∠OAF＝∠OAC＝90°．∵四边形BANM为正方形，∴AN＝AB，∠BAN＝90°，∴∠OAC﹣∠OAB＝∠BAN﹣∠OAB，即∠BAC＝∠NAO，在△BAC与△NAO中，，∴△BAC≌△NAO（AAS），∴AO＝AC，NO＝BC，设AC＝a，BC＝b，则CF＝BC＝NO＝b，FI＝AO＝AC＝a，∴AF＝IO＝b﹣a，NI＝NO﹣IO＝b﹣（b﹣a）＝a．∵FG∥AE，∴∠NFI＝∠NPO，∠NIF＝∠O，∠NHI＝∠NAO，∴△NFI∽△NPO，△NHI∽△NAO，∴，，∴NI＝2IO，，∴a＝2（b﹣a），∴b＝a．∵，∴HI＝AO＝a，∴FH＝FI﹣HI＝a﹣a＝，∵S1＝AC×BC＝a×b＝，S2＝FH×NI＝××a＝a2，∴S1﹣S2＝﹣a2＝＝21，∴a2＝36，即a＝6，∴b＝a＝9，∴BC＝9．故选：D．【点评】本意主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相像三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明△BAC≌△NAO、△NFI∽△NPO以及△NHI∽△NAO，得出b＝a．7．（浙江自主招生）如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同始终线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为（）A． B． C．2 D．【分析】延长AD至H，易证△AMH≌△EMF，得FM＝HM，AH＝EF，又∵DH＝AH﹣AD，且DF＝CF﹣CD，解直角△DFH可以求得FH的长，依据FM＝HM即可解题．【解答】解：延长AD至H，延长FM与AH交于H点，则在△AMH和△EMF中，，∴△AMH≌△EMF，即FM＝MH，AH＝EF，∴DH＝AH﹣AD＝EF﹣AD＝1，∵DF＝CF﹣CD＝3﹣2＝1，在直角△DFH中，FH为斜边，解直角△DFH得：FH＝，又∵FM＝MH，∴FM＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等的性质，考查了正方形各内角均为直角的性质，本题中求证FM＝MH是解题的关键．二．填空题（共2小题）8．（婺城区期末）五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由一个正方形按如图1方式分割而成，其中图形①是正方形，小明发觉可以将五巧板拼搭成如图2所示的“三角形”与“飞机”模型．在“飞机”模型中宽与高的比值＝．【分析】利用图1和图2所示可得：MNHG为正方形，DE＝EC＝AF＝FB＝BC，设正方形MNHG的边长为a，则AG＝MG＝GH＝HN＝HB＝NC＝a；通过说明△CHB∽△BHF，得到HF＝a，利用拼图与原图对比求得l与h的长，则结论可求．【解答】解：由题意得：MNHG为正方形，DE＝EC＝AF＝FB＝BC．设正方形MNHG的边长为a，则AG＝MG＝GH＝HN＝HB＝NC＝a．∵BH⊥CF，∠FBC＝90°，∴△CHB∽△BHF．∴．∵CH＝2a，BH＝a，∴．∴HF＝a．由题意：AE＝CF．ME＝HF＝a．∴l＝GH+MN+NH＝3a，h＝HN+CH+HF＝3.5a．∴＝．故答案为：；【点评】本题主要考查了正方形的性质，七巧板的操作，利用拼图与原图的对比找出数量关系是解题的关键．9．（湖州期末）七巧板是我国祖先的一项卓越创建，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中点E，F，G，H，K都在矩形边上），则AD长是．【分析】如图，设DF＝x，DE＝y，依据△AFG∽△DEF，可得出：AF＝2y，AG＝2x，同理：△CHK∽△DEF，可得出：CH＝y，CK＝x，再证明△AFG≌△BGH（AAS），可得：BG＝AF＝2y，BH＝AG＝2x，AD＝x+2y，BC＝2x+y，再由AD＝BC，建立方程求解即可．【解答】解：如图，设DF＝x，DE＝y，在Rt△DEF中，EF＝2，∵∠A＝∠D＝∠EFG＝90°，∴∠DFE+∠AFG＝90°，