2024年广东省深圳市罗湖区红桂中学中考数学模拟试卷

第1页（共1页）2024年广东省深圳市罗湖区红桂中学中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）如果a与﹣2024互为倒数，那么a的值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示（）A． B． C． D．3．（3分）手撕钢是一种超薄不锈精密带钢，具有良好的微观组织和性能．国产手撕钢的厚度仅有0.000015米，创造了新的世界纪录（）A．1.5×10﹣5 B．0.15×10﹣3 C．1.5×10﹣6 D．15×10﹣44．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．2a3b÷b＝2a3 C．（﹣a）4＝﹣a8 D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣b25．（3分）如图是某班1～8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（）A．每月阅读数量的中位数是32 B．每月阅读数量的众数是73 C．每月阅读数量的平均数是46 D．每月阅读数量的极差是556．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（）A． B． C． D．7．（3分）能说明命题“对于任意实数，．”是假命题，其中a可取的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．8．（3分）如图，将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（）A．75° B．95° C．100° D．105°9．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，问木长多少尺，设木长为x尺，则下列符合题意的方程组是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点，P为CD上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC＝30°；②△PAE为等边三角形；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：m3﹣4mn2＝．12．（3分）定义：任意两个数a、b，按规则c＝a+b﹣ab扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，b＝x2+1，并比较b，c的大小c．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC于D，E，连接CD．若CE＝，则CD＝．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，CE是半径为2的⊙A的切线，切点为E．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱ABOC的边OB在y轴的正半轴上的图象经过点C，交AB于点D，△BDC的面积为2，则k的值为．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．（5分）计算：．17．（7分）“减轻学生课业负担，提升作业质量”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校九年级学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，B：1.5小时～2小时，C：2小时～3小时，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是；（4）在此次问卷调查中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业时间都是3小时以上，从这4人中任选2人去参加座谈18．（7分）如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，5），B（4，6），C（2，3）．（1）请画出△ABC先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点（0，3）逆时针旋转90°后得到△A2B2C2；（3）若△ABC与△A3B3C3关于某点成中心对称，且A3（﹣3，﹣1），请写出对称中心的坐标．19．（8分）综合与实践中国旅游研究院2024年1月5日发布的“2024年冰雪旅游十佳城市”中，哈尔滨位列榜首，火爆出圈（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的关系，他在滑道A上设置了若干个观测点，收集一些数据点位1点位2点位3点位4点位5点位6点位7…滑行时间x/s00.511.522.53…滑行距离y/m01.6254.58.6251420.62528.5…（1）请你在平面直角坐标系中描出表中数据所对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们；（2）观察由（1）所得的图象，请你依图象选用一个函数近似地表示y与x之间的函数关系（不要求写出自变量的取值范围）；（3）若另一名滑雪爱好者小张在小李出发5秒后沿着滑道B滑行（两条滑道互相平行，且起点在同一直线上），他的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）2+dx，当小李滑行距离为384m时，他比小张多滑行的距离不超过160m2＝15376）20．（9分）5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，共建智慧生活，某手机店准备购进一批国产5G手机，用8万元购进A型手机的数量和用6万元进购B型手机的数量一样，一部A型手机的进价比一部B型手机的进价高800元．（1）求一部A、B两种型号手机的进价分别是多少元？（2）若手机店购进A、B两种型号手机共30部进行销售，其中A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，B型手机的售价为每部2800元，且全部售出，全部售完两种手机后获得的利润为w元，求w与m之间的函数关系式21．（9分）问题提出如图1，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，则△ABC的面积为；问题探究如图2，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．点O是三个内角角平分线的交点．点M在BC边上，且BM＝1，使得四边形OMBN面积是△ABC面积的，求出此时AN的长度；问题解决如图3，某开发区将设计改造一块五边形ABCDE空地．已知AB＝AE＝100m，∠EAB＝60°，AE∥BC且满足DE+BC＝120m．现设计规划在阴影部分△ACD区域种植花卉．公司为了节约成本，满足设计需求，请你计算出种植花卉△ADC面积的最小值．22．（10分）（1）【操作发现】如图1，四边形ABCD、CEGF都是矩形，，AB＝9，小明将矩形CEGF绕点C顺时针旋转α°（0≤α≤360），如图2所示．①若的值不变，请求出，若变化，请说明理由．②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，画出图形并求出AG的长度．（2）【类比探究】如图3，△ABC中，AB＝AC＝，tan∠ABC＝，G为BC中点，且DG＝，将线段BD绕点D逆时针旋转α°得到DB′．（直接写出结果）

2024年广东省深圳市罗湖区红桂中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）如果a与﹣2024互为倒数，那么a的值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：∵a与﹣2024互为倒数，得a×（﹣2024）＝1，∴a＝．故选：D．2．（3分）“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示（）A． B． C． D．【解答】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，即看到的图形为，故选C．3．（3分）手撕钢是一种超薄不锈精密带钢，具有良好的微观组织和性能．国产手撕钢的厚度仅有0.000015米，创造了新的世界纪录（）A．1.5×10﹣5 B．0.15×10﹣3 C．1.5×10﹣6 D．15×10﹣4【解答】解：0.000015＝1.7×10﹣5．故选：A．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．2a3b÷b＝2a3 C．（﹣a）4＝﹣a8 D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣b2【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并；B、4a3b÷b＝2a7，故B符合题意；C、（﹣a）4＝a4，故C不符合题意；D、（﹣a﹣b）3＝a2+2ab+b2，故D不符合题意；故选：B．5．（3分）如图是某班1～8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（）A．每月阅读数量的中位数是32 B．每月阅读数量的众数是73 C．每月阅读数量的平均数是46 D．每月阅读数量的极差是55【解答】解：A．将8个数据由小到大排列为：18，32，48，65，中位数是，故本选项说法错误；B．出现次数最多的是48，故本选项说法错误；C．该班学生去年7～8月份全班同学每月的课外阅读数量的平均数是，故本选项说法错误；D．每月阅读数量的极差是73﹣18＝55，符合题意．故选：D．6．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（）A． B． C． D．【解答】解：由x﹣4＞﹣1，得：x＞8，由2x+1≥8，得：x≥1，∴不等式组的解集为x＞3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：B．7．（3分）能说明命题“对于任意实数，．”是假命题，其中a可取的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【解答】解：A．当a＝﹣1时，；B．当a＝0时，；C．当a＝1时，；D．当时，，不符合题意．故选：A．8．（3分）如图，将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（）A．75° B．95° C．100° D．105°【解答】解：∵∠ACO＝45°﹣30°＝15°，∴∠AOB＝∠A+∠ACO＝90°+15°＝105°．故选：D．9．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，问木长多少尺，设木长为x尺，则下列符合题意的方程组是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，故选：B．10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点，P为CD上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC＝30°；②△PAE为等边三角形；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【解答】解：如图，连接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂线，∴AP＝BP，且AP＝PE，∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①正确；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE＝∠PEA＝60°，∴△PAE是等边三角形，故②正确；如图，作点P关于AB的对称点P′，P′D，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE是等边三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP′，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P′AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），∴CP′＝CE，∵点P、P′关于AB对称，且PD＝P′D，∵CD⊥AB，∴C、P、D、P′共线，∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+4PD，∴PD＝．故③正确；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等边三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠GPB＝120°，且EP＝PB，∴△MCE≌△BGE（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BM，∴AF＝AB＝AD，∵S△ACB＝CB×AF＝EC×AF+四边形AECP，∴S四边形AECP＝S△ABC．故④正确．所以其中正确的结论是①②③④．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：m3﹣4mn2＝m（m+2n）（m﹣2n）．【解答】解：m3﹣4mn3＝m（m2﹣4n8）＝m（m+2n）（m﹣2n），故答案为：m（m+6n）（m﹣2n）．12．（3分）定义：任意两个数a、b，按规则c＝a+b﹣ab扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，b＝x2+1，并比较b，c的大小≥c．【解答】解：∵a＝2，b＝x2+7，c＝a+b﹣ab∴c＝2+x2+7﹣2（x2+2）＝﹣x2+1，∴b﹣c＝（x8+1）﹣（﹣x2+8）＝2x2≥2，∴b≥c，故答案为：≥．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC于D，E，连接CD．若CE＝，则CD＝．【解答】解：如图，连接BE，∵CE＝AE＝5，∴AE＝3，AC＝4，而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝8，在Rt△ECB中，BC＝，∴AB＝＝7，∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，∴CD＝AB＝．故答案为：．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，CE是半径为2的⊙A的切线，切点为E．【解答】解：连接AC，AE，∵CE是半径为2的⊙A的切线，∴∠AEC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝ADC＝90°，∴点A，C，D，E四点共圆，∴∠ADE＝∠ACE，∵AB＝3，BC＝3，∴AC＝＝8，∴sin∠ADE＝sin∠ACE＝＝，故答案为：．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱ABOC的边OB在y轴的正半轴上的图象经过点C，交AB于点D，△BDC的面积为2，则k的值为．【解答】解：连接OD，过点D分别作DG⊥y轴于点G，过点C作CF⊥x轴于点F，∵四边形ABOC是平行四边形，∴AB＝OC，AB∥OC，∵BD：AD＝1：2，∴AD＝4BD，又∵S△BDC＝2，∴S△ADC＝4，∴S△ABC＝S△BDC+S△ADC＝5+4＝6，∴S平行四边形ABOC＝2S△ABC＝12，∵AB∥OC，∴S△BOD＝S△BDC，∴S△DOC＝S平行四边形ABOC﹣S△BOD﹣S△ADC＝12﹣2﹣4＝3，∵BD+AD＝AB，∴3BD＝AB，∴，∵AB∥OC，∴∠DBG＝∠COB，∴90°﹣∠DBG＝90°﹣∠COB，∴∠BDG＝∠COF，又∵∠BGD＝∠CFO＝90°，∴△BGD∽△CFO，∴，∴，∴OF＝3DG，∵∠GOE＝90°，DE⊥x轴，∴四边形DGOE为矩形，∴OF＝2OE，设点D的坐标为，则OE＝m，，∴所以点C的坐标为，则有，∴EF＝OF﹣OE＝2m，∴S△DOE＝m×＝，S△OFC＝×3m×＝，∴S四边形DEFC＝S△DOC+S△OFC−S△DOE＝6+−＝6，又∵S四边形DEFC＝（+）×2m＝8k3，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．（5分）计算：．【解答】解：原式＝＝＝12．17．（7分）“减轻学生课业负担，提升作业质量”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校九年级学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，B：1.5小时～2小时，C：2小时～3小时，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了200名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是108°；（4）在此次问卷调查中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业时间都是3小时以上，从这4人中任选2人去参加座谈【解答】解：（1）共调查的学生有：80÷40%＝200（名），故答案为：200名；（2）C类的人数是：200﹣60﹣80﹣20＝40（人），补图如下：（3）根据题意得：α＝×360°＝108°，故答案为：108°；（4）设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B3，B2，一共有12种等可能结果，其中2人来自同一班级共有2种，∴P（2人来自同一班级）＝＝．18．（7分）如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，5），B（4，6），C（2，3）．（1）请画出△ABC先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点（0，3）逆时针旋转90°后得到△A2B2C2；（3）若△ABC与△A3B3C3关于某点成中心对称，且A3（﹣3，﹣1），请写出对称中心的坐标（﹣1，2）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C4即为所求．（2）如图，△A2B2C6即为所求．（3）连接AA3，由题意可得，对称中心为线段AA3的中点，∵A（7，5），A3（﹣8，﹣1），∴对称中心的坐标为（﹣1，8）．故答案为（﹣1，2）.19．（8分）综合与实践中国旅游研究院2024年1月5日发布的“2024年冰雪旅游十佳城市”中，哈尔滨位列榜首，火爆出圈（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的关系，他在滑道A上设置了若干个观测点，收集一些数据点位1点位2点位3点位4点位5点位6点位7…滑行时间x/s00.511.522.53…滑行距离y/m01.6254.58.6251420.62528.5…（1）请你在平面直角坐标系中描出表中数据所对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们；（2）观察由（1）所得的图象，请你依图象选用一个函数近似地表示y与x之间的函数关系（不要求写出自变量的取值范围）；（3）若另一名滑雪爱好者小张在小李出发5秒后沿着滑道B滑行（两条滑道互相平行，且起点在同一直线上），他的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）2+dx，当小李滑行距离为384m时，他比小张多滑行的距离不超过160m2＝15376）【解答】解：（1）作图如下：（2）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，选取表格数据（0，8.5）（2，解得，∴解析式为：y＝；（3）小李在滑行距离为384米时，所用时间：2+6x﹣768＝0，解得：x＝12，或x＝﹣12.8（舍去），小张滑行时间为：12﹣6＝7秒时，y＝3x4+dx＝3×72+7d＝147+7d，∵384﹣（147+4d）≤160，237﹣7d≤160，77≤7d，∴d≥11．∴d的最小值为11．20．（9分）5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，共建智慧生活，某手机店准备购进一批国产5G手机，用8万元购进A型手机的数量和用6万元进购B型手机的数量一样，一部A型手机的进价比一部B型手机的进价高800元．（1）求一部A、B两种型号手机的进价分别是多少元？（2）若手机店购进A、B两种型号手机共30部进行销售，其中A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，B型手机的售价为每部2800元，且全部售出，全部售完两种手机后获得的利润为w元，求w与m之间的函数关系式【解答】解：（1）设A型手机进价为x元，则B型手机进价为（x﹣800）元，由题意得：＝，解得x＝3200，经检验：x＝3200是原分式方程的解，x﹣800＝3200﹣800＝2400，答：一部A、B两种型号手机的进价分别是3200元；（2）根据题意得：w＝（4200﹣3200）m+（2800﹣2400）（30﹣m）＝1000m+400（30﹣m）＝600m+12000，∵A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，∴10≤m≤30﹣m，解得10≤m≤15，∵600＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝15时，w最大，∴w与m之间的函数关系式为w＝600m+12000；销售这批5G手机获得的最大利润为21000元．21．（9分）问题提出如图1，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，则△ABC的面积为；问题探究如图2，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．点O是三个内角角平分线的交点．点M在BC边上，且BM＝1，使得四边形OMBN面积是△ABC面积的，求出此时AN的长度；问题解决如图3，某开发区将设计改造一块五边形ABCDE空地．已知AB＝AE＝100m，∠EAB＝60°，AE∥BC且满足DE+BC＝120m．现设计规划在阴影部分△ACD区域种植花卉．公司为了节约成本，满足设计需求，请你计算出种植花卉△ADC面积的最小值．【解答】解：问题提出：如图1，过点B作BH⊥AC于点H，∴∠AHB＝90°，∴sinA＝，∵∠A＝60°，AB＝1，∴BH＝AB•sin60°＝5×＝，∵AC＝4，∴△ABC的面积＝AC•BH＝＝，故答案为：；问题探究：如图2，连接OA、OC，过点O作OE⊥BC于点E，∵点O是三个内角角平分线的交点，∴OD＝OE＝OF，设OD＝OE＝OF＝r，∴S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△COA＝AB•OD+AC•OF＝（AB+BC+CA）•r＝×（5+6+6）•r＝r，∵S四边形OMBN＝S△BOM+S△BON，∴S四边形OMBN＝BM•OE+＝×1•r+＝（1+BN）•r，∵四边形OMBN面积是△ABC面积的，∴（5+BN）•r＝，∴BN＝，∴AN＝AB﹣BN＝3﹣＝；问题解决：如图3，延长BC交ED的延长线于点F，过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABFE是菱形，∵∠EAB＝60°，∴BF＝EF＝AB＝AE＝100m，∠F＝∠EAB＝∠CBT＝60°，设BC＝xm，则DE＝（120﹣x）m，∴CF＝BF﹣BC＝（100﹣x）m，DF＝EF﹣DE＝100﹣（120﹣x）＝（x﹣20）m，在Rt△BCT中，∠CBT＝60°，∴CT＝BC•sin60°＝x，∴S△ABC＝AB•CT＝，同理，S△ADE＝AE•DE•sin60°，由问题提出的结论知，S△ABE＝S△BEF