圆锥曲线的方程（六）讲义 高三数学一轮复习

高中数学高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六知识点一根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题典例1、已知椭圆的长轴长为，且经过点.（1）求C的方程；（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标.随堂练习：已知椭圆：过点，过右焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）点，在椭圆上，且.证明：直线恒过定点.典例2、已知椭圆经过点和点．（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．

随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.典例3、如图，已知椭圆：经过点，离心率为.点，以为直径作圆，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆与圆于点A，B和点N.（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积最大时，求直线的方程.

随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．知识点二求抛物线的切线方程,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据焦点或准线写出抛物线的标准方程典例4、如图，设为轴的正半轴上的任意一点，为坐标原点.过点作抛物线的两条弦和，､在轴的同侧.（1）若为抛物线的焦点，，直线的斜率为，且直线和的倾斜角互补，求的值；（2）若直线､､､分别与轴相交于点､､､，求证：.随堂练习：已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.（1）求抛物线的方程；（2）过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值.典例5、已知抛物线，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P．（1）求点P的轨迹方程；（2）若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令的面积为，四边形PRFQ面积为，求的最小值．

随堂练习：已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为5.（1）求抛物线C的方程；（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.典例6、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.（1）若，求直线l的斜率；（2）若，证明：为定值.

随堂练习：已知抛物线的焦点为．（1）如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；（2）过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线､、的斜率成等差数列．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六答案典例1、答案：（1）；（2）证明见解析，.解:（1）由题意得，得，所以椭圆方程为：，将代入椭圆方程得：，解得，故椭圆C的方程为（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得.设A，B的坐标分别为，则，且，因为直线，斜率互为相反数，即，所以，则，即，即，所以，化简得，所以直线的方程为，故直线过定点随堂练习：答案：（1）（2）证明见解析解：（1）由已知得当时，，又因为椭圆过点，则，联立解得，故椭圆的标准方程为；（2）证明设点，，因为，即，即.*当直线的斜率存在时，设直线方程为.代入椭圆方程消去得，，，，根据，.代入*整理，得，结合根与系数的关系可得，.即，当时，直线方程为.过点，不符合条件.当时，直线方程为，故直线恒过定点.当直线的斜率不存在时，令点，此时，又.可得（舍去）或.当时，与点重合，与已知条件不符，∴直线的斜率一定存在，故直线恒过定点.典例2、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为（2）证明见解析解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，所以，椭圆的标准方程为，离心率为.（2）分以下两种情况讨论：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立可得，可得，由韦达定理可得，，，同理可得，由已知，则，所以，，即，解得或.当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，由已知可得，，，由已知，则，所以，，因为，解得，此时直线的方程为，则直线过点.综上所述，直线过定点.随堂练习：答案：（1）（2）存在，解：（1），，椭圆，将代入可得，故，椭圆方程为：；（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，联立方程可得：，，，为常数，代入韦达定理可知，即为常数，，故且，直线l过定点当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.典例3、答案：（1）（2）解：（1）将点代入得，，又，，得，所以，，即.（2）因为，设直线的方程为，设，，联立，得，且，则，，则，且，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，∴，∴面积，当且仅当时，取到等号，此时，所以直线的方程为.随堂练习：答案：（1）（2）或.解：（1）由题意知，，又，∴，，∴椭圆标准方程为.（2）∵轴，∴，设，则，∴，即，∵，∴，∴，∴，即，设，，则，，∴.①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得.得，∴，即，解得.故直线的方程为或.典例4、答案：（1）（2）证明见解析.解：（1）根据题意，为抛物线的焦点，则，由于直线的斜率为，故直线的方程为，所以联立方程得，设，则，因为直线和的倾斜角互补，所以，因为，所以，所以，解得.所以.（2）设，直线的方程为，直线的方程为设，直线与抛物线联立得，所以，，同理，直线与抛物线联立得，所以，，对于直线，由于，所以，所以直线方程为，故令得，即同理得，，，所以，，所以随堂练习：答案：（1）；（2）16.解：（1）抛物线的焦点，准线，为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，由，解得，设，则点，于是由得：，解得，所以抛物线的方程为：.（2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：，则直线CD方程为：，由消去x并整理得：，设，则，于是得弦AB中点，，同理得，因此，直角面积，当且仅当，即时取“=”，所以面积的最小值为16.典例5、答案：（1）（2）2解：（1）抛物线的焦点.由得，∴.设，，，由导数的几何意义可得：，，∴，即，同理．又P在PA，PB上，则，所以．∵直线AB过焦点F，∴．所以点P的轨迹方程是．（2）由（1）知，，代入得，则，则，P到AB的距离，所以，∵，当时，得，∴，∴，同理，．由得，∴四边形PRFQ为矩形，∵，∴，∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为2．随堂练习：答案：（1）（2）32解：（1）由题意知，，设圆上的点，则.所以.从而有.因为，所以当时，.又，解之得，因此.抛物线C的方程为：.（2）切点弦方程韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线C的方程为，即，对该函数求导得，设点、、，直线的方程为，即，即同理可知，直线PB的方程为，由于点P为这两条直线的公共点，则，所以，点A、B的坐标满足方程，所以，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，所以，点P到直线AB的距离为，所以，，∵，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.典例6、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）设，因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0，设直线l为，联立与得：，则，，因为，所以，故，解得：，当时，，此时，解得：，直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，当时，，此时，解得：，直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，综上：直线l的斜率为；（2）设，因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0，设直线l为，令得：，故，联立与得：