宜昌一中荆州中学高一数学下学期期中试卷（含解析）-人教版高一数学试题

-学年湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（） A． a2＞b2 B． C． a2b＞ab2 D． 考点： 不等关系与不等式．专题： 计算题．分析： 举特列，令a=1，b=﹣2，经检验A、B、C都不成立，只有D正确，从而得到结论．解答： 解：令a=1，b=﹣2，经检验A、B、C都不成立，只有D正确，故选D．点评： 本题考查不等式与不等关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．2．（春•龙泉驿区校级期中）若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有（）①{2an+1}，②，③{an+1﹣an}，④{2an+n}． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 根据等差数列的定义，对每个数列进行判断，即可得出结论．解答： 解：根据等差数列的定义，（2an+1+1）﹣（2an+1）=2d，所以{2an+1}是等差数列；②=d（an+1+an），不是常数，故不是等差数列；③an+1﹣an=d，所以{an+1﹣an}是常数数列，故是等差数列；④（2an+1+n+1）﹣（2an+n）=2d+1是常数，故{2an+n}是等差数列．故选：C．点评： 本题考查等差数列的定义，考查学生的计算能力，正确理解与运用等差数列的定义是关键．3．（春•龙泉驿区校级期中）在△ABC中，sin2A≥sin2B+sin2 A． （0，] B． （0，] C． [，π） D． [，π）考点： 正弦定理．专题： 解三角形．分析： 利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．解答： 解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≥sin2B+sin2∴a2≥b2+c2﹣bc，∴bc≥b2+c2﹣a2，∴cosA=，∴A．∵A＜π，∴A的取值范围是[）．故选：D．点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆，属中档题．4．（春•龙泉驿区校级期中）设{an}是由正数组成的等差数列，{bn}是由正数组成的等比数列，且a1=b1，a=b，则必有（） A． a1008＞b1008 B． a1008=b1008 C． a1008≥b1008 D． a1008≤b1008考点： 等比数列的通项公式．专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析： 根据等差数列的等差中项，求出a1008的表达式，由基本不等式，再结合题中条件找出a1008与b1008的关系即可求出答案．解答： 解：由题意可知：a1=b1，a=b，且{an}是由正数组成的等差数列，{bn}是由正数组成的等比数列，则a1008=≥==b1008，故选C．点评： 本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，考查了学生的计算能力以及对数列的综合掌握，解题时注意转化思想的运用，属于中档题．5．（•南昌校级二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=，则=（） A． 4n﹣1 B． 4n﹣1 C． 2n﹣1 D． 2n﹣1考点： 等比数列的性质．专题： 等差数列与等比数列．分析： 设等比数列{an}的公比为q，可得q==，进而可得a1=2，可得an和Sn，相除化简即可．解答： 解：设等比数列{an}的公比为q，∴q==，∴a1+a3=a1（1+q2）=a1（1+）=，解得a1=2，∴an=2×=，Sn=，∴==2n﹣1故选：C点评： 本题考查等比数列的性质和求和公式，属基础题．6．（秋•朝阳区期末）如图，塔AB底部为点B，若C，D两点相距为100m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，则塔AB的高约为（精确到0.1m，≈1.73，≈1.41）（） A． 36.5 B． 115.6 C． 120.5 D． 136.5考点： 解三角形的实际应用．专题： 应用题；解三角形．分析： 在Rt△ADB中，DB=AB，Rt△ACB中，CB=AB，根据CD=DB﹣CB可以求出AE的长度，即可解题．解答： 解：在Rt△ADB中，DB=AB，Rt△ACB中，CB=AB，∵CD=DB﹣CB，∴100=（﹣1）AB∴AB==50（+1）米≈136.5米故选D．点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中的应用，本题中求DB、CB的长度是解题的关键．7．（春•龙泉驿区校级期中）能使不等式f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若a＞0，b＞0且a+b=1，则的上确界为（） A． B． C． D． ﹣4考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 根据题意和基本不等式求出的范围，再求出的范围，由函数的上确界的定义即可求出答案．解答： 解：∵a＞0，b＞0且a+b=1，∴=（a+b）（）=≥+2=，当且仅当取等号，∴﹣，由题意可得，的上确界是，故选：A．点评： 本题考查新定义的应用，基本不等式和“1”的代换，注意基本不等式的三个条件，属于基础题．8．（秋•文登市校级期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S17＞0，S18＜0，则中最大的项为（） A． B． C． D． 考点： 等差数列的性质．专题： 等差数列与等比数列．分析： 由题意可得a9＞0，a10＜0，由此可知＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，即可得出答案．解答： 解：∵等差数列{an}中，S17＞0，且S18＜0即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{an}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，∴＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴中最大的项为故选D点评： 本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．9．（春•龙泉驿区校级期中）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若，则a+c的最大值为（） A． B． 3 C． D． 9考点： 正弦定理；基本不等式；等差数列的通项公式；余弦定理．专题： 计算题；解三角形．分析： 由等差中项的定义得2bcosB=acosC+ccosA，结合正弦定理与两角和的正弦公式算出2sinBcosB=sin（A+C），利用诱导公式化简得cosB=．根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，结合化简得（a+c）2=3+3ac，再利用基本不等式加以计算，可得当a=c=时，a+c的最大值为2．解答： 解：∵在△ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差数列，即2bcosB=acosC+ccosA，∴根据正弦定理，可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosB=sin（A+C）．又∵△ABC中，sin（A+C）=sin（180°﹣B）=sinB＞0∴2sinBcosB=sinB，两边约去sinB得2cosB=1，即cosB=，根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，∵，∴a2+c2﹣ac=3，可得（a+c）2=3+3ac．根据基本不等式，得ac≤，∴（a+c）2=3+3ac≤3+（a+b）2，解之得（a+c）2≤12．由此可得当且仅当a=c=时，a+c的最大值为2．故选：C点评： 本题给出△ABC满足的边角关系式，在已知边b长的情况下求a+c的最大值，着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式与诱导公式、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．10．（春•龙泉驿区校级期中）已知不等式①，②，③2x2﹣9x+m＜0，要使同时满足①和②的所有x都满足③，则实数m的取值范围是（） A． m＜9 B． m≤9 C． m＜10 D． m≤10考点： 其他不等式的解法．专题： 不等式的解法及应用．分析： 利用不等式的解法分别解出①②，再求出其交集；其交集是2x2﹣9x+m＜0解集的子集．解出即可．解答： 解：①由①，得到x2﹣4x+3＜0解得1＜x＜3；②得到（x﹣2）（x﹣4）≤0，解得2≤x≤4；∴①∩②=（1，3）∩[2，4]=[2，3）．∵[2，3）是2x2﹣9x+m＜0解集的子集．令f（x）=2x2﹣9x+m，则，解得m≤9，故选：B．点评： 熟练掌握不等式的解法、交集的运算、集合之间的关系等是解题的关键．11．（春•龙泉驿区校级期中）在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120°；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点： 命题的真假判断与应用．专题： 解三角形．分析： 根据解三角形的知识，分别对①②③进行判断其正误即可．解答： 解：①如图示：，由=，得：sinA=，∴A=arcsin＞60°，∴C只能是钝角，该三角形有且只有一个解，故①错误；②不妨设：三角形的三边是：a=3，b=5，c=7，∴∠C最大，由cosC==﹣，∠C=120°，故②正确；③由cosA＞0，cosB＞0且cosC＞0，结合余弦定理知，正确，故选：C．点评： 本题考查了解三角形问题，考查命题的真假的判断，是一道基础题．12．（春•龙泉驿区校级期中）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2）恒成立，且当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N*），且{an}的前n项和为Sn，若不等式对任意n∈N*恒成立，则t的取值范围是（） A． t≤5 B． t≤4 C． t≤3 D． t≤2考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析： 由题意可知，函数图象向右平移2个单位，只是改变函数的最大值，求出a1，公比q，推出an，然后求出Sn，判断数列n（4﹣22﹣n）为递增数列，结合不等式恒成立思想，即可得到t的范围．解答： 解：因为f（x）=2f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数图象向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=2，公比q=，所以an=2（）n﹣1，即有Sn=2•=4﹣22﹣n，不等式对任意n∈N*恒成立，即为t≤nSn，由n（4﹣22﹣n）﹣（n﹣1）（4﹣23﹣n）=4+（n﹣2）22﹣n，由n≥2，可得n（4﹣22﹣n）＞（n﹣1）（4﹣23﹣n），{n（4﹣22﹣n）}为递增数列，则n=1为最小，且为2．即有t≤4．故选：B．点评： 本题是中档题，考查函数与数列的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查不等式恒成立思想和计算能力，发现问题解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（•济南二模）在△ABC中，AB=1，，，则BC=1或．考点： 余弦定理．专题： 解三角形．分析： 由三角形的面积求得sinA的值，可得cosA的值，再由余弦定理求得BC的值．解答： 解：由题意可得=•AB•AC•sinA=，故sinA=，故cosA=±，当cosA=时，由余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=1+2﹣2=1，故BC=1．当cosA=﹣时，由余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=5，故BC=，故答案为1或．点评： 本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．14．（春•龙泉驿区校级期中）如果直角三角形周长为2，则它的最大面积为．考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 设直角三角形的两直角边为a、b，利用勾股定理求出斜边c的表达式，由周长和基本不等式求出ab的范围，根据三角形的面积即可求出直角三角形面积的最大值．解答： 解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，则斜边c=，由已知得a+b+c=2，∴a+b+=2，∵a+b+≥2+（当且仅当a=b时取等号），∴2≥（2+），解得≤=2﹣，则ab≤6﹣4，∴直角三角形的面积S=≤，∴直角三角形面积的最大值是，故答案为：．点评： 本题考查了基本不等式的实际应用，列出有关量的函数关系式或方程式是解题关键，注意基本不等式的三个条件，属于基础题．15．（•沈阳一模）已知{an}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+anan+1=．考点： 数列的求和；等比数列的通项公式．专题： 计算题．分析： 首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．解答： 解：由，解得．数列{anan+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．点评： 本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．16．（•江苏一模）各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为{}．考点： 等差数列与等比数列的综合．专题： 综合题；等差数列与等比数列．分析： 先假设数列的项，利用三项依次成公比为q的等比数列，建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此，即可求得结论．解答： 解：设a1，a1+d，a1+2d，a1+88，其中a1，d均为正偶数，则∵后三项依次成公比为q的等比数列∴，整理得，所以（d﹣22）（3d﹣88）＜0，即，则d可能为24，26，28，当d=24时，a1=12，；当d=26时，（舍去）；当d=28时，a1=168，；所以q的所有可能值构成的集合为．故答案为点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查学生分析解决问题的能力，正确设出数列是关键．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（春•龙泉驿区校级期中）已知{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且S5=5，S6=﹣3．（Ⅰ）求数列{an}的通项an及Sn；（Ⅱ）设{bn﹣2an}是首项为1，公比为3的等比数列．求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．考点： 等差数列的性质；数列的求和．专题： 综合题；等差数列与等比数列．分析： （Ⅰ）由已知S6、S5的值联立方程组求解等差数列的首项和公差，则等差数列的通项公式和前n项和可求；（Ⅱ）由{bn﹣2an}是等比数列写出其通项公式，在把an代入bn﹣2an可求数列{bn}的通项公式，然后利用分组求和得到数列{bn}的其前n项和Tn．解答： 解：（Ⅰ）由S5=5，S6=﹣3，有，解得a1=7，d=﹣3，∴an=7+（n﹣1）×（﹣3）=﹣3n+10﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴Sn==﹣；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题意有bn﹣2an=3n﹣1，又由（1）有bn=3n﹣1+20﹣6n﹣﹣﹣﹣（7分）∴Tn=b1+b2+…+bn=（1+2a1）+（3+2a2）+…+（3n﹣1+2an）=1+3+…+3n﹣1+2（a1+a2+…+an）=﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评： 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和公式，训练了数列的分组求和方法，是中档题．18．（春•龙泉驿区校级期中）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，（b﹣a）（sinB+sinA）=（b﹣c）sinC．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点： 余弦定理；正弦定理．专题： 解三角形．分析： （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理得cosA，结合范围0＜A＜π，可求A的值，由，可求sinC，由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可求值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可求c，由三角形面积公式即可得解．解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理可得（b﹣a）（b+a）=（b﹣c）c，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）即b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理得，又0＜A＜π，所以；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）因为，所以．所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=．﹣﹣（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理，得，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以△ABC的面积．﹣﹣﹣﹣﹣点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．19．（春•龙泉驿区校级期中）年，中国联想集团以28亿元收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展该品牌；年摩托罗拉手机的销售量为100万部．据专家预测，从年起，摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，每年的销售利润比上一年减少10%．已知年销售利润平均每部为300元．（Ⅰ）若把年看做第一年，第n年的销售利润为多少？（Ⅱ）到年年底，中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利？（即销售利润超过总投资，参考数据：0.96≈0.53，0.97≈0.47，0.98≈0.43）．考点： 数列的应用．专题： 应用题；等差数列与等比数列．分析： （Ⅰ）仔细阅读题意得出机的销售量构成了首项为100，公差为100的等差数列．每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列．求出关于n的通项公式即可得出第n年的销售利润．（II）运用导数得出S=30000（1+2×0.9+3×0.92+4×0.93+5×0.94+6×0.95+7×0.96）再运用错位相减法求解即可．解答： 解：（Ⅰ）∵摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，因此手机的销售量构成了首项为100，公差为100的等差数列．∴an=100n，∵手机销售利润按照每年比上一年减10%，因此每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列．∴．∴第n年的销售利润记为cn，则．（Ⅱ）到年年底，设销售利润总和为S万元，则S=30000（1+2×0.9+3×0.92+4×0.93+5×0.94+6×0.95+7×0.96）①，0.9S=30000（1×0.9+2×0.92+3×0.93+4×0.94+5×0.95+6×0.96+7×0.97）②①﹣②得S=30000（100﹣170×0.97）≈603000万元=60.3亿元而总投资为28+30=58亿元，∵60.3＞58，∴可以盈利．答：（Ⅰ）第n年的销售利润为30000n×0.9n﹣1万元；（Ⅱ）到年年底，中国联想集团能通过摩托罗拉手机实现盈利．点评： 本题考察了等差，等比数列的定义，通项公式，前n项和的求解，错位相减法的运用，考察了，阅读分析，计算化简能力．20．（春•龙泉驿区校级期中）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的周期和递增区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，]上有两个不同的零点x1、x2，求tan（x1+x2）的值．考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数零点的判定定理．专题： 三角函数的求值．分析： （1）通过二倍角公式及平方关系化简可得f（x）=sin（2x﹣）（x∈R），进而可得结论；（2）∵方程g（x）=f（x）﹣m=0同解于方程f（x）=m在[0，]上有解，通过对称性可知x1与x2关于直线x=对称，从而=，进而可得结论．解答： 解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x=1+2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）（x∈R），∴函数f（x）的周期T==π，∵函数y=sinx的单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]，∴函数f（x）的周递增区间由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，化简得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），即[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．（2）∵方程g（x）=f（x）﹣m=0同解于f（x）=m；在直角坐标系中画出函数f（x）=sin（2x﹣）在[0，]上的图象，由图象可知，当且仅当m∈[1，）时，方程f（x）=m在[0，]上的区间[，）和（，]有两个不同的解x1、x2，且x1与x2关于直线x=对称，即=，∴x1+x2=，故tan（x1+x2）=tan=﹣1．点评： 本题考查三角函数恒等变换的应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（春•抚州期末）已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．考点： 函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题： 综合题；函数的性质及应用；不等