人教版八年上数学第十二章《全等三角形》导学案

课题：《12.1全等三角形》导学案

【学习目标】1、了解全等形、全等三角形的概念，明确全等三角形对应边、对应角相等。

2、在列举生活中常见的的全等图形的过程中，学会判断对应边、对应角的方法。

3、积极投入，激情展示，做最佳自己。

教学重点：全等三角形的性质及寻找全等三角形的对应边、对应角。

教学难点：寻找全等三角形的对应边、对应角。

【学习过程】

一、自主学习

1、全等形。回忆：举出现实生活中能够完全重合的图形的例子？同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的(如图);

能够完全重合的两个图形叫做.

(1)一个图形经过平移,翻转,旋转后，位置变化了，但和都没有改变，即平移,翻转,旋转前后的图形

(2)如果两个图形全等，它们的形状大小一定都相同吗？全等形的特征是和

2、全等三角形。能够完全重合的两个三角形叫做(如下图)。

“全等”用符号“丝”来表示，读作“全等于"，如上图记作AABC咨△ABG

叫对应顶点，A--A”B-fBi,C——G

叫对应边，AB-AB,AC--,--BC

叫对应角，ZA-ZAi,ZB-Z,ZC-Z

注意：书写全等式时要求把对应顶点字母放在的位置上。

3、全等三角形的性质。全等三角形的相等，相等。

用符号表示为

:△ABC四△ABG

AB=AiBbBC=B1CbAC=ACA1

（全等三角形的____________）

NA=/AbZB=ZB.,\/\

ZC=NG（全等三角形的）BCBiJ

二、合作探究

有公共边的，公共边是对应边有公共角的，公共角是对应角有对顶角的，对顶角是对应角.

一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边;

一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角。

7

根据上面的提示，你能总结寻找对应边、角的规律吗？

2、如图：ZXABC丝△DBF,找出图中的对应边，对应角.C

B

三、学以致用

1、如图AABC丝AADE,若/D=/B,NC=ZAED,

则NDAE=；ZDAB=。

2、如图，AABC^AAED,AB是aABC的最大边，

AE是4AED的最大边，/BAC与NEAD对应角，且

ZBAC=25°,ZB=35°,AB=3cm,BC=IM,求出NE,

ZADE的度数和线段DE,AE的长度。NBAD与

/EAC相等吗？为什么？

四、能力提升：（学有余力的同学完成）

下图是一些等边三角形，你能把它们分别分成两个全等的三角形、三个全等的三角形、四

个全等的三角形吗？

五、当堂检测

1、全等用符号表示，读作^。

2、若^BCEg△CBF,则/CBE=,NBEC=,BE=,CE=.

3、判断题

1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（）

2）全等三角形的周长相等，面积也相等。（）

3）面积相等的三角形是全等三角形。（）

4）周长相等的三角形是全等三角形。（）

4、如图AABDgAEBC,AB=3cm,BC=5cm,求DE的长

六、我的收获与反思

作业：

必做:

选做:

课题：《12.2三角形全等的判定》（1）导学案NO.02

【学习目标】1、三角形全等的“边边边”的条件，了解三角形的稳定性.

2、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

3、积极投入，激情展示，做最佳自己

教学重点：三角形全等的条件.

教学难点：寻求三角形全等的条件.

【学习过程】

一、自主学习

1、复习：什么是全等三角形？全等三角形有些什么性质？

如图，AABC丝Z\A'B'C那么

相等的边是：___________________________________

相等的角是：___________________________________

2、讨论三角形全等的条件（动手画一画并回答下列问题）

（1）.只给一个条件：一组对应边相等（或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗?

（2）.给出两个条件画三角形，有种情形。按下面给出的两个条件，画出的两个三角形一定全等吗？

①一组对应边相等和一组对应角相等

②两组对应边相等

③两组对应角相等

(3)、给出三个条件画三角形，有一种情形。按下面给出三个条件，画出的两个三角形一定全等吗？

①三组对应角相等

②三组对应边相等

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

a.作图方法：

b.以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现，这说明这些三角形都是的.

c.归纳：三边对应相等的两个三角形简写为""或"

d、用数学语言表述：

在AABC和AA'8'C，中，

AB=A'B'

-：AC=AABC^

BC=

用上面的规律可以判断两个三角形.判断,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.

3、你能解释三角形为什么具有稳定性吗？

二、合作探究

1、［例］如图，ZXABC是一个钢架，AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.

求证：△ABDg/\ACD.

A

B

温馨提示：证明的书写步骤：

①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；

②三角形全等书写三步骤：

A.

A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。

2、尺规作图。

已知：ZAOB.求作：NDEF,使NDEF=NAOB

B

三、学以致用

1、如图，AB=AE,AC=AD,BD=CE,求证：ZkABC丝△ADE,

(*)2、己知：如图，AD=BC,AC=BD.求证：ZOCD=ZODC

四、当堂检测

下列说法中，错误的有()个

(1)周长相等的两个三角形全等。(2)周长相等的两个等边三角形全等。(3)有三个角对应相等的两个三角形全等。(4)有三边对应相等的两个三角

形全等

A、1B、2C、3D、4

五、小结提高

六、作业:

课题：《12.2三角形全等的判定》（2）导学案NO.03

【学习目标】

1、掌握三角形全等的“SAS”条件，能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题

2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

3、积极投入，激情展示，做最佳自己。

教学重点：三角形全等的条件.

教学难点：寻求三角形全等的条件.

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

（1）怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）的内容是什么？

（2）上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一

角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一

边的对角两种情况。

2、探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？

(1)动手试一试

已知：4ABC

求作：M'B'C,使=B'C'=BC,NA'=NA

(2)把△剪下来放到^ABC上，观察△A'B，。与AABC是否能够完全重合？

⑶归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定(二)：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形

(4)用数学语言表述全等三角形判定(二)

在4ABC和&A'B'C中，

'：ZB=AABC^

BC=

3、探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等?

12

AB

例2如图，AC=BD,N仁N2,求证:BC=AD.

变式1:如图，AC=BD,BC=AD,求证：N仁Z2.

变式2:如图，AC=BD,BC=AD,求i正：NC=ND

变式3:如图，AC=BD,BC=AD,求彳正：NA=NB

B

三、学以致用

1、课本第10页第2题

2、如图，已知0A=0B,应填什么条件就得到△AOC会ABOD

（允许添加一个条件）

四、能力提升：（学有余力的同学完成）

如图，已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点，求证:DM=DN

D

AB

五、当堂检测

如图，AD±BC,D为BC的中点，那么结论正确的有

A、AABD^AACDB、NB=NCC、AD平分NBACD、ZkABC是等边三角形

六、课堂小结

1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“”或“”

2、到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的2种方法，它们分别是:和

作业：第15页习题11.23-4第16页第10题

课题：《12.2三角形全等的判定》（3）导学案NO.04

【学习目标】

1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题

2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。

教学重点：已知两角一边的三角形全等探究.

教学难点：灵活运用三角形全等条件证明.

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

（1）.到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

（2）.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？

2、探究一：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等？

(1)动手试一试。

已知：4ABC

求作：△4'3'C',使N8'=NB,ZC'=ZC,B'C'=BC,(不写作法，保留作图痕迹)

(2)把剪下来放到aABC上，观察夕。与AABC是否能够完全重合?

(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定(三)：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形(可以简写成“"或"")

(4)用数学语言表述全等三角形判定(三)

在4ABC和A/TB'C中，

,NB=NB'

\BC=/.AABC^

zc=

3、探究二。两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等

(1)如图,在△ABC和ADEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF,AABC与ADEF全等吗？能利用前面学过的判定方法来证明你的结论

吗？

BCEF

（2）归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定（四）：

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“"）

（3）用数学语言表述全等三角形判定（四）

在4ABC和中，

Z=NA'

V-NB=AABC^

BC=

二、合作探究

1、例1、如下图，D在AB上，E在AC上,

AB=AC,ZB=ZC.

求证：AD=AE.

2.已知：点D在AB上，点E在AC上，ZBAO=ZCAO,BE±AC,CDLAB,相交于点0,AB=AC,求证：BD=CE

0

BC

三、学以致用

1、课本第13页第1题

2、如图，在AABC中，NC=2NB,AD是AABC的角平分线，N1=NB,求证AB=AC+AD

A

六、课堂小结

（1）今天我们又学习了两个判定三角形全等的方法是：

（2）三角形全等的判定方法共有___________________________________

（3）会根据已知两角及一边画三角形

作业：

课题：《12.2三角形全等的判定》(4)导学案NO.05

【学习目标】

1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；

2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；

3.极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

⑴、判定两个三角形全等的方法：______、_______、______、________

(2)、如图，RtAABC中，直角边是、,八斜边是

BC

(3)、如图，ABLBE于B,DELBE于E,

①若NA=ND,AB=DE,

则AABC与ADEF（填“全等”或“不全等”

根据（用简写法）

②若NA=ND,BC=EF,

则4ABC^ADEF（填“全等”或“不全等”

根据（用简写法）

③若AB=DE,BC=EF,

则AABC-^ADEF（填“全等”或“不全等”根据______（_用_简写法）

④若AB=DE,BC=EF,AC=DF

则aABC与aDEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）

2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

(1)动手试一试。

已知：RtAABC

求作：RtA/1'B'C',使NC'=90°,

A'B'=AB,B'C'=BC

B

作法:C

(2)把剪下来放到aABC上，观察△与4ABC是否能够完全重合？

(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形(可以简写成““或“”)

(4)用数学语言表述上面的判定方法

在RtAABC和RtAA'B'C中,

BC=B'C'

ARtAAABC^RtAA

AB=

(5)直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法“"、""、""、""、还有直

角三角形特殊的判定方法“”

二、合作探究

1、如图，AC=AD,ZC,ND是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？

C

2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角NABC和NDFE的大

小有什么关系？

三、学以致用

1、如图,AABC中，AB=AC,AD是高,

则AADB与4ADC___________（填“全等”或“不全等”）

根据_________（用简写法）/

2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）/

A、两条直角边对应相等B、斜边和一锐角对应相等/卜

C、斜边和一条直角边对应相等D、两个锐角对应相等B口

3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AFLBC于F,DELBC于E,

AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由A

答：AB平行于CD/

理由：：AF1BC,DE1BC（已知）/

：.ZAFB=ZDEC=___________°（垂直的定义）

：BE=CF,,BF=CEB'——p——

在RtA和RtA中EF

D

()

...=()

(内错角相等，两直线平行)

四、能力提升：(学有余力的同学完成)

如图1,E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE_LAC于E点,BFLAC于F点，若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。(1)求证:MB=MD,ME=MF;(2)

当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证

明。

五、当堂检测

如图，CE±AB,DF1AB,垂足分别为E、F,

(1)若AC〃DB,且AC=DB,则△ACE^^BDF,根据

(2)若AC〃DB,且AE=BF,则4ACE名△BDF,根据

(3)若AE=BF,且CE=DF,则4ACE乡△BDF,根据

(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DFO则ZXACE四△BDF,根据

(5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACEg4BDF,根据

六、课堂小结

这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

作业:

12、3角平分线的性质（一）

一、自学目标：

1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.

2.会用尺规作一个己知角的平分线.（重点）

3.会用角的平分线的性质。（难点）

二、知识回顾

（1）在NAOB的两边0A和0B上分别取OM=ON,MC10A,NC±OB.MC与NC交于C点.

求证：ZMOC=ZNOC.

证明：VMC±OA,NC±OB

zW是直角。

在和中，

那么0C是______的角平分线。

（2）点到直线的距离是什么？

三、自学导航：（看课本完成以下内容）

探究：上图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角平分

线.你能说明它的道理吗？

要说明AC是/DAC的平分线，其实就是证明.

问题一：如何作已知角的角平分线？

已知：ZAOB,求作：NAOB的平分线。

作法：（1）以—为圆心为半径画弧，交于交于—.

（2）分别以__,—为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在_____的内部交于点C.

（3）画______,即为所求的平分线。

议一议:

1.在上面作法的第二步中，去掉"大于』MN的长”这个条件行吗？

2

2.第二步中所作的两弧交点一定在NAOB的内部吗？

3.任意画一角NAOB,作它的平分线

折纸实验：

请你将一张用纸片做的角NAOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么

结论？在连续再折出几个直角三角形，然后展开，观察折痕，你能得到什么结论？

角的平分线的性质.

证明角的平分线性质。首先，要分清其中的“已知”和“求证已知为，要证的结论是.

如图，已知AO平分NBAC,OE±AB,0D1AC,

求证：OE=ODo

一般情况，证明一个几何命题时，会有怎样的步骤？

四、当堂检测：

1.如图，MP±NP,MQ为△NMP的角平分线，MT=MP,连结TQ,则下列结论中，不正确的是()

(A)TQ=PQ.(B)/MQT=/MQP.(C)/QTN=90°.(D)NNQT=/MQT

2.如图，在AABC中，ZC=90°,AM是NCAB的平分线，CM=20cm,那么M到AB的距离为

3.AABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DEXAB,DF1AC,垂足分别为E,F,求证EB=FC

五、谈谈本堂课的收获和疑惑

作业：第22页3

课题角平分线的性质（二）

学习目标：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤

2、进一步理解角平分线的性质及运用（重点，难点）

知识巩固