专题21排队问题(原卷版+解析)

专题21排队问题例1．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？例2．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？例3．现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求：（1）甲、乙不能相邻；（2）甲、乙相邻且都不站在两端；（3）甲、乙之间仅相隔1人；（4）按高个子站中间，两侧依次变矮（五人个子各不相同）的顺序排列.例4．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？（6）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？例5．在班级活动中，4

名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）例6．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；（4）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法；（5）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到低（3人身高不同）的站法；（6）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法.例7．7人排成一排，按以下要求分别有多少种排法？(1)甲、乙两人排在一起；(2)甲不在左端、乙不在右端；(3)甲、乙、丙三人中恰好有两人排在一起.（答题要求：先列式，后计算）例8．有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，男生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．例9．名同学，其中名男同学，名女同学：（1）站成一排，共有多少种不同的排法？（2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？（3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？（4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多少种不同的排法？（6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（7）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？（8）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？（9）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起.（10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？（12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？（13）站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？（14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？（15）名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？例10．现有8个人男3女）站成一排.(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？例11．有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少种不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？例12．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．例13．从等7人中选5人排成一排（以下问题均用数字作答）(1)若必须在内，有多少种排法？(2)若三人不全在内，有多少种排法？(3)若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？例14．1.有4个男生，3个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？(1)7个人排成一列，4个男生必须连排在一起；(2)7个人排成一列，3个女生中任何两个均不能排在一起；(3)7个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；(4)7个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻.例15．有5个身高均不相等的学生要排成一排合影留念，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法共有多少种？例16．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有多少种？例17．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学站在中间三个位置上，有多少种不同的排法？(2)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(3)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按从高到低的顺序排，有多少种不同的排法？(4)甲、乙相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？例18．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？（1）7人站成一排，要求最高的站在正中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；（2）任选6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．例19．7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（1）2名女同学必须相邻而站；（2）4名男同学互不相邻；（3）若4名男同学身高都不相等，按从高到低或从低到高的顺序站；（4）老师不站正中间，女同学不站两端.例20．4名学生和3名教师站成一排照相，问：（1）中间三个位置排教师，有多少种排法？（2）一边是教师，另一边是学生的排法有多少种？（3）首尾不排教师有多少种排法？（4）任意2名教师不能相邻的排法有多少种？（请同学从4问中任选3问作答，如果都作，视为前3问，请列出必要解题过程，结果保留数字）例21．3个女生和5个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果甲必须排在乙的右面（可以不相邻），有多少种不同的排法？专题21排队问题例1．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？答案:(1)720(2)1440(3)144(4)960(5)840解析：分析：小问1：我们可视排好的女同学为一整体有种排法，再与男同学排队即可；小问2：先将男同学排好，共有种排法，再利用插空法即可；小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．(1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共有（种）不同的排法；(2)先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．故总共有（种）不同的排法；(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．例2．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？答案:（1）1440；（2）3720；（3）840；（4）432.解析：分析：（1）用插空法分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算即可；（2）分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算即可；（3）首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有A33种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析即可．（4）首先将4名男生和3名女生中各选出2人，然后4人分四个不同角色全排列即可.【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①将4名男生全排列，有种情况，排好后有5个空位.②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则三名女生不能相邻的排法有种；（2）根据题意，分2种情况讨论：①女生甲站在右端，其余6人全排列，有种情况，②女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有种站法，则此时有种站法，则一共有种站法；（3）根据题意，首先把7名同学全排列，共有种结果，甲乙丙三人内部的排列共有种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有；（4）根据题意，首先将4名男生和3名女生中各选出2人，有种情况，其次4人分四个不同角色，有种情况，共有种选派方法.【点睛】本题主要考查排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.例3．现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求：（1）甲、乙不能相邻；（2）甲、乙相邻且都不站在两端；（3）甲、乙之间仅相隔1人；（4）按高个子站中间，两侧依次变矮（五人个子各不相同）的顺序排列.答案:（1）（2）（3）（4）解析：分析：(1)不相邻问题用“插空法”，再结合排列及计数原理知识即可求解；(2)相邻问题用“捆绑法”，再结合排列及计数原理知识即可求解；(3)特殊情况优先安排，再结合排列组合及计数原理知识即可求解；(4)按个子排序，即有顺序的情况，由组合及计数原理知识即可求解.【详解】解：（1）先将除甲、乙外三人全排列，有种；再将甲、乙插入个空档中的个，有种，由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为种；（2）将甲、乙两人“捆绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有种；再将其余人全排列有种，故共有种不同排法；（3）先从另外三人中选一插在甲乙之间，则甲、乙之间仅相隔人共有种不同排法；（4）按高个子站中间,两侧依次变矮(五人个子各不相同)的顺序排列共有种不同的排法.【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.例4．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？（6）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？答案:（1）；（2）；（3）；（4）840；（5）；（6）.解析：分析：（1）根据题意，用插空法分2步进行分析，再由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，用捆绑法分2步进行分析，再由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：①：女生甲站在右端，②：女生甲不站在右端，再由加法原理计算可得答案；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有A33种结果，要使甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，再由倍分法分析可得答案．（5）根据题意，分2步进行分析：①，在4名男生中选取2名男生，3名女生中选取2名女生，②，将选出的4人全排列，再由分步计数原理计算可得答案；（6）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，排好后有5个空位，②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，再由分步计数原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，排好后有5个空位，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53＝60种情况，则三名女生不能相邻的排法有A44×A53＝24×60＝1440种；（2）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有A44＝24种情况，②，将这个整体与三名女生全排列，有A44＝24种情况，则四名男生相邻的排法有A44×A44＝24×24＝576种；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720种情况，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120种站法，则此时有5×5×120＝3000种站法，则一共有A66+5×5×A55＝720+3000＝3720种站法；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有A77种结果，甲乙丙三人内部的排列共有A33＝6种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有840种．（5）根据题意，分2步进行分析：①，在4名男生中选取2名男生，3名女生中选取2名女生，有C42C32种选取方法，②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A44种情况，则有种不同的安排方法；（6）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个男生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44种情况，排好后有5个空位，②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有A52种情况，则有种排法．【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分类、分步计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素这一特殊问题的处理方法．例5．在班级活动中，4

名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）答案:（1）1440（2）576（3）3720（4）840解析：分析：（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，用捆绑法分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，②，将这个整体与三名女生全排列，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算可得答案；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有A33种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析可得答案．【详解】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，排好后有5个空位，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53＝60种情况，则三名女生不能相邻的排法有24×60＝1440种；（2）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有A44＝24种情况，②，将这个整体与三名女生全排列，有A44＝24种情况，则四名男生相邻的排法有24×24＝576种；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720种情况，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120种站法，则此时有5×5×120＝3000种站法，则一共有720+3000＝3720种站法；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有A77种结果，甲乙丙三人内部的排列共有A33＝6种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有840种．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.例6．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；（4）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法；（5）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到低（3人身高不同）的站法；（6）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法.答案:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解析：【详解】试题分析：（1）捆绑法，甲乙二人互换种，将甲乙当一个人与其他人全排；（2）捆绑法，先从甲、乙以外的人中任选人站在甲、乙之间，有种站法，再将甲、乙及中间二人共人看作一个整体参加全排列，有种站法，最后甲、乙进行局部排列，有种站法.根据分步乘法计数原理，知共有种不同站法；（3）将个人分三次插入，第一个人有种插法，第二个人有种插法，第三个人有种插法，根据分步乘法计数原理，知共有种不同站法；（4）分步计数,从人中任取人,有种方法，如,,,则改变原位置站法有种,,,和,,，故共有种不同的站法；（5）先将人全排，除去甲、乙、丙人的顺序数的排列，故有种站法；（6）固定模型,甲、乙互换有种，甲、乙两人坐法有种，故共有种不同的坐法.试题解析：（1）（捆绑法）（2）（捆绑法）（3）（插空法）（4）（分步计数,从7人中任取3人,如a,b,c,则改变原位置站法有2种,b,c,a和c,a,b）（5）（等可能）（6）6×（固定模型,甲、乙两人坐法有（2,4）（2,5）（2,6）（3,5）（3,6）（4,6）6种）考点：排列组合.例7．7人排成一排，按以下要求分别有多少种排法？(1)甲、乙两人排在一起；(2)甲不在左端、乙不在右端；(3)甲、乙、丙三人中恰好有两人排在一起.（答题要求：先列式，后计算）答案:解析：分析：(1)用捆绑法，先将甲乙捆绑在一起，与其他5人全排列；(2)用间接法，先7人全排列，再减去甲在最左端和乙在最右端的排法，其中甲在最左端和乙在最右端的排法中都有甲在最左端且乙在最右端的排法，所以多减了一次甲在最左端且乙在最右端的排法应再加上即可；(3)先从甲、乙、丙三人中选两人捆绑一起，这样甲、乙、丙三人就可看作两个部分，将剩下的4人全排列，这4个人之间和两端有5个位置，用插空法在这5个位置中选2个位置插入分好甲乙丙.【详解】(1)由于甲、乙两人排在一起，可以看成一个整体，这样同其他5个人合在一起有6个元素，有种排法，而其中每一种排法中，甲、乙两人又有种排法，因此共有种不同排法．(2)7个人全排，共种，其中，不合条件的有甲在最左端时，有种，乙在最右端时，有种，其中都包含了甲在最左端，同时乙在最右端的情形，有种，因此共有种不同排法.(3)由于甲、乙、丙三人中恰好有两人排在一起，所以先选2人看成一个整体，有种选法，排法有种.剩下的4人，共种排法，这4个人之间和两端有5个位置，从中选取2个位置排甲、乙、丙，有种排法，因此共有种排法.【点睛】求解排列应用题的主要方法：(1)直接法；(2)优先法；(3)捆绑法；(4)插空法；(5)先整体后局部；(6)定序问题除法处理；(7)间接法．例8．有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，男生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．答案:(1)2520；(2)1440；(3)3600；(4)3720；(5)840；(6)720；(7)960；(8)240.解析：分析：(1)利用部分排列即可求解；(2)因为男生互不相邻，故使用插空法求解即可；(3)特殊元素或位置优先排列的方法求解；(4)分类别排列或用全排列数减去不符合题意的排列数即可；(5)利用排列消序即可求解；(6)特殊元素优先排列结合剩余人全排列即可；(7)插空法结合捆绑法即可；(8)捆绑法并结合排列消序即可求解.【详解】(1)从7人中选5人排列，不同的排法种数为．(2)先排女生，有种排法，再在女生之间及两端的5个空位中任选3个空位排男生，有种排法，故不同的排法种数为．(3)方法一：先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故不同的排法种数为．方法二：左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故不同的排法种数为．(4)方法一：分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端的位置后剩下的5个中任选一个，有种排法，而乙可排在除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个中任选一个，有种排法，其余人全排列，有种排法，故不同的排法种数为．方法二：7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故不同的排法种数为．(5)7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故不同的排法种数为．(6)首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作剩余6人的全排列，故不同的排法种数为．(7)先排出甲、乙、丙3人外的4人，有种排法，由于甲、乙相邻故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法，故不同的排法种数为．(8)将甲、乙看作一个整体，相当于6名学生坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故不同的排法种数为．例9．名同学，其中名男同学，名女同学：（1）站成一排，共有多少种不同的排法？（2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？（3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？（4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多少种不同的排法？（6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（7）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？（8）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？（9）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起.（10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？（12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？（13）站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？（14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？（15）名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？答案:（1）5040；（2）5040；（3）144；（4）720；（5）720；（6）240；（7）2400；（8）1440；（9）288；（10）960；（11）3600；（12）1440；（13）144；（14）2520；（15）720.解析：（1）根据全排列公式即可计算；（2）根据分步计数原理即可列式求出；（3）根据分步计数原理，得出可求出；（4）将剩下6人排列即可；（5）先把甲放在中间排的中间位置，剩下6人全排列即可；（6）先排甲乙，再排剩下5人，根据分布计数原理即可求解；（7）先选2人在排头排尾，再排剩下5人，利用分布计数原理即可求解；（8）先将甲乙看作一个元素，再和其余5人一起排列；（9）分别把男同学和女同学“捆绑”排列即可求出；（10）可列式求解；（11）可利用排除法求解；（12）可以插空法求解；（13）先排女同学，有4个空，将男同学排入这4个空中即可；（14）可知甲必要站在乙的前面是总数的；（15）任意固定一名同学，将剩下的6人全排列即可.【详解】（1）问题可以看作个元素的全排列，故有种排列方法.（2）根据分步计数原理，共有种排列方法.（3）根据分步计数原理，共有种排列方法.（4）首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列，共有种排列方法.（5）首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列，共有种排列方法.（6）第一步甲、乙站在两端有种，第二步余下的名同学进行全排列有种，∴共有种排列方法.（7）第一步从(除去甲、乙)其余的名同学中选名同学站在排头和排尾有种方法，第二步从余下的名同学中选名进行排列(全排列)有种方法，∴一共有种排列方法；（8）先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法，再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法，∴这样的排法一共有种方法.（9）先将名女同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，再将名男同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，这时一共有个整合的后元素，有种情况，∴一共有排法种数：(种).（10）将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，∵丙不能站在排头和排尾，∴可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，有种方法，将剩下的个元素进行全排列有种方法，最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法，∴这样的排法一共有种方法.（11）(排除法)七名同学全排，有种可能，甲、乙两名同学相邻，有种可能，则甲、乙两名同学不能相邻有种方法.（12）先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法，∴一共有种.（13）先将名女同学排好有种方法，此时她们留下四个“空”，再将名男同学分别插入这四个“空”有种方法，∴一共有种.（14）先将名同学全排有种方法，再将甲、乙两名同学全排有种方法，∵甲必要站在乙的前面，∴只需要总数的种方法，∴一共有种.（15）把任意一名同学固定在任意一个位置，再把其他名同学往其他位置里全排，有种方法，则一共有种方法.【点睛】本题考查排列排列的应用，常用的方法有捆绑法、插空法、隔板法、排除法.例10．现有8个人男3女）站成一排.(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)解析：分析：（1）利用捆绑法，然后将内部和整体全排列即可；（2）直接将剩下的7人全排列即可；（3）先安排甲乙，然后将剩下的人全排列即可；（4）先将出甲乙之外的6人全排列，然后将甲乙插入即可；（5）直接全排列，然后除二即可；（6）先将出甲乙丙之外的5人全排列，然后插入甲乙丙即可；（7）将3名女生和5名男生分别看成一个整体，然后对内部和整体全排列即可；（8）先在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，剩下的人全排列即可；（9）先将甲乙两人安排在后面的5个位置，剩下的人全排列即可；（10）将5名男生全排列，然后将女生插入空隙即可.(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；(2)根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，则甲必须站在排头有种排法；(3)根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则甲、乙两人不能排在两端有种排法；(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，则甲、乙两人不相邻有种排法；(5)根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有种不同的排法；(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；(7)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，将男生、女生整体全排列，有种情况，则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；(8)根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则第3和第6个排男生，有种不同排法；(9)根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，甲乙不能排在前3位，有种不同排法；(10)根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则女生两旁必须有男生，有种不同排法.例11．有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少种不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？答案:(1)(2)(3)解析：分析：（1）前排选3人任意排，后排4人任意排，根据分步计数原理可得．（2）首先从其余5人中选出2人与甲、乙排在第二排，再将其余3人排在第一排，按照分步乘法计数原理计算可得；（3）先将甲、乙安排在除每排的两端外的三个位置中的两个位置，再将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得；(1)解：排成两排就座，第一排3人，第二排4人，有种方法．(2)解：若甲和乙都在第二排，先从其余5人中选出2人有种选法，将这两人与甲、乙排在第二排，再将其余3人排在第一排，故一共有种排法；(3)解：如甲和乙不能坐在每排的两端，则先将甲、乙安排在除每排的两端外的三个位置中的两个位置，再将其余人全排列即可，故一共有种排法；例12．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．答案:(1)2520(2)5040(3)288(4)1440解析：分析：（1）从7人中任选5人进行全排列即可，（2）由题意可知相当于排成一排的全排列，（3）利用捆绑法求解即可，（4）利用插空法求解即可(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有＝2520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有＝5040种排法(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有种排法，故N＝＝1440(种)．例13．从等7人中选5人排成一排（以下问题均用数字作答）(1)若必须在内，有多少种排法？(2)若三人不全在内，有多少种排法？(3)若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？答案:(1)1800；(2)1800；(3)144.解析：分析：（1）直接利用排列组合知识解答；（2）利用间接法求解；（3）利用捆绑法和插空法求解.(1)解：必须在内,需要选择另外4个人，有种方法，再全排列，所以,所以有1800种排法.(2)解：若三人全在内，则有从等7人中选5人排成一排有,所以若三人不全在内，则有种排法.(3)解：若都在内，先选2个人有种方法，必须相邻，捆绑有种方法，与都不相邻，有种方法，所以共有种排法.例14．1.有4个男生，3个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？(1)7个人排成一列，4个男生必须连排在一起；(2)7个人排成一列，3个女生中任何两个均不能排在一起；(3)7个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；(4)7个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻.答案:(1)576(2)1440(3)840(4)264解析：分析：（1）将4个男生看作一个整体，先进行内部的全排列，进而看作一个元素再与剩下的女生进行全排列；（2）先排4个男生，然后将3个女生插入5个空位，最后得到答案；（3）先将7人进行全排列，进而考虑甲乙丙的顺序不能交换的情况，运用“倍缩法”求得答案；（4）先将男女生分别进行全排列，再减去男甲与女乙相邻的情况.(1)不妨先将4个男生看作一个整体，有种排法，连同三个女生共4个元素进行排列，有种排法，共有＝576（种）.(2)先排男生，有种排法，再在他们之间和左右两端共5个空位中插入3个女生，有种排法，故共有＝1440（种）.(3)先不考虑三人的顺序，任意排列有种，其中每种有且只有1种符合甲、乙、丙三人顺序一定，∴共有（种）.(4)先将男生和女生看作两个整体，男生、女生分别全排列，有种排法，再考虑男甲与女乙相邻，有种，故有（种）.例15．有5个身高均不相等的学生要排成一排合影留念，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法共有多少种？答案:6解析：分析：根据题意，要求个子最高的在中间，由排列公式易得剩余四人的全排列数，再按照定序问题用倍分法，计算可得答案．【详解】根据题意，要求个子最高的在中间，将剩余的四人安排在其他四个位置，有种情况，在高个子左边的两个人有2种情况，按从中间到左边一个比一个矮的顺序只有1种，占左边全部情况的，同理，在高个子右边的两个人从中间到右边一个比一个矮的顺序只有1种，占右边全部情况的，则符合条件的排法有种.例16．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有多少种？答案:解析：分析：根据题意分为两种情况：新来的2位同学，插入两个空隙中，新来的2位同学，相邻插入1个空隙中，结合排列数的公式，即可求解.【详解】由题意，4位同学排成一排准备照相时，形成了5个空隙，又来了2位同学要加入，保持原来4位同学的相对顺序不变，分为两种情况：①新来的2位同学，插入两个空隙中，有种不同的方法；②新来的2位同学，相邻插入1个空隙中，有种不同的方法，由分类计数原理，可得共有种不同的方法.例17．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学站在中间三个位置上，有多少种不同的排法？(2)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(3)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按从高到低的顺序排，有多少种不同的排法？(4)甲、乙相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？答案:(1)144；(2)720；(3)840；(4)960.解析：分析：(1)分别对男生和女生进行全排列，再按照分步乘法原理即可求解.(2)利用捆绑法即可求解.(3)排列好男生，再对女生进行排列即可.(4)首先对除甲乙丙外的4人进行排列，甲乙进行捆绑并排列且作为一个单位与丙一起使用插空法即可求解.【详解】(1)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有(种)；(2)3个女同学相邻时，共有种排法，将排好的3个女同学视为一个整体，再与4个男同学排成一排，有种排法，由分步乘法计数原理，知不同的排法有(种)；(3)先从7个位置中选出4个位置把男同学排好，有种排法，再在余下的3个位置中排女同学，由于女同学从左到右按从高到低的顺序排，故仅有1种排法，故不同的排法共有(种)；(4)先排除甲、乙、丙3人外的4人，有种排法，由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两头的5个空隙中，有种排法．故不同的排法共有(种)．例18．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？（1）7人站成一排，要求最高的站在正中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；（2）任选6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．答案:（1）20；（2）630.解析：分析：(1)从余下6人中任取3人按高矮次序站在最高者一边，