2024年高考数学试卷（新课标Ⅰ卷）（解析卷）

绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）

数学

本试卷共10页，19小题，满分150分.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

A=x∣-5<x3<5,B={-3,-1,0,2,3}

1.已知集合，则AIB=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【解析】

【分析】化简集合A，由交集的概念即可得解.

【详解】因为A=x|-35<x<35,B=-3,-1,0,2,3，且注意到1<35<2，

从而AIB=-1,0.

故选：A.

z

2.若=1+i，则z=（）

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C

【解析】

【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

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zz-1+111

【详解】因为==1+=1+i，所以z=1+=1-i.

z-1z-1z-1i

故选：C.

rrr

3.已知向量ar=(0,1),b=(2,x)，若b^(b-4ar)，则x=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

rrrrrr

【详解】因为b^b-4a，所以b×b-4a=0，

r2rr2

所以b-4a×b=0即4+x-4x=0，故x=2，

故选：D.

4.已知cos(a+b)=m,tanatanb=2，则cos(a-b)=（）

mm

A.-3mB.-C.D.3m

33

【答案】A

【解析】

【分析】根据两角和的余弦可求cosacosb,sinasinb的关系，结合tanatanb的值可求前者，故可求

cosa-b的值.

【详解】因为cosa+b=m，所以cosacosb-sinasinb=m，

而tanatanb=2，所以sinasinb=2cosacosb，

故cosacosb-2cosacosb=m即cosacosb=-m，

从而sinasinb=-2m，故cosa-b=-3m，

故选：A.

5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）

A.23πB.33πC.63πD.93π

【答案】B

【解析】

【分析】设圆柱的底面半径为r，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程，求出解后可求圆锥的体

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积.

【详解】设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为r2+3，

而它们的侧面积相等，所以2πr´3=πr´3+r2即23=3+r2，

1

故r=3，故圆锥的体积为π´9´3=33π.

3

故选：B.

ì-x2-2ax-a,x<0

已知函数为f(x)，在上单调递增，则取值的范围是（）

6.=íxRa

îe+ln(x+1),x³0

A.(-¥,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+¥)

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为fx在R上单调递增，且x³0时，fx=ex+lnx+1单调递增，

ì-2a

ï-³0

则需满足í2´-1，解得-1£a£0，

ï0

î-a£e+ln1

即a的范围是[-1,0].

故选：B.

æpö

7.当xÎ[0,2p]时，曲线y=sinx与y=2sinç3x-÷的交点个数为（）

è6ø

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解

【详解】因为函数y=sinx的的最小正周期为T=2π，

æπö2π

函数y=2sinç3x-÷的最小正周期为T=，

è6ø3

æπö

所以在xÎ0,2π上函数y=2sinç3x-÷有三个周期的图象，

è6ø

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

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由图可知，两函数图象有6个交点.

故选：C

8.已知函数为f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3时f(x)=x，则下列结论中一

定正确的是（）

A.f(10)>100B.f(20)>1000

C.f(10)<1000D.f(20)<10000

【答案】B

【解析】

【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【详解】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，

又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)，

则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，

f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，

f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，

f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377

f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，

f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质

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f(x)>f(x-1)+f(x-2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本

均值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12，假设推动

出口后的亩收入Y服从正态分布Nx,s2，则（）（若随机变量Z服从正态分布Nu,s2，

P(Z<u+s)0.8413）

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正态分布的3s原则以及正态分布的对称性即可解出.

2

【详解】依题可知，x=2.1,s=0.01，所以Y:N2.1,0.1，

故PY>2=PY>2.1-0.1=PY<2.1+0.10.8413>0.5，C正确，D错误；

因为X:N1.8,0.1，所以PX>2=PX>1.8+2´0.1，

因为PX<1.8+0.10.8413，所以PX>1.8+0.11-0.8413=0.1587<0.2，

而PX>2=PX>1.8+2´0.1<PX>1.8+0.1<0.2，B正确，A错误，

故选：BC．

10.设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则（）

A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<fx2

C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x)

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出函数fx的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数fx

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在1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

2

【详解】对A，因为函数fx的定义域为R，而f¢x=2x-1x-4+x-1=3x-1x-3，

易知当xÎ1,3时，f¢x<0，当xÎ-¥,1或xÎ3,+¥时，f¢x>0

函数fx在-¥,1上单调递增，在1,3上单调递减，在3,+¥上单调递增，故x=3是函数fx的极

小值点，正确；

2

对B，当0<x<1时，x-x=x1-x>0，所以1>x>x2>0，

而由上可知，函数fx在0,1上单调递增，所以fx>fx2，错误；

对C，当1<x<2时，1<2x-1<3，而由上可知，函数fx在1,3上单调递减，

所以f1>f2x-1>f3，即-4<f2x-1<0，正确；

222

对D，当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=1-x-2-x-x-1x-4=x-12-2x>0，

所以f(2-x)>f(x)，正确；

故选：ACD.

11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐

标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则（）

A.a=-2B.点(22,0)在C上

4

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x0,y0在C上时，y0£

x0+2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利

用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.

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【详解】对于A：设曲线上的动点Px,y，则x>-2且x-22+y2´x-a=4，

因为曲线过坐标原点，故0-22+02´0-a=4，解得a=-2，故A正确.

对于B：又曲线方程为x-22+y2´x+2=4，而x>-2，

故x-22+y2´x+2=4.

2

当x=22,y=0时，22-2´22+2=8-4=4，

故22,0在曲线上，故B正确.

21623

对于C：由曲线的方程可得y=2-x-2，取x=，

x+22

641641645256-245

则y2=-，而--1=-=>0，故此时y2>1，

49449449449´4

故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.

16216

y2=-x-2£

对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得0202，

x0+2x0+2

44

故-£y0£，故D正确.

x0+2x0+2

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等

来处理.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

x2y2

12.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F、F，过F作平行于y轴的直线交C于A，B

a2b2122

两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为___________．

3

【答案】

2

【解析】

【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，

从而求出离心率.

x2y2

【详解】由题可知A,B,F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入-=1

a2b2

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b2æb2öæb2ö2b2b2

得，即，故，，

y=±Açc,÷,Bçc,-÷AB==10AF2==5

aèaøèaøaa

2

b2

又AF1-AF2=2a，得AF1=AF2+2a=2a+5=13，解得a=4，代入=5得b=20，

a

c63

故c2=a2+b2=36,，即c=6，所以e===.

a42

3

故答案为：

2

13.若曲线y=ex+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=__________.

【答案】ln2

【解析】

【分析】先求出曲线y=ex+x在0,1的切线方程，再设曲线y=lnx+1+a的切点为

x0,lnx0+1+a，求出y¢，利用公切线斜率相等求出x0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求

解.

xx0

【详解】由y=e+x得y¢=e+1，y¢|x=0=e+1=2，

故曲线y=ex+x在0,1处的切线方程为y=2x+1；

1

由y=lnx+1+a得y¢=，

x+1

设切线与曲线y=lnx+1+a相切的切点为x0,lnx0+1+a，

1111

y¢==2æö

由两曲线有公切线得，解得x0=-，则切点为ç-,a+ln÷，

x0+12è22ø

æ1ö1

切线方程为y=2çx+÷+a+ln=2x+1+a-ln2，

è2ø2

根据两切线重合,所以a-ln2=0，解得a=ln2.

故答案为：ln2

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14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡

片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选

一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的

卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.

1

【答案】##0.5

2

【解析】

【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.

【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X1,X2,X3,X4，四轮的总得分为X.

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在

633

该轮获胜的概率PX=1==，所以EX=k=1,2,3,4.

k4´48k8

4433

从而EX=EX1+X2+X3+X4=åEXk=å=.

k=1k=182

记pk=PX=kk=0,1,2,3.

如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以

11

p0=4=；

A424

如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以

11

p3=4=.

A424

3

而X的所有可能取值是0，1，2，3，故p0+p1+p2+p3=1，p+2p+3p=EX=.

1232

113111

所以p+p+=1，p+2p+=，两式相减即得p+=，故p+p=.

121212822242232

1

所以甲的总得分不小于2的概率为p+p=.

232

1

故答案为：.

2

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从

而避免繁琐的列举.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

222

15.记VABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosB，a+b-c=2ab

（1）求B；

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（2）若VABC的面积为3+3，求c．

π

【答案】（1）B=

3

（2）22

【解析】

【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC，最后结合已知sinC=2cosB得cosB的值

即可；

（2）首先求出A,B,C，然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方

程求解.

【小问1详解】

由余弦定理有a2+b2-c2=2abcosC，对比已知a2+b2-c2=2ab，

a2+b2-c22ab2

可得cosC===，

2ab2ab2

因为CÎ0,π，所以sinC>0，

2

æ2ö2

从而2，

sinC=1-cosC=1-ç÷=

è2ø2

1

又因为sinC=2cosB，即cosB=，

2

注意到BÎ0,π，

π

所以B=.

3

【小问2详解】

π2πππ5π

由（1）可得B=，cosC=，CÎ0,π，从而C=，A=π--=，

3243412

æ5πöæππö23216+2

而sinA=sinç÷=sinç+÷=´+´=，

è12øè46ø22224

abc

==

由正弦定理有5πππ，

sinsinsin

1234

6+23+136

从而a=×2c=c,b=×2c=c，

4222

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由三角形面积公式可知，VABC的面积可表示为

113+1623+3

S=absinC=×c×c×=c2，

VABC222228

3+32

由已知VABC的面积为3+3，可得c=3+3，

8

所以c=22.

æ3öx2y2

16.已知A(0,3)和Pç3,÷为椭圆C:+=1(a>b>0)上两点.

è2øa2b2

（1）求C的离心率;

（2）若过P的直线l交C于另一点B，且VABP的面积为9，求l的方程．

1

【答案】（1）

2

（2）直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.

【解析】

【分析】（1）代入两点得到关于a,b的方程，解出即可；

（2）方法一：以AP为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离，再利用平行线距离公式得到平移

后的直线方程，联立椭圆方程得到B点坐标，则得到直线l的方程；方法二：同法一得到点B到直线AP的

距离，再设Bx0,y0，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B到

直线AP的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB斜率不存在的情况，再设直线

y=kx+3，联立椭圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB斜率

3

不存在的情况，再设PB:y-=k(x-3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设

2

线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘1表达面积即可.

2

【小问1详解】

ìb=3

2

ï9ìb=9

由题意得í，解得í，

9a2=12

ï+4=1î

îïa2b2

b291

所以e=1-=1-=.

a2122

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【小问2详解】

3

3-1

法一：21，则直线AP的方程为y=-x+3，即x+2y-6=0，

kAP==-2

0-32

222

2æ3ö35xy

AP=0-3+ç3-÷=，由（1）知C:+=1，

è2ø2129

2´9125

d==

设点B到直线AP的距离为d，则355，

2

125

则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移单位即可，

5

此时该平行线与椭圆的交点即为点B，

设该平行线的方程为：x+2y+C=0，

C+6125

则=，解得C=6或C=-18，

55

ìx2y2ìx=-3

ï+=1ìx=0ï

当C=6时，联立í129，解得í或í3，

ïîy=-3ïy=-

îx+2y+6=0î2

æ3ö

即B0,-3或ç-3,-÷，

è2ø

33

当B0,-3时，此时k=，直线l的方程为y=x-3，即3x-2y-6=0，

l22

æ3ö11

当Bç-3,-÷时，此时kl=，直线l的方程为y=x，即x-2y=0，

è2ø22

ìx2y2

ï+=1

当C=-18时，联立í129得2y2-27y+117=0，

ï

îx+2y-18=0

D=272-4´2´117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.

综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.

法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，

125

点B到直线AP的距离d=，

5

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ìx0+2y0-6125

ï=ìx0=-3

ï55ïìx0=0

设Bx0,y0，则í，解得í3或í，

22y3

ïxyïy0=-î0=-

0+0=1î2

îï129

æ3ö

即B0,-3或ç-3,-÷，以下同法一.

è2ø

法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，

125

点B到直线AP的距离d=，

5

23cosq+6sinq-6125

设B23cosq,3sinq，其中qÎ0,2p，则有=，

55

ì3

ïcosq=-

ï2ìcosq=0

联立cos2q+sin2q=1，解得í或í，

1îsinq=-1

ïsinq=-

îï2

æ3ö

即B0,-3或ç-3,-÷，以下同法一；

è2ø

法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，

133

S=´6´3=9，符合题意，此时k=，直线l的方程为y=x-3，即3x-2y-6=0，

VPAB2l22

当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，

ìy=kx+3

ï22221

联立椭圆方程有íxy，则4k+3x+24kx=0，其中k¹kAP，即k¹-，

ï+=12

î129

-24k1

解得x=0或x=，k¹0，k¹-，

4k2+32

-24k-12k2+9æ-24k-12k2+9ö

令，则，则

x=2y=Bç2,2÷

4k+34k2+3è4k+34k+3ø

同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，

125

点B到直线AP的距离d=，

5

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-24k-12k2+9

+2´-63

则4k2+34k2+3125，解得k=，

=2

55

æ3ö11

此时Bç-3,-÷，则得到此时kl=，直线l的方程为y=x，即x-2y=0，

è2ø22

综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.

æ3ö

法五：当l的斜率不存在时，l:x=3,Bç3,-÷,PB=3,A到PB距离d=3，

è2ø

19

此时S=´3´3=¹9不满足条件.

VABP22

3

当l的斜率存在时，设PB:y-=k(x-3)，令Px,y,Bx,y，

21122

ì3

ïy=k(x-3)+

ï22222

í，消y可得4k+3x-24k-12kx+36k-36k-27=0，

x2y2

ï+=1

îï129

21

Δ=24k2-12k-44k2+336k2-36k-27>0，且k¹k，即k¹-，

AP2

2

ì24k-12k2227

ïx1+x2=243k+13k+9k+

ï4k+3224

í,PB=k+1x1+x2-4x1x2=，

36k2-36k-274k2+3

ïxx=

îï124k2+3

3273

3k+43k2+13k2+9k+3k+

A到直线PB距离2142，

d=,SPAB=×2×=9

k2+1V24k+3k2+1

1313

\k=或，均满足题意，\l:y=x或y=x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.

2222

æ3ö

法六：当l的斜率不存在时，l:x=3,Bç3,-÷,PB=3,A到PB距离d=3，

è2ø

19

此时S=´3´3=¹9不满足条件.

VABP22

3

当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-3)+，

2

æ3ö

设l与y轴的交点为Q，令x=0，则Qç0,-3k+÷，

è2ø

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ì3

ïy=kx-3k+22æ3ö2

联立í2，则有3+4kx-8kç3k-÷x+36k-36k-27=0，

22è2ø

îï3x+4y=36

22æ3ö2

3+4kx-8kç3k-÷x+36k-36k-27=0，

è2ø

2

2æ3ö221

其中Δ=8kç3k-÷-43+4k36k-36k-27>0，且k¹-，

è2ø2

36k2-36k-2712k2-12k-9

则3x=,x=，

B3+4k2B3+4k2

11312k+1813

则S=AQx-x=3k+=9，解的k=或k=，经代入判别式验证均满足题意.

2PB223+4k222

13

则直线l为y=x或y=x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.

22

17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD，PA=AC=2，BC=1,AB=3．

（1）若AD^PB，证明：AD//平面PBC；

42

（2）若AD^DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD．

7

【答案】（1）证明见解析

（2）3

【解析】

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【分析】（1）先证出AD^平面PAB，即可得AD^AB，由勾股定理逆定理可得BC^AB，从而

AD//BC，再根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）过点D作DE^AC于E，再过点E作EF^CP于F，连接DF，根据三垂线法可知，ÐDFE即

为二面角A-CP-D的平面角，即可求得tanÐDFE=6，再分别用AD的长度表示出DE,EF，即可

解方程求出AD．

【小问1详解】

（1）因为PA^平面ABCD，而ADÌ平面ABCD，所以PA^AD，

又AD^PB，PBIPA=P，PB,PAÌ平面PAB，所以AD^平面PAB，

而ABÌ平面PAB，所以AD^AB.

因为BC2+AB2=AC2，所以BC^AB，根据平面知识可知AD//BC，

又ADË平面PBC，BCÌ平面PBC，所以AD//平面PBC．

【小问2详解】

如图所示，过点D作DE^AC于E，再过点E作EF^CP于F，连接DF，

因为PA^平面ABCD，所以平面PAC^平面ABCD，而平面PACI平面ABCD=AC，

所以DE^平面PAC，又EF^CP，所以CP^平面DEF，

根据二面角的定义可知，ÐDFE即为二面角A-CP-D的平面角，

42

即sinÐDFE=，即tanÐDFE=6．

7

x4-x2

因为AD^DC，设AD=x，则CD=4-x2，由等面积法可得，DE=，

2

222

x4-x4-x24-x

又CE=4-x2-=，而VEFC为等腰直角三角形，所以EF=，

4222

x4-x2

2

故tanÐDFE==6，解得x=3，即AD=3．

4-x2

22

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x

18.已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3

2-x

（1）若b=0，且f¢(x)³0，求a的最小值；

（2）证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；

（3）若f(x)>-2当且仅当1<x<2，求b的取值范围．

【答案】（1）-2

2

（2）证明见解析（3）b³-

3

【解析】

【分析】（）求出f¢x=2+a后根据f¢(x)³0可求a的最小值；

1min

（2）设Pm,n为y=fx图象上任意一点，可证Pm,n关于1,a的对称点为Q2-m,2a-n也在

函数的图像上，从而可证对称性；

2

（3）根据题设可判断f1=-2即a=-2，再根据f(x)>-2在1,2上恒成立可求得b³-.

3

【小问1详解】

x

b=0时，fx=ln+ax，其中xÎ0,2，

2-x

112

则f¢x=+=+a,xÎ0,2，

x2-xx2-x

2

æ2-x+xö

因为x2-x£ç÷=1，当且仅当x=1时等号成立，

è2ø

故f¢x=2+a，而f¢x³0成立，故即，

mina+2³0a³-2

所以a的最小值为-2.，

【小问2详解】

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x3

fx=ln+ax+bx-1的定义域为0,2，

2-x

设Pm,n为y=fx图象上任意一点，

Pm,n关于1,a的对称点为Q2-m,2a-n，

m3

因为Pm,n在y=fx图象上，故n=ln+am+bm-1，

2-m

2-m3ém3ù

而f2-m=ln+a2-m+b2-m-1=-ln+am+bm-1+2a，

mëê2-mûú

=-n+2a，

所以Q2-m,2a-n也在y=fx图象上，

由P的任意性可得y=fx图象为中心对称图形，且对称中心为1,a.

【小问3详解】

因为fx>-2当且仅当1<x<2，故x=1为fx=-2的一个解，

所以f1=-2即a=-2，

先考虑1<x<2时，fx>-2恒成立.

x3

此时fx>-2即为ln+21-x+bx-1>0在1,2上恒成立，

2-x

t+1

设t=x-1Î0,1，则ln-2t+bt3>0在0,1上恒成立，

1-t

t+1

设gt=ln-2t+bt3,tÎ0,1，

1-t

22

2t-3bt+2