临川区第一中学高三数学上学期第一次联考试题 理-人教版高三数学试题

江西师大附中、临川一中届高三第一次联考数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1．已知集合，则等于（）A．（2，5） B． C．{2，3，4} D．{3，4，5}2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A．y＝ex B．y＝lnx2 C．y＝eq\r(x) D．y＝sinx3．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为（）A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3) C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x3，x<0，,－tanx，0≤x<\f(π,2)，))则（）A．2 B．1 C． D．5．若命题“∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．6．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移eq\f(π,8)个单位后，得到一个函数的图像，则“是偶函数”是“φ＝eq\f(π,4)”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（）A．14 B．15 C．16 D．188．已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.其中正确命题的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．19．过双曲线的左焦点F作圆的切线，设切点为M，延长FM交双曲线于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（）A． B． C．+1 D．10．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A． B． C． D．11．已知点C为线段上一点，为直线外一点，PC是角的平分线，为PC上一点，满足，，，则的值为（）A. B.3 C.4 D.12．已知函数，则函数的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．等比数列的各项均为正数，且，则＝________.14．已知函数满足，函数关于点对称，，则_________.15．设满足约束条件，则的取值范围是__________.16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称为函数的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________.①；②；③，；④；⑤.

三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，已知，.（1）求的值；（2）若，D为的中点，求CD的长.18．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f(1,7)。现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量ξ的概率分布列及期望．PAGBCDFE19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝PAGBCDFE（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；

（2）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率，过点的直线与椭圆交于两点，且.（1）当直线的倾斜角为时，求三角形的面积；（2）当三角形的面积最大时，求椭圆的方程．21.（本小题满分12分）已知函数，．（1）（=1\*romani）求证：；（=2\*romanii）设，当，时，求实数的取值范围；（2）当时，过原点分别作曲线与的切线，，已知两切线的斜率互为倒数，证明：．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知A，B，C，D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，D为切点，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长．23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.（1）求圆C的极坐标方程；（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）解关于的不等式；（2）若函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围.

江西师大附中、临川一中届高三第一次联考数学（理）试卷命题人：万炳金审题人：廖涂凡.12一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1．已知集合，则等于（）A．（2，5） B． C．{2，3，4} D．{3，4，5}【答案】C【命题意图】本题主要考查不等式的解法,集合的运算,属容易题.【解析】，={2，3，4},选C.2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A．y＝ex B．y＝lnx2 C．y＝eq\r(x) D．y＝sinx【答案】B【命题意图】本题主要考查函数性质：单调性、奇偶性等属容易题.【解析】y＝eq\r(x)，y＝ex为(0，＋∞)上的单调递增函数，但是不是偶函数，故排除A，C；y＝sinx在整个定义域上不具有单调性，排除D；y＝lnx2满足题意，故选B.3．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为（）A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3) C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列通项及前n项和公式,属容易题.【解析】a10＝a1＋9d＝10，S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10a1＋45d＝70，解得d＝eq\f(2,3).故选D.4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x3，x<0，,－tanx，0≤x<\f(π,2)，))则（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【命题意图】本题主要考查复合函数求值，属容易题.【解析】∵eq\f(π,4)∈[0，eq\f(π,2))，∴f(eq\f(π,4))＝－taneq\f(π,4)＝－1.∴f(f(eq\f(π,4)))＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.5．若命题“∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【命题意图】本题主要考查用特称命题的否定解决问题，属中等题.【解析】∵命题“∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.6．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移eq\f(π,8)个单位后，得到一个函数的图像，则“是偶函数”是“φ＝eq\f(π,4)”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【命题立意】本题考查三角函数的图像变换以及充分必要条件，属中等题.【解析】把函数y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移eq\f(π,8)个单位后，得到的图像的解析式是y＝sin(2x＋eq\f(π,4)＋φ)，该函数是偶函数的充要条件是eq\f(π,4)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以则“f(x)是偶函数”是“φ＝eq\f(π,4)”的必要不充分条件，选B.7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（）A．14 B．15 C．16 D．18【答案】B【命题立意】本题考查由三视图构造几何体的直观图并求其体积，属中等题.【解析】三棱柱体积—三棱锥体积.8．已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.其中正确命题的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】C【命题立意】本题主要考查等差数列相关知识及前n项和增减性等，推理等相关知识，属中等题.【解析】，①②⑤正确9．过双曲线的左焦点F作圆的切线，设切点为M，延长FM交双曲线于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（）A． B． C．+1 D．【答案】A【命题立意】本题考查圆锥曲线离心率，属中等题.【解析】则.10．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A． B． C． D．【答案】C【命题立意】本题考查立体几何中的球的切接和球的表面积问题，属中等偏难题.【解析】外接圆的半径，.11．已知点C为线段上一点，为直线外一点，PC是角的平分线，为PC上一点，满足，，，则的值为（）A. B.3 C.4 D.【答案】B【命题立意】本题主要考查向量运算，数量积及其几何意义、圆的切线长等，属难题.【解析】，PC是角的平分线，又，即，所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA,PB于E、F，，，，在直角三角形BIH中，，所以.12．已知函数，则函数的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【命题立意】本题考查分段及复合函数零点问题，属难题.【解析】利用数形结合知仅在内有一零点.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．等比数列的各项均为正数，且，则＝________.【答案】50【命题立意】本题考查等比数列性质问题，属中等题.【解析】因为{an}为等比数列，所以由已知可得a10a11＝a9a12＝a1a20＝e5.于是lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2a3…a20)．而a1a2a3…a20＝(a1a20)10＝(e5)10＝e50，因此lna1＋lna2＋…＋lna20＝lne50＝50.14．已知函数满足，函数关于点对称，，则_________.【答案】2【命题立意】本题考查函数周期、图像平移、对称、奇偶性等性质问题，属中等题.【解析】由于，，故函数的周期为12，把函数的图象向右平移1个单位，得，因此的图象关于对称，为奇函数，.15．设满足约束条件，则的取值范围是__________.【答案】【命题立意】本题考查线型规划、斜率等问题，属中等题.【解析】，可行域内点与点（-1，-1）斜率的2倍加1.16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称为函数的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________.①；②；③，；④；⑤.【答案】=1\*GB3①②=4\*GB3④【命题立意】本题考查方程、函数零点、导数求最值，属中等偏难题.【解析】①由x=1得：，所以①具有“反比点”.②设，∵h(0)=-1<0,,∴在上有解，所以②具有“反比点”.③由，所以③不具有“反比点”；=4\*GB3④若令=4\*GB3④具有“反比点”=5\*GB3⑤若在上有解，令，可得h(x)在有最小值，而，所以=5\*GB3⑤不具有“反比点”三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，已知，.（1）求的值；（2）若，D为的中点，求CD的长.【命题立意】本题考查诱导公式；同角三角函数关系；正弦定理；余弦定理.属中等题.【解析】（1）且，∴．---------2分 ----------------3分．--------------6分 （2）由（1）可得．--------------8分 由正弦定理得，即，解得．------------10分 在中，，， 所以．-------------------------12分18．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f(1,7)。现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量ξ的概率分布列及期望．【命题立意】本题考查概率及概率分布.属中等题.【解析】(1)设袋中原有n个白球，由题意知eq\f(1,7)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(\f(n（n－1）,2),\f(7×6,2))＝eq\f(n（n－1）,7×6)，--------3分所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)．即袋中原有3个白球．-------------------6分(2)由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5.P(ξ＝1)＝eq\f(3,7)；P(ξ＝2)＝eq\f(4×3,7×6)＝eq\f(2,7)；P(ξ＝3)＝eq\f(4×3×3,7×6×5)＝eq\f(6,35)；P(ξ＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f(3,35)；P(ξ＝5)＝eq\f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq\f(1,35).所以取球次数ξ的概率分布如下表所示：ξ12345Peq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(6,35)eq\f(3,35)eq\f(1,35)-------------------12分(第2问每个答案一分)PAGBCDFE19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝PAGBCDFE（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；

（2）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

【命题立意】本题考查立体几何的问题.属中等题.【解析】(1)以G点为原点，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，2，4)-------2分----4分∴GE与PC所成角的余弦值为．-------------------6分(2)解：设F(0，y，z)，则∵，∴，即，∴，-------------------8分又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)，∴z=1，故F(0，，1)，-------------------10分，∴-------------------12分20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率，过点的直线与椭圆交于两点，且.（1）当直线的倾斜角为时，求三角形的面积；（2）当三角形的面积最大时，求椭圆的方程．【命题立意】本题考查椭圆标准方程的求解及研究直线和椭圆相交时对应三角形面积的最值.属中等题.【解析】由得，所以．-------------------2分设，则由，，得---------3分由知直线斜率存在设为,得直线的方程，代入得，由知，且解得，-------------------6分-------------------8分（1）代入得-------------------10分（2）（时）时三角形的面积最大，把代入得．于是椭圆的方程为．-------------------12分注：其他书写酌情给分，原则上每一问6分.21.（本小题满分12分）已知函数，．（1）（=1\*romani）求证：；（=2\*romanii）设，当，时，求实数的取值范围；（2）当时，过原点分别作曲线与的切线，，已知两切线的斜率互为倒数，证明：．【命题立意】本题考查用导数求证不等式、求参数范围、含参讨论等，属难题。【解析】（1）（=1\*romani）令，则时，时，所以，即;-----------------2分（=2\*romanii），．①当时，由（1）知，所以，在上递增，恒成立，符合题意．------------------4分②当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得．所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数的取值范围是．------------------6分（2）设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则．由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和后，整理得-------9分令，则，在上单调递减，在上单调递增．若，因为，，所以，而在上单调递减，所以．若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）．综上可知，．------------------12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知A，B，C，D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，D为切点，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长．证明：（1），又切圆于点，，，