2024年高中数学专题8-3重难点题型培优精讲一元线性回归模型及其应用学生版新人教A版选择性必修第三册

专题8.3一元线性回来模型及其应用1．一元线性回来模型把式子为Y关于x的一元线性回来模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或说明变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.2．线性阅历回来方程与最小二乘法设满足一元线性回来模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+(i=1，2，，n)，得|-(+a)|=||，明显||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.

通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”.当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的阅历回来方程，也称阅历回来函数或阅历回来公式，其图形称为阅历回来直线.这种求阅历回来方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.

阅历回来直线确定过点(,).3．残差分析对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过阅历回来方程得到的称为预料值，观测值减去预料值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以推断模型刻画数据的效果，以及推断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.4．刻画回来效果的方式(1)残差图法

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.在残差图中，残差点比较匀整地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.

(2)残差平方和法

残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.

(3)利用刻画拟合效果

=.

越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差.(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：（其中，，，和，，，的均值分别为和）.①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.

②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.【题型1一元线性回来模型】【方法点拨】依据一元线性回来模型的定义，结合具体题目条件，进行求解即可.【例1】（2024·高二单元测试）依据如下样本数据，得到线性回来方程为Y=nX+m，若样本点的中心x,y为5,0.9，则当X34567Y4.0m-0.50.5nA．增加1.4个单位 B．削减1.4个单位 C．增加7.9个单位 D．削减7.9个单位【变式1-1】（2024春·黑龙江大庆·高二期末）给出下列说法中错误的是（

）A．回来直线y=bB．两个变量相关性越强，则相关系数|rC．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变D．在回来直线方程y=2-0.5x中，当变量【变式1-2】（2024春·河南南阳·高二期中）已知变量x和y的回来直线方程为y=0.2021x+0.202，变量y与zA．x与y正相关，x与z正相关 B．x与y正相关，x与z负相关C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关【变式1-3】（2024春·陕西渭南·高一期末）依据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到线性回来方程为y=bx+A．a>0,b>0 B．a>0,【题型2残差的计算】【方法点拨】依据题目条件，得出阅历回来方程，再进行残差的计算.【例2】（2024春·湖北·高二期末）某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从视察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：第x天1234567高度y/cm1469111213由表格中数据可得y关于x的阅历回来方程为y=2.04x+A．1.12 B．2.12 C．-1.12 D．【变式2-1】（2024春·河南开封·高三开学考试）某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1234567在线外卖规模y（百万元）111318★28★35其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回来直线方程y=bx+a来拟合预料，且7月相应于点7,35的残差为-A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0【变式2-2】（2024春·河南许昌·高二期末）为探讨变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点（x，y）：x5.56.577.58.5y98643若由最小二乘法求得y关于x的回来直线方程为y=-1.8【变式2-3】（2024春·江苏宿迁·高二阶段练习）在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4m81012y12356由表中数据求得y关于x的回来方程为y=0.65x-1.8，则4,1，m,2A．4,1 B．m,2 C．8,3 D．4,1和【题型3刻画回来效果的方式】【方法点拨】依据刻画回来效果的三种方式，结合具体题目条件，选取适当的方式来刻画模型的拟合效果，即可得解.【例3】（2024秋·宁夏银川·高三开学考试）下列说法正确的个数是（

）(1)在做回来分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回来效果越差(2)某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学(3)回来分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好(4)在回来直线方程y=0.1A．2 B．3 C．4 D．1【变式3-1】（2024春·山东菏泽·高二期末）关于线性回来的描述，下列命题错误的是（

）A．回来直线确定经过样本点的中心 B．残差平方和越小，拟合效果越好C．确定系数R2越接近1，拟合效果越好 D．残差平方和越小，确定系数R【变式3-2】（2024秋·广东广州·高三阶段练习）对两个变量y和x进行回来分析，得到一组样本数据x1,y1，x2A．若变量y和x之间的相关系数为r=-0.9462，则变量yB．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用确定系数R2来刻画回来效果，RD．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回来方程的预报精确度越高【变式3-3】（2024春·甘肃天水·高二阶段练习）关于线性回来的描述，有下列命题：①回来直线确定经过样本中心点；②相关系数r的确定值越大，拟合效果越好；③相关指数R2④残差平方和越小，拟合效果越好.其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【题型4代入法求线性阅历回来方程】【方法点拨】阅历回来直线确定经过样本点的中心(,)，求出样本点的中心后代入线性回来方程求解相应字母.【例4】（2024秋·四川广安·高二阶段练习）已知两个变量x和y之间存在线性相关关系，某爱好小组收集了一组x，y的样本数据如下表所示：x12345y0.50.611.41.5依据表中数据利用最小二乘法得到的回来方程是（

）A．y=0.21xC．y=0.28x【变式4-1】（2024秋·陕西榆林·高二期中）已知x，y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若y与x线性相关，且y=0.95x+a，则A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6【变式4-2】（2024秋·河南焦作·高二期末）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）3456销售额y（万元）25304045依据如表可得回来方程y=bx+a【变式4-3】（2024秋·四川宜宾·高二期末）某小区流感大爆发，当地医疗机构运用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y关于x的线性阅历回来方程为y=36x-周数（x）12345治愈人数（y）51535？140A．106 B．105 C．104 D．103【题型5阅历回来模型的应用】【方法点拨】(1)确定探讨对象，明确哪个变量是说明变量，哪个变量是响应变量；(2)画出说明变量和响应变量的散点图，视察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)确定阅历回来方程的类型(如我们视察到数据呈线性关系，则选用线性阅历回来方程)；(4)按确定规则(如最小二乘法)估计阅历回来方程中的参数；(5)得出结果后分析残差图是否有异样(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.【例5】（2024秋·四川雅安·高二期末）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表．商店名称ABCDE销售额x（千万元）35679利润额y（千万元）23345(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回来直线方程．（参考公式b=i=1n(2)若该公司支配再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额须要达到多少?【变式5-1】（2024·全国·模拟预料）目前手机已经成为人们生活中的必需品，国内市场已经进入成熟期，下表是2016—2025年某市手机总体出货量（单位：万部）统计表．年份2016年2017年2024年2024年2024年2024年年份代码x123456手机总体出货量y/万部5.64.94.13.93.23.5(1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回来模型拟合，求y关于x的线性回来方程（系数精确到0.01）；(2)预料2024年该市手机总体出货量．附：线性回来方程y=a+bx【变式5-2】（2024秋·四川成都·高二期末）某工厂统计2024年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：销售网点数x（单位：个）1719202123售卖出的产品件数y（单位：万件）2122252730假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，(1)求2024年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个）的线性回来方程；(2)依据（1）中求出的线性回来方程，预料2024年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.参考公式：b=i=1n【变式5-3】（2024·山东·模拟预料）我国5G技术给直播行业带来了很多发展空间，加上受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐，某商场统计了2024年1~5月某商品的线上月销售量y（单位：千件）与售价x月份12345售价x（元/件）6056585754月销售量y（千件）597109(1)求相关系数r，并说明是否可以用线性回来模型拟合y与x的关系（当|r(2)建立y关于x的线性回来方程，并估计当售价为55元/件时，该商品的线上月销售量估计为多少千件？(3)若每件商品的购进价格为(0.5x参考公式：对于一组数据xi,yi(i=1,2,3,⋯,【题型6非线性阅历回来方程的求法】【方法点拨】(1)作散点图确定曲线模型：曲线所对应的函数种类繁多，这就要求我们充分想象，大胆揣测拟合函数类型，粗略估计运用哪个函数拟合.(2)非线性转化为线性：先通过适当变换化非线性关系为线性关系，然后依据线性检验回来方程的求解步骤进行求解.(3)分析模型的拟合效果，得出结论.【例6】（2024·陕西西安·统考一模）为了探讨某种细菌随天数x变更的繁殖个数y，收集数据如下：天数x123456繁殖个数y36132545100(1)推断y=bx+a（a,b为常数）与y=c(2)对于非线性回来方程y=c1ec2x（c1,xyzi=1i=1i=13.50322.8517.530712.12（ⅰ）证明：对于非线性回来方程y=c1ec2x，令z（ⅱ）依据（ⅰ）的推断结果及表中数据，建立y关于x的回来方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据u1,v1,【变式6-1】（2024·云南·高三阶段练习）近年来，云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国石斛之乡”的发展定位，大力发展石斛产业，该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富．2024年8月，龙陵紫皮石斛获国家地理标记运用促进工程重点项目，并被评为优秀等次．在政府的大力扶持下，龙陵紫皮石斛产量逐年增长，2017年底到2024年底龙陵县石斛产量统计如下及散点图如图．年份201720242024202420242024年份代码x123456紫皮石斛产量y（吨）320034003600420075009000(1)依据散点图推断，y=ax+b与y=cedx（a，b，(2)经计算得下表中数据，依据（1）中结果，求出y关于x的回来方程；xyui=1i=1i=13.551508.4617.5209503.85其中u=(3)龙陵县支配到2025年底实现紫皮石斛年产量达1.5万吨，依据（2）所求得的回来方程，预料该目标是否能完成？（参考数据：e9.45附：b=i=1n【变式6-2】（2024·江西抚州·高三开学考试）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2024—2025年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2024—2025对应的代码分别为1—5．年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知，可用指数函数模型y=a⋅bx拟合y与x的关系，请建立y关于x(2)综合考虑2024年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预料公司依据上述数据求得y关于x的回来方程后，通过修正，把b-参考数据：vi=1ee1.9433.821.7