信号与系统奥本海姆课件第3章教材

第3章周期信号的傅里叶级数表示SignalsandSystemsA.V.OPPENHEIM,etal.Ch3FourierSeriesRepresentationofPeriodicSignals1Contents：

Representationof

ResponseofLTISystemtoPeriodicSignals（线性时不变系统对周期信号的响应）

FourierSeries（傅里叶级数）PeriodicSignals(周期信号描述)23.0

引言Introduction

时域分析方法的基础：

信号在时域的分解。LTI系统满足线性、时不变性。从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：

1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。

2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。

33.1历史的回顾（AHistoricalPerspective）

任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而来的,其中有争论,还有人为之献出了生命。

历史的经验告诉我们,要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。41768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件傅里叶生平1768—18305傅里叶的两个最重要的贡献——“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”——傅里叶的第二个主要论点6§3.2TheResponseofLTISystemstoComplexExponentialsLTI系统对复指数信号的响应1.Continuous-timesystemEigenfunction特征函数——Eigenvalue

(特征值）2.Discrete-timesystemEigenfunction特征函数——Eigenvalue(特征值）A.EigenfunctionofLTISystems（特征函数）7复指数函数、是一切LTI系统的特征函数。、分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征值。结论：只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。8Chapter3FourierSeriesContinuous-timesystemDiscrete-timesystemParticularlyFourierAnalysisFourierAnalysis9利用系统的齐次性与叠加性所以有即：同理：由于

对时域的任何一个信号或者,若能将其表示为下列形式：10B.EigenvaluesofLTIsystemLaplaceTransform:Chapter9z-Transform:Chapter10Systemfunction112knownRelations，PropertiesC.BasicIdeaforGettingResponsebyH(s)andH(z)信号分解1decomposition响应合成3composition信号分解1decomposition响应合成3composition线性组合

LinearCombinations??√√2knownRelations，PropertiesSolution:Solution:12D.StepsforGettingResponsebyH(z)andH(s)▲时域分析法(ch.2)TimeDomainAnalysis▲(复)频域分析法(ch.3,4,5,9,10)ComplexFrequencyDomainAnalysis22113313E.KeyProblemsofTheSolutionTransformPairs1313FourierSeriesinCh.313FourierTransforminCh.4,5Laplace-TransforminCh.9dependingonbasicsignalsZ-TransforminCh.1014F.BasicExponentialSignalsanditsRelatedTransformsFourierTransformLaplaceTransform

＊in

Chapter3Fourierseries

＊in

Chapter4,5

＊in

Chapter9,10forPeriodicSignalsforAperiodicSignalsforAperiodicSignals15Chapter3FourierSeries§3.3FourierSeriesRepresentation（傅立叶级数）

ofContinuous-timePeriodicSignals（连续时间周期信号）§3.3.1LinearCombinations（线性组合）

ofHarmonicallyRelated（谐波关系）ComplexExponentials——Fundamentalfrequency——FourierSeries——FourierSeriesCoefficientsSpectralCoefficients（频谱系数）ConstantComponentFundamentalComponentSecondHarmonicComponent16

HarmonicComponentsofPeriodicSignal（周期信号的谐波分量）Constantpart

FirstharmoniccomponentsSecondharmoniccomponentsKthharmoniccomponents直流分量一次谐波分量二次谐波分量K次谐波分量17Chapter3FourierSeriesExample:ConsideranLTIsystemforwhichtheinputandtheimpulseresponsedeterminetheoutput18Examples<3.2>Constantpart

1stharmoniccomponents2ndharmoniccomponents3thharmoniccomponentsEuler’sRelation1920<3.3>CoefficientsofFourierSeriesforsinusoidalexponentialsignals<正弦函数的傅立叶级数展开，系数计算不用系数公式,

直接将正弦函数展开成复指数的线性组合，直观确定系数>Euler’sRelation(don’tusecoefficientformula)sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2i

cosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2

21Example

显然该信号中，有两个谐波分量，为相应分量的加权因子。

22Example：在该信号中，有四个谐波分量，即时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。233.3.2.DeterminationofFourierSeries

ofContinuous-time（连续时间傅里叶级数的系数确定）如果周期信号可以表示为傅里叶级数则有——Fundamentalfrequency——FourierSeries——FourierSeriesCoefficientsSpectralCoefficients（频谱系数）24

25即

在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为26——AveragevalueoveroneperiodConstantpart

27

Synthesisequation综合公式Analysisequation分析公式28

Example

29<3.5>CoefficientsofFourierSeriesforGeneralPeriodSignalsFig3.6given1)2)(usingcoefficientformula)303.3.3频谱（Spectral）的概念在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。31分量

可表示为32周期频谱密集度3.3.3.CoefficientFrequencySpectrumandItsFeaturesAngularfrequencyFeaturesofCoefficientSpectrum123DiscreteinaxisSeperatedbyDecayingwhen4decayingdecaying这样绘出的图称为频谱图Spectrum33CoefficientFrequencySpectrum(系数频谱)反映各次谐波频率分量间的相对关系34CoefficientFrequencySpectrum（系数频谱）反映各次谐波频率分量间的相对关系幅度大小相对关系：位置间的相对关系：35

频谱图其实就是将随频率的分布表示出来，即关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。36§3.5PropertiesofContinuous-TimeFourierSeries§3.5.1Linearity（线性）

连续时间傅里叶级数的性质37

<Proof>Simplethanpresentedinthebook§3.5.2TimeShifting（时移）38Chapter3FourierSeries§3.5.3TimeReversal（时间反转）realeven（偶实数）realeven（偶实数）realodd（奇实数）Purelyimaginaryodd393.5.4TimeScaling（时域尺度变换）PeriodPeriod<Proof>40四.尺度变换(TimeScaling):若是以为周期的信号，且则以为周期，于是令，当在变化时，从变化，于是有：41§3.5.5Multiplication（相乘）PeriodTConvolutionSum（卷积和）PeriodTPeriodT42

§3.5.6ConjugationandConjugateSymmetry（共轭及共轭对称性）or对实信号，当时，（实偶函数）当时，（虚奇函数）43Chapter3FourierSeries§3.5.7Parseval’sRelation（帕兹瓦尔关系式）AveragePowerofinoneperiodAveragePowerofkthharmonicinoneperiod表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和.44§3.5.8Summaryofproperties(seetable3.1)Integration（积分）Differentiation（微分）PeriodTPeriodT45Example1：-T1T0……10……-T．．T周期性矩形脉冲将其微分后可利用例1表示为Example2：4610……设由时域微分性质有由例1知根据时移特性，有47Examples<3.6>1-4-1144849Chapter3FourierSeries

-4-2024tExample3.7提示：三角波的微分是矩形波，矩形波已经求得50<3.7>151<3.8>PeriodicImpulseTrains(周期冲激串)FourierSerieswhen523.6Representationof

Discrete-TimePeriodicSignal:FourierSeriesPeriodicDiscrete-TimeExponentials12341(Asin1.3.3)与3.3节内容相似，有限长度级数、系数周期性53PeriodicPropertiesofforCoefficientformula(Proofinthebook)canbeprovedSeecourse“DigitalSignalProcessing”54Examples不使用系数公式FourierSeriesEuler’srelation<Solution><3.10>55<3.11>Euler’srelationFigureseepage217Fig.3.15UseEular’sRelation56<3.12>Usecoefficientformula-404057SystemFunction（系统函数）。

LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。§3.8FourierSeriesandLTISystems（傅里叶级数与LTI系统）Continuous-TimeSystemDiscrete-TimeSystem58IfthenFrequencyResponse（频率响应）ifthenFrequencyResponse（频率响应）LTIsystemorasinputPeriod59then*可见，LTI系统对周期信号的响应仍一个周期信号，LTI系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理。60Chapter3FourierSeriesLinearCombinationsofEigenfunctions

特征函数的线性组合FrequencyResponse（频率响应）ofLTISystemPeriodicSignal（周期信号）Continuous-timeLTISystem（连续时间线性时不变系统）§3.8FourierSeriesandLTISystems（傅里叶级数与LTI系统）61<3.16>012362C.Examples<3.17>021363Chapter3FourierSeriesExampleConsideranLTIsystemwithinput theunitimpulseresponse determinetheFourierSeriesRepresentationofoutput-2-10120kisevenkisodd64Chapter3FourierSeries§3.9Filtering（滤波）FilterFrequency-ShapingFilter频率成形滤波器Frequency-SelectiveFilter频率选择性滤波器65Chapter3FourierSeries§3.9.2Frequency