新教材高中数学第一章预备知识测评试题北师大版必修第一册

第一章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.命题“VaWx”的否定是（）

A.Va>xB.V解N+,a>x

C.3x£N+,a>xD.3解N+,a>x

2.已知t=a+\b,s=a+lj掰,贝lj2和s的大小关系是（）

A.t>sB.方，s

C.t<sD.tWs

3.（2022河北邢台期末）设集合炉{了/9-3芯0},g则〃n/H）

A.x|0<x<|^B.[T||<X3

C.{x/3Wx<4}D.{x/0Wx<4}

4.若关于x的不等式aV+bx+cX的解集为{x/-lG<2},则能使不等式a（f月）历（xT）七<2ax成立

的x的集合为（）

A.{x/oa<3}

B.{x/x<0,或x>3}

C.{x/x>3}

D.{X/-2<Y<1}

5.命题“VX£{X/1WXW3},有V-aWO”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a29

B.a28

C.心10

D.W10

6.（2022黑龙江哈尔滨道里期末）若AO且则下列结论正确的是（）

A.V%+近的最大值是四

B.盯的最小值是:

C.X。产的最小值是2

D.-+工的最小值是4V2

xy

7.（2022河南焦作期末）已知a,b为正实数,且abT（a历）+84）,则ab的取值范围是（）

A.[2,4]

B.（0,2]U[4,公）

C.[4,16]

D.（0,4]U[16,+吟

8.已知非空集合A,6满足以下两个条件：

⑴/U8={1,2,3,4,5,;

（2）/的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素，

则有序集合对（4面的个数为（）

A.10B.12

C.14D.16

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.对于任意实数a,6,c,4有以下四个命题，其中为真命题的是（）

A.若a〉b,c〉d,贝!]ac〉bd

B.若ac>bc,贝!Ja〉b

C.若a>b,则—<-

ab

D.若a>b,c〉d,贝!]a-d>b-c

10.下列结论正确的是（）

A.“盯人”是咤刀”的充要条件

y

B.VPT9+彳祟的最小值为2

C.命题“Vx~-xX)”的否定是T^l,f-xWO”

D.“一元二次函数尸ax?历x+c的图象过点（1,0）”是“a+b+c由”的充要条件

11.若“9代矛/<0”是“"1k峪x+货埒k*'的充分不必要条件，则实数次可以是（）

A.-8B.-5C.1D.4

12.当一个非空数集G满足“任意a,beG,则a+b,a-b,abRG,且后0时,折G”时,我们称G就是一

b

个数域.以下关于数域的说法,其中正确的是（）

A.0是任何数域的元素

B.若数域G有非零元素,则2022eG

C.集合P={x/x=2k,AdZ}是一个数域

D.任何一个数域的元素个数必为奇数

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.若集合/={T,1},6={0,2},则集合{z/z=xtr,x^A,ye3中的元素个数为.

14.若集合A={x/x+px+q=Q},B={x/x-x+r=Qi},AAB={-1},/U8={-1,2},则

r=,p+q=.

15.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24000元,为了减小耕地损失，决定按耕地价格的艰

征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少|力万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年

不少于9000万元，方变动的范围是.

16.已知x>0,y>0,求z=（x*/2y）（己+士）的最值.

Xy

甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：

甲：z=（x+2近色+3走+?+8》18,

xyyx

乙:z=（x*2力（2+3）22j2%y•2叵=16.

v

xyAIxy

⑦你认为甲、乙两人解法正确的是.

②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确:—.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）若bc-ad^0,bd内,求证—<-—.

bd

18.（12分）（2022四川资阳高一期末）已知全集〃黑集合/={x/aGWa+2,a£R},B={x/-1<x<i].

⑴若a=l,求（[/）G8;

⑵若AUB二B,求实数a的取值范围.

19.（12分）请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在

下面问题中，并解答.

已知集合A={x/x-4xT2W0},

B-{x/x-2x+\~mWO,/X）}.

若xd/是成立的,判断实数0是否存在?若实数©存在,求出⑷的取值范围;若不

存在，说明理由.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

20.(12分)已知关于x的不等式V-ax~2x+bQ.

(1)若此不等式的解集为(-1,2),求a,6的值；

(2)若63a,求该不等式的解集.

21.(12分)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,

在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1心005x)倍.现将在A生

产线少投资的x万元全部投入6生产线,且每万元创造的利润为1.5(aV.013x)万元,其中aX).

(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;

(2)若6生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.

22.(12分)已知函数y=x-2ax-1+a,adR.

(1)若aN,试求函数4x>0)的最小值；

X

(2)对于任意的xd[0,2],不等式成立,试求a的取值范围.

第一章测评

l.C

2.Dt-sAb-B"二一(6—2)240,故t&s.

3.B因为JHx/V-3xW0}={x/0Wx<3},),所以〃n牙卜<5<3}.

4.B*.*不等式ax+bx+cX)的解集为{x/-l<x<2],

-1和2是方程ax+bx+c$的两根且a<0,

hr

-=T也=1,---2,b=-ac=-2a,

aaf

由a{x+1)历(xT)+c<2ax,

得a(x~+l)-a(xT)-2a<2ax,

得ax-3ax<0,

Va<0,：.x-3xX),：.x<0或x,3,

不等式a(x+1)+c<2ax的解集为{x/x<0,或x>3}.

5.C当该命题是真命题时,只需当1WW3时,a》02)max.因为1W短3时,的最大值是9,所

以a29.

因为a》9推不出a》10,a210naN9,所以C符合要求.A为充要条件,B为必要不充分条件,D为既

不充分也不必要条件.

6.A由基本不等式得到W(?)2三,当且仅当为可』时，等号成立，故灯有最大值;，故B错误；

2424

•.•(7^+/7)2=£"+2，耳=1+2，不忘1+2><、£之，.・.«+后的最大值是证,故A正确；

x+y=^x+y)2-2xp=l-2盯21-2x]=

•…旷有最小值玄故C错误；

V-+i=(-+i)(广力=3电+工，32/^,当且仅当空=々即x畛F,y=^-\时，等号成立，

xyxyxyxy

：.-+上有最小值32/1,故D错误.

xy

7.D因为a,6为正实数,则O=abT,(a+扮馈埒,当且仅当a=bBt,等号成立，即(V^-

2)(而⑷20,所以0"高/2或VHFN4,所以0Q6W4或a6216,故ab的取值范围是(0,4]U

[16,+°°).

故选D.

8.A根据条件,A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素.可知

(1)当集合A只有1个元素时,集合方中有5个元素,且540此时仅有一种结果

/={5},6二{1,2,3,4,6};

⑵当集合A有2个元素时,集合6中有4个元素,24且4庄及此时集合力中必有1个元素为4,集合

5中必有1个元素为2,故有如下可能结果：

①力={1,4},B={2,3,5,6};②/={3,4},6={1,2,5,6};③4={5,4},以1,2,3,6};@

4={6*4},6={1,2,3,5}.共计4种可能；

(3)当集合A中有3个元素时,集合6中有3个元素,3(4不符合条件；

(4)当集合/中有4个元素时,集合6中有2个元素，此情况与情况(2)相同，只需A,夕互换即可,共

计4种可能；

(5)当集合A中有5个元素时,集合6中有1个元素，此情况与情况(1)相同，只需48互换即可,共

计1种可能.

综上所述,有序集合对(4面的个数为10.

9.BDA选项：-3〉-5,1，",但是TXIC5X(⑷，A不正确;B选项：因为ac”6c?成立,则cX),那么

a>b,B正确;C选项:2,-3,但是》gC不正确;D选项：因为c>d,所以-c<-d,又a>b,所以a-d〉b-c,D

正确.

10.AD0力彦为，故A正确；

y

尸\1万2+9+-7==,令Z久2+923,

则y=味,且在区间[3,2)上,函数值y随自变量x的增大而增大,最小值为3号=?故B错误；

命题“Vx>\,x-x^''的否定是K0"，故C错误；

一元二次函数y=ax+bx+c的图象过点(1,0)显然有a+b+c=Q,反之亦可,故D正确.

11.ACD由三乃k46,解得-4。<1,

令A={x/.

三-(2公3)x+必埒k为即(才-4)卜-(左⑼]>0,解得x〈k,或x>k-R,令B={x/x<k,或城3}.

由题意知/呈旦所以A21或A+3W-4,

即kG(-°°,-7]U[1,+吟.

12.ABD当a=b时，由数域的定义可知,若a,bGG,则有a-bGG,即0£G,故A正确；

当a=6W0时，由数域的定义可知,则有三£G,即若则1+1与£&则1+2=3£&…,

则l+2021-2022GG,故B正确；

当a2b工时,三=#G,故C不正确；

由0GG,当6CG且6W0时,则-6GG,因此只要这个数不为0,就一定成对出现,所以数域的元素个

数必为奇数，所以D正确.

13.3A={T,1},为{0,2},

,/A,yGB,：.xA或x=-l,y=Q或y=2,

则zj+y的值可能是T,1,3.

故答案为3.

14._23由力CB-{_1},知-1eB,

(-l)2-(-D+r$,解得片-2,

'.B={x/x-x-2=Q}={T,2},

又/U片{-1,2},/C炉{T},

：.A^[x/x+px+q=Q}={T},即方程/+px+qq有两个相同的实数根T,

A=p-4<7=0,J=L(-l)2+p(-l)+q=Q,

解得p=2,g=l.所以p+q3.

15.[3,5]由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20-|J万亩,则税收收入为(20-|JX

24000Xi%.由题意(20,JX24000Xi%^9000,整理得「-8t+15W0,解得3W%W5.

当耕地占用税率为3%与%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元.

.♦"的范围是[3,5].

16.①甲

②答案不唯一，合理即可.

如：已知aA),Z?A),求z=(a+6)(工+R的最小值.

ab

甲：z=1a+6)(工+工)=1心+-+\》4,

abab

乙:z=(a+H)(工+工)22VHF•2I-•-=\.

abab

证明：、①，：.

17..bc—ad^Gbdbc>adb,d—A),

・

:bc,—bd^ad*—bd,BPd->bdb

.c+da+ba^a+bc+d

dbbd

18.解⑴当a=l时,集合A=[x/\<rW3},B={x/-1<x<3}.I.={x/xWl或x>3},故([/)G庐{x/T<x

WD.

(2)-：AUB=B,：.AQB,：.[aJ解得-1Wad

・,・实数3的取值范围是[T,D.

19.解由/Yx-12W0得-2WxW6,

故集合/={x/-2W^6},

由3-2才+1-/4得Xi=l-m,X2-I+m,

因为加X),故集合层{x/1-zzzWxWl切?,症0}.

若选择条件①,即是8成立的充分不必要条件,则集合A是集合方的真子集,

则有{和或小：：＞2入解得心5,

所以,实数勿的取值范围是[5,+2.

若选择条件②,即正力是正6成立的必要不充分条件,则集合6是集合A的真子集,

(1-m>-2,1-m>-2,

则有+m<6,或1+m<6,

(m>0m>0,

解得0«zW3,所以实数m的取值范围是(0,3].

若选择条件③,即xe/是成立的充要条件,则集合/等于集合6则有方程组无解,

所以不存在满足条件的实数m.

20.解(1)由不等式的解集为(T,2),

可知方程x-ax-2x+b^)的两根为T和2,

得｛忆21聂+2,解得L

(2)若b=2a,原不等式可化为/-(a+2)^r+2a<0;

因此(x-a)(x-2)<0