2023-2024学年广东省广州白云区达标名校中考数学模拟试卷含解析

2023-2024学年广东省广州白云区达标名校中考数学模拟精编试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下列结论：①ac＜1；②a+b＜1；③4ac＞b2；④4a+2b+c＜1．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为()A．40° B．50° C．60° D．70°3．如图，用一个半径为6cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，绳索端点G向下移动了3πcm，则滑轮上的点F旋转了（）A．60° B．90° C．120° D．45°4．如图，右侧立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．5．函数y=中自变量x的取值范围是A．x≥0 B．x≥4 C．x≤4 D．x>46．已知，下列说法中，不正确的是（）A． B．与方向相同C． D．7．如图，按照三视图确定该几何体的侧面积是(单位：cm)()A．24πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm28．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A． B． C． D．9．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为()A．2 B．3 C．5 D．710．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.12．已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果AB=a，AC=b，那么DA=_____（用13．地球上的海洋面积约为361000000km1，则科学记数法可表示为_______km1．14．方程的根是__________．15．如图放置的正方形，正方形，正方形，…都是边长为的正方形，点在轴上，点，…，都在直线上，则的坐标是__________，的坐标是______.16．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90o，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，∠A=∠PDB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB=4，DA=DP，试求弧BD的长；（3）如图②，点M是弧AB的中点，连结DM，交AB于点N．若tanA=12，求DN18．（8分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）=（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1）=，T（m，﹣2）=．填空：T（4，﹣1）=（用含a，b的代数式表示）；若T（﹣2，0）=﹣2且T（5，﹣1）=1．①求a与b的值；②若T（3m﹣10，m）=T（m，3m﹣10），求m的值．19．（8分）某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．该门市为促销制定了两种优惠方案：方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品；方案二：按购买金额打八折付款．某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x(x≥20)件．(1)分别直接写出优惠方案一购买费用y1(元)、优惠方案二购买费用y(2)若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与函数的图象的一个交点为．（1）求，，的值；（2）将线段向右平移得到对应线段，当点落在函数的图象上时，求线段扫过的面积．21．（8分）已知：如图1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向点C匀速运动，速度为lcm/s；连接PQ，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当为t何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y关于t的函数关系式，并求出y的最大值；（3）如图2，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，是否存在某时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．22．（10分）问题提出（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD的中点，则∠AEB∠ACB（填“＞”“＜”“=”）；问题探究（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；问题解决（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的距离BD=11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．23．（12分）先化简，再求代数式（）÷的值，其中a=2sin45°+tan45°．24．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=1OD，OE=1OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（1）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图1．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解析】

由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①根据图示知，该函数图象的开口向上，∴a>1；该函数图象交于y轴的负半轴，∴c<1；故①正确；②对称轴∴∴b<1；故②正确；③根据图示知，二次函数与x轴有两个交点,所以,即，故③错误④故本选项正确．正确的有3项故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系.二次项系数决定了开口方向，一次项系数和二次项系数共同决定了对称轴的位置，常数项决定了与轴的交点位置．2、B【解析】

解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．3、B【解析】

由弧长的计算公式可得答案.【详解】解：由圆弧长计算公式,将l=3π代入,可得n=90，故选B.【点睛】本题主要考查圆弧长计算公式，牢记并运用公式是解题的关键.4、A【解析】试题分析：从上边看立体图形得到俯视图即可得右侧立体图形的俯视图是，故选A.考点：简单组合体的三视图．5、B【解析】

根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．【详解】根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1，则自变量x的取值范围是x≥1．故选B．【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，注意：二次根式的被开方数是非负数．6、A【解析】

根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】A、，故该选项说法错误B、因为，所以与的方向相同，故该选项说法正确，C、因为，所以，故该选项说法正确，D、因为，所以；故该选项说法正确，故选：A．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．7、A【解析】

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其侧面积．【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为8÷1=4cm，故侧面积=πrl=π×6×4=14πcm1．故选：A．【点睛】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．8、A【解析】

让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是．

故选：A．【点睛】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．9、C【解析】试题解析：∵这组数据的众数为7，∴x=7，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，1，7，7，中位数为：1．故选C．考点：众数；中位数.10、B【解析】袋中一共7个球，摸到的球有7种可能，而且机会均等，其中有3个红球，因此摸到红球的概率为，故选B.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、48°【解析】

连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．【详解】连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB==72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM==120°，∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，故答案为48°．点睛：本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．12、1【解析】

根据向量的三角形法则表示出CB，再根据BC、AD的关系解答．【详解】如图，∵AB=a，∴CB=AB-AC=a-b，∵AD∥BC，BC=2AD，∴DA=12CB=12（a-b）=1故答案为12a-【点睛】本题考查了平面向量，梯形，向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键．13、3.61×2【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将361000000用科学记数法表示为3.61×2．故答案为3.61×2．14、1．【解析】

把无理方程转化为整式方程即可解决问题．【详解】两边平方得到：2x﹣1=1，解得：x=1，经检验：x=1是原方程的解．故答案为：1．【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验．15、【解析】

先求出OA的长度，然后利用含30°的直角三角形的性质得到点D的坐标，探索规律，从而得到的坐标即可．【详解】分别过点作y轴的垂线交y轴于点，∵点B在上设∴同理，都是含30°的直角三角形∵,∴同理，点的横坐标为纵坐标为故点的坐标为故答案为：；．【点睛】本题主要考查含30°的直角三角形的性质，找到点的坐标规律是解题的关键．16、1【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，∴a=﹣4，b=﹣3，则ab=1，故答案为1．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.三、解答题（共8题，共72分）17、（1）见解析；（2）23π；（3）【解析】

（1）连结OD；由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；得到∠PDO=90°，且D在圆上，于是得到结论；（2）设∠A=x，则∠A=∠P=x，∠DBA=2x，在△ABD中，根据∠A+∠ABD=90o列方程求出x的值，进而可得到∠DOB=60o，然后根据弧长公式计算即可；（3）连结OM，过D作DF⊥AB于点F，然后证明△OMN∽△FDN，根据相似三角形的性质求解即可.【详解】（1）连结OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90o，∠A+∠ABD=90o，又∵OA=OB=OD，∴∠BDO=∠ABD，又∵∠A=∠PDB，∴∠PDB+∠BDO=90o，即∠PDO=90o，且D在圆上，∴PD是⊙O的切线．（2）设∠A=x，∵DA=DP，∴∠A=∠P=x，∴∠DBA=∠P+∠BDP=x+x=2x，在△ABD中，∠A+∠ABD=90o，x=2x=90o，即x=30o，∴∠DOB=60o，∴弧BD长l=60·π·2（3）连结OM，过D作DF⊥AB于点F，∵点M是的中点，∴OM⊥AB，设BD=x，则AD=2x，AB=5x=2OM，即OM=5在Rt△BDF中，DF=25由△OMN∽△FDN得DNMN【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质，弧长的计算，弧弦圆心角的关系，相似三角形的判定与性质.熟练掌握切线的判定方法是解（1）的关键，求出∠A=30o是解（2）的关键，证明△OMN∽△FDN是解（3）的关键.18、（1）；（2）①a=1,b=-1,②m=2．【解析】

（1）根据题目中的新运算法则计算即可；（2）①根据题意列出方程组即可求出a,b的值；②先分别算出T（3m﹣3，m）与T（m，3m﹣3）的值，再根据求出的值列出等式即可得出结论.【详解】解：（1）T（4，﹣1）==；故答案为；（2）①∵T（﹣2，0）=﹣2且T（2，﹣1）=1，∴解得②解法一：∵a=1，b=﹣1，且x+y≠0，∴T（x，y）===x﹣y．∴T（3m﹣3，m）=3m﹣3﹣m=2m﹣3，T（m，3m﹣3）=m﹣3m+3=﹣2m+3．∵T（3m﹣3，m）=T（m，3m﹣3），∴2m﹣3=﹣2m+3，解得，m=2．解法二：由解法①可得T（x，y）=x﹣y，当T（x，y）=T（y，x）时，x﹣y=y﹣x，∴x=y．∵T（3m﹣3，m）=T（m，3m﹣3），∴3m﹣3=m，∴m=2．【点睛】本题关键是能够把新运算转化为我们学过的知识，并应用一元一次方程或二元一次方程进行解题..19、（1）y1=80x+4400；y2=64x+4800；（2）当m=20时，w取得最小值，即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时，总费用最低．【解析】（1）根据方案即可列出函数关系式；（2）根据题意建立w与m之间的关系式，再根据一次函数的增减性即可得出答案.解：（1）y1=20×300+80(x-20)得：y2=(20×300+80x)×0.8得：（2）w=300m+[300(20-m)+80(40-m)]×0.8,w=-4m+7360,因为w是m的一次函数，k=-4<0,所以w随的增加而减小，m当m=20时，w取得最小值.即按照方案一购买20件甲种商品；按照方案二购买20件乙种商品.20、（1）m=4,n=1,k=3.（2）3.【解析】

（1）把点，分别代入直线中即可求出m=4，再把代入直线即可求出n=1.把代入函数求出k即可；（2）由（1）可求出点B的坐标为（0，4），点B‘是由点B向右平移得到，故点B’的纵坐标为4，把它代入反比例函数解析式即可求出它的横坐标，根据平移的知识可知四边形AA’B’B是平行四边形，再根据平行四边形的面积计算公式计算即可.【详解】解：（1）把点，分别代入直线中得：-4+m=0,m=4,∴直线解析式为.把代入得：n=-3+4=1.∴点C的坐标为（3，1）把（3，1）代入函数得：解得：k=3.∴m=4,n=1,k=3.(2)如图，设点B的坐标为（0，y）则y=-0+4=4∴点B的坐标是（0，4）当y=4时，解得，∴点B’（，4）∵A’,B’是由A,B向右平移得到，∴四边形AA’B’B是平行四边形，故四边形AA’B’B的面积=4=3.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题及函数的平移，利用数形结合思想作出图形是解题的关键.21、（1）当t=时，PQ∥BC；（2）﹣（t﹣）2+，当t=时，y有最大值为；（3）存在，当t=时，四边形PQP′C为菱形【解析】

（1）只要证明△APQ∽△ABC，可得=，构建方程即可解决问题；（2）过点P作PD⊥AC于D，则有△APD∽△ABC，理由相似三角形的性质构建二次函数即可解决问题；

（3）存在．由△APO∽△ABC，可得=，即=，推出OA=（5﹣t），根据OC=CQ，构建方程即可解决问题；【详解】（1）在Rt△ABC中，AB===10，BP=2t，AQ=t，则AP=10﹣2t，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴=，即=，解得t=，∴当t=时，PQ∥BC．（2）过点P作PD⊥AC于D，则有△APD∽△ABC，∴=，即=，∴PD=6﹣t，∴y=t（6﹣t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，y有最大值为．（3）存在．理由：连接PP′，交AC于点O．∵四边形PQP′C为菱形，∴OC=CQ，∵△APO∽△ABC，∴=，即=，∴OA=（5﹣t），∴8﹣（5﹣t）=（8﹣t），解得t=，∴当t=时，四边形PQP′C为菱形．【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．22、（1）＞；（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由见解析；（3）4米．【解析】

（1）过点E作EF⊥AB于点F，由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：△AEF是等腰直角三角形，易证∠AEB=90°，而∠ACB＜90°，由此可以比较∠AEB与∠ACB的大小（2）假设P为CD的中点，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE、BF；由∠AFB是△EFB的外角，得∠AFB＞∠AEB，且∠AFB与∠APB均为⊙O中弧AB所对的角，则∠AFB=∠APB，即可判断∠APB与∠AEB的大小关系，即可得点P位于何处时，∠APB最大；（3）过点E作CE∥DF，交AD于点C，作AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA=CQ，以点O为圆心，OB为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，连接OA，再利用勾股定理以及长度关系即可得解.【详解】解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：如图1，过点E作EF⊥AB于点F，∵在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD中点，∴四边形ADEF是正方形，∴∠AEF=45°，同理，∠BEF=45°，∴∠AEB=90°．而在直角△ABC中，∠ABC=90°，∴∠ACB＜90°，∴∠AEB＞∠ACB．故答案为：＞；（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，∵∠AFB是△EFB的外角，∴∠AFB＞∠AEB，∵∠AFB=∠APB，∴∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点时，∠APB最大：（3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA=CQ，以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小刚所站的位置，由题意知DP=OQ=，∵OA=CQ=BD+QB﹣CD=BD+AB﹣CD，BD=11.6米，AB=3米，CD=EF=1.6米，∴OA=11.6+3﹣1.6=13米，∴DP=米，即小刚与大楼AD之间的距离为4米时看广告牌效果最好．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，线段垂直平