结构位移计算

A′结构位移计算结构位移计算§7—1概述§7—2变形体系的虚功原理§7—3位移计算的一般公式§7—4静定结构在荷载作用下的位移计算§7—5图乘法§7—6静定结构温度变化时的位移计算§7—7静定结构支座移动时的位移计算§7—8线弹性结构的互等定理1§7—1概述1.变形和位移

在荷载作用下，结构将产生变形和位移。变形：是指结构形状的改变。位移：是指结构各处位置的移动。2.位移的分类APA′

A线位移：角位移：

A(△A)△Ay△Ax△Ay△Ax△A绝对位移相对位移PABCDC′D′△C△D△CD=△C+△D□结构位移计算返回23.计算位移的目的

（1）为了校核结构的刚度。（2）结构施工的需要。

除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。

结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算。

（3）为分析超静定结构打下基础。起拱高度△结构位移计算返回3§7—2变形体系的虚功原理1.功、实功与虚功AdW=Pw=（a）（1）功PdSS

B⌒dSCosdW=PCosdS结构位移计算返回4常力功W=(b)变力功由A→B,W=（c）力偶功PPAB（d）d△P

AB⌒

⌒

常力W=变力W=P△Cos

21P△Cos

M·

21M·

力由0→PM=Pd结构位移计算返回5（2）实功与虚功实功：ABP11△虚功：W=ABP22△

力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。例如：例如：W12=P1·△2力在本身引起的位移上作的功。12结构位移计算返回6

2.变形体的虚功原理：

变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即W外=W内或写成W=Wi（7—1）式(7—1）称为虚功方程，式中WWi——外力虚功

——内力虚功结构位移计算返回7AB力状态PqMdS内力虚功的计算给定力状态RARB给定位移状态位移状态dWi=Ndu+QdS+MdWi=

微段dS上内力的变形虚功为整个结构内力的变形虚功为（7—2)

虚功方程为W=（7—3)qNN+dNQQ+dQ↷M↶M+dMdSdsdSdu⌒dS⌒⌒

dxd

dSAB结构位移计算返回81.位移计算的一般公式

设平面杆系结构由于荷载、温度变化及支座移动等因素引起位移如图示。P2P1KkkK′△K利用虚功原理计算c1c2c3kkPK=1实际状态－位移状态c1、c2、c3、△Kdu、d

、dsds虚拟状态－力状态dsK外力虚功W==内力虚功Wi=可得

求任一指定截面K沿任一指定方向k—k上的位移△K。(7－5)t1t2(7－5)

这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结果为正，所求位移△K与假设的PK=1同向，反之反向。这种方法又称为单位荷载法。结构位移计算§7—3位移计算的一般公式单位荷载法返回92.虚拟状态的设置

在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。例如:

A求△AH实际状态虚拟状态A1

A求

A1虚拟状态AA虚拟状态虚拟状态B

求△AB11B

求

AB11广义力与广义位移结构位移计算返回10§7—4静定结构在荷载作用下的位移计算

当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP，此时没有支座位移，故式（7—5）为△KP=式中：

为虚拟状态中微段上的内力；d

P、duP、

Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知（a）d

P=duP=

Pds=将以上诸式代入式（a）得△KP=（7—6）这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。结构位移计算返回11讨论1.梁和刚架△KP=（7－7）2.桁架△KP=（7－8）3.组合结构△KP=（7—9）

在实际计算时，根据结构的具体情况,式（7—6）可以简化：结构位移计算返回12

例7—1

求图示刚架A点的竖向位移△Ay。E、A、I为常数。ABCqLLA`实际状态虚拟状态ABC1解：1.设置虚拟状态xx选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:AB段：x,BC段：2.实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：MP=MP=xx3.代入公式（7—7）得△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx结构位移计算返回13§7—5图乘法△KP=当结构符合下述条件时：

（1）杆轴为直线；

（2）EI=常数；上述积分可以得到简化。MP图

和M两个弯矩图中至少有一个是直线图形。（3）xy面积

设等截面直杆AB段的两个弯矩图中，为一段直线，MP图为任意形状，ABO则上式中的ds可用dx代替。ABMPdx故有=xtg

,且tg

=常数，则d=MPdxx⌒EItg

∫xMPdx=EItg

∫xMPdx=EItg

∫xd

结构位移计算1.图乘法:

计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分返回14MP图xy形心C面积

ABOABMPdxd=MPdxxxC有yCyC=xCtg

则积分运算化简为一个弯矩图的面积

乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC。

如果结构上所有各杆段均可图乘则位移计算公式（7—7）可写成△KP=(7－10)⌒而EI∫xd

tg

EIxCtg

EIyCEIyC结构位移计算返回152.图乘法的注意事项

（1）必须符合上述三个前提条件；（2）竖标yC只能取自直线图形；（3）

与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。3.常用的几种简单图形的面积和形心

Lh2L/3L/3Lh

ab（L+a)/3(L+b)/3形心形心结构位移计算返回16

Lh二次抛物线顶点L/2

二次抛物线Lh4L/5L/53L/85L/8

1

2

1=2/3(hL)

2=1/3(hL)顶点结构位移计算返回174.图乘的技巧

当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。例如：MP图abcd

L则ya=2/3×c+1/3×dyb=1/3×c+2/3×d

MP图abcdyayb此时ya=2/3×c－1/3×dyb=2/3×d－1/3×cybya结构位移计算返回18

＝MAQAMAQBMBMB

对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。

叠加后的抛物线图形（

）与原抛物线图形（

）的面积大小和形心位置以及形心处的竖标仍然是相同的。

↷↶ABL结构位移计算返回19

当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。

1

2

3y1y2y3

1

2

3y1y2y3△=(

1y1+2y2+3y3)I1I2I3△=结构位移计算返回20

例7—2

求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。ABCDLhq解：1.作实际状态的MP图。MP图2.设置虚拟状态并作。11hhyC=h3.按式（7—10）计算（→←）∆CD=∑EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2

形心结构位移计算返回21

例7—3

求图示刚架A点的竖向位移△Ay。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP图、PPLMP图1L；2.图乘计算。△Ay=（↓）∑EIyC=EI1(2L‧L2PL(L‧4=16EIPL2)-2EI123L)PL结构位移计算返回22

例7—4

求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。

EI=常数。qABCL图1

1y2y3

+解：1.作MP图2.作图3.图乘计算y1=y2=y3=△Cy=y1MP图

2

3结构位移计算返回23§7—6静定结构温度变化时的位移计算

当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生变形和位移。

设结构(见图)外侧温度升高t1，内侧温度升高t2,求K点的竖向位移△Kt。t1t2KK`△Kt

现研究实际状态中任一微段ds,

由于温度变化产生的变形。dsds△Kt=此时由式（7—5）可得ht1t2t2dst1dsd

tdut=(t1ds+t2ds)/2=tds(a)(b)KdsPK=1ds实虚式中d

t=(t2ds-t1ds)/h=△t=t2－t1(c)h

∆tds

式中将式（b)、(c)代入式（a)，得△Kt=（7—11）温度变化不会引起剪切变形，即

t=0结构位移计算返回24△Kt（7—11）若各杆均为等截面时，则有△Kt（7—12）

在应用上面二式计算时，应注意正负号的确定。当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反时为负。梁和刚架可略去轴力的影响。桁架在温度变化时的位移计算公式为△Kt=（7—13）桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长度的制造误差为△L,其位移计算公式为△K=（7—14）结构位移计算返回25

例：7—5

图示刚架施工时温度为20℃，求冬季外侧温度为－10℃，内侧温度为0℃时A点的竖向位移△Ay。已知L=4m，=10－5，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。LLt1t2实解：

外侧温度变化绘图，AA1虚

1代入式（7—12），并注意正负号(判断)，L△Ay可得t1=

－10℃－20℃=－30℃,

内侧温度变化t2=0℃－20℃=－20℃。t=(t1+t2)/2=－25℃,△t=t2－t1=10℃结构位移计算返回26§7—7静定结构支座移动时的位移计算

对于静定结构，支座移动并不引起内力。此时，位移计算公式化简为△Kc=（7—15）

例：图示三铰刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m↓水平位移△Bx=0.04m→,已知L=12m，h=8m。求

A

。hL/2L/2△Bx△By实ABC解：虚拟状态如图。ABC1

由（7—15）式得

A=0.0075rad

虚结构位移计算返回27§7—8线弹性结构的互等定理（1）功的互等定理：

第一状态M1、N1、Q1、P1、△2112P1△2112P2△12

第二状态M2、N2、Q2、P2、△12据虚功原理有W21=Wi21W12=W21=或W12=W2