高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练9牛顿教师版

专题9牛顿一、单选题1．人们很早以前就起先探究高次方程的数值求解问题．牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法-用“做切线”的方法求方程的近似解．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值处的切线与x轴的交点为，在的切线与x轴的交点为，始终这样下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（）A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375【答案】B【解析】【分析】利用切点和斜率求得切线方程，结合牛顿法求得.【详解】，，，在点的切线方程为，令解得，，，在点的切线方程为，令解得.故选：B2．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变更：假如物体的初始温度为，则经过确定时间t分钟后的温度T满意，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还须要（

）（参考数据：，）A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟【答案】C【解析】【分析】由题意可得，代入，得，两边取常用对数得：，再利用对数的运算性质即可求出的值．【详解】解：依据题意得：，，，，，两边取常用对数得：，，水温从75℃降至45℃大约还须要10分钟，故选：C．3．牛顿切线法是牛顿在十七世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如求解方程，先令，然后对的图象持续实施下面的步骤：第一步，在点处作曲线的切线，交x轴于；其次步，在点处作曲线的切线，交x轴于；第三步，在点处作曲线的切线，交x轴于；……利用该方法可得方程近似解（保留三位有效数字）是（

）A．0.313 B．0.314 C．0.315 D．0.316【答案】B【解析】【分析】依据导数的几何意义先求解点处的切线，进而得到，再按题意接着计算得到即可【详解】所以在处的切线方程，则；同理，在处的切线方程，令，得，又，在处的切线方程，令，得．故选：B．4．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位为分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为（参考数据：，}（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【解析】【分析】依据题意，将数据代入温度冷却模型，即可求解.【详解】由题意知：代入冷却模型，即故选：C.5．中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤澄澈光明，养分也较少破坏.为了便利限制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变更的冷却模型：假如物体的初始温度是℃，环境温度是℃，则经过分钟后物体的温度℃将满意，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，℃的水应大约冷却(

)分钟冲泡该绿茶(参考数据：，)A．3 B．3.6 C．4 D．4.8【答案】B【解析】【分析】依据题意求出k的值，再将θ＝80℃，＝100℃，＝20℃代入即可求得t的值.【详解】由题可知：，冲泡绿茶时水温为80℃，故.故选：B.6．牛顿流体符合牛顿黏性定律，在确定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：，其中为剪切应力，为黏度，为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．非牛顿流体会产生许多特别好玩的现象，如人陷入沼泽越挣扎将会陷得越深；也有许多广泛的应用，如某些高分子聚合物还可以做成“液体防弹衣”．如图是测得的某几种液体的流变曲线，则其中属于沼泽和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（

）A．③和① B．①和③ C．④和② D．②和④【答案】C【解析】【分析】依据所给定义，分析出图象中牛顿流体和非牛顿流体对应的曲线，即可得答案.【详解】由题意得牛顿流体黏度恒定，即在曲线中，图象为直线，即①和③为牛顿流体，④和②为非牛顿流体，又属于沼泽和液体防弹衣所用液体为非牛顿流体，所以对应曲线为④和②.故选：C7．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的状况下，一桶咖啡由降低到须要.则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】把，，，代入可求得实数的值.【详解】由题意，把，，，代入中得，可得，所以，，因此，.故选：A.8．人们很早以前就起先探究高次方程的数值求解问题.牛顿（1643—1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为，在处的切线与x轴的交点为，始终这样下去，得到，，，…，，它们越来越接近r.若，，则用牛顿法得到的r的近似值约为（

）A．1.438 B．1.417 C．1.415 D．1.375【答案】B【解析】【分析】利用切点和斜率求得切线方程，结合牛顿法求得.【详解】由题意，得，，，所以曲线在点处的切线方程为，令，得.又，，所以曲线在点处的切线方程为，令，解得.故选：B.9．闻名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，假如物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：℃）满意：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约须要的时间为（

）（参考数据：）A．25分钟 B．24分钟 C．23分钟 D．22分钟【答案】D【解析】【分析】由题意可得，，，，故，再结合对数函数的公式，即可求解．【详解】由题意可得，，，，故，，即，（分钟）,即大约须要的时间为22分钟，故选：．10．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（t为时间，单位为分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为？（参考数据：）（

）A．8 B．7 C．6 D．7【答案】C【解析】【分析】依据题设的温度冷却模型有，应用对数的运算性质即可求值.【详解】由题意知：分钟，故选：C.11．英国闻名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满意，则称数列为牛顿数列.假如函数，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】先由题设得到：，从而得到，即可说明数列是以-1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和求和公式得到结果.【详解】解：由题知两边取对数得：令即，所以数列是以-1为首项，2为公比的等比数列，故选：B12．英国闻名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列满意，则称数列为牛顿数列．假如函数，数列为牛顿数列，设.且，数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】得到，计算，然后计算，最终可得数列为等比数列，最终依据公式计算即可.【详解】由题可知：，所以，则两边取对数可得，即所以数列是以1为首项2为公比的等比数列，所以故选：A13．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变更：假如物体的初始温度为，则经过确定时间后的温度满意，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，探讨表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶起先大约须要等待（

）（参考数据：，，）A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟【答案】C【解析】【分析】依据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.【详解】依据题意，，即设茶水从降至大约用时t分钟，则，即，即两边同时取对数：解得，所以从泡茶起先大约须要等待分钟故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是娴熟运用对数的运算公式，考查学生的审题分析实力与运算求解实力，属于基础题.二、多选题14．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一干脆着下去，可得到一系列的数，，，…，，…在确定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（

）A．对随意，B．若，且，则对随意，C．当时，须要作2条切线即可确定的值D．无论在上取任何有理数都有【答案】BCD【解析】【分析】利用特别状况推断选项A；求出曲线在处的切线方程与轴的交点横坐标，即可推断选项B；求出，，即可推断选项C、D【详解】A，因为，则，设，则切线方程为，切线与轴的交点横坐标为，所以，故A错误；B，处的切线方程为，所以与轴的交点横坐标为，故B正确；C，因为，，所以两条切线可以确定的值，故C正确；D，由选项C可知，，所以无论在上取任何有理数都有，故D正确.故选：BCD15．若函数的图象是连续的平滑曲线，且在区间上恒非负，则其图象与直线轴围成的封闭图形的面积称为在区间上的“围面积”.依据牛顿-莱布尼茨公式，计算面积时，若存在函数满意则为在区间上的围面积.下列围面积计算正确的是（

）A．函数在区间上的围面积是B．函数在区间上的围面积是C．函数在区间上的围面积是D．函数在区间上的围面积是【答案】BCD【解析】【分析】依据定积分的定义和性质逐个分析求解即可【详解】对于A，函数在区间上是连续的非负函数，且存在满意，所以函数在区间上的围面积是，所以A错误，对于B，函数在区间上是连续的非负函数，且存在满意，所以函数在区间上围面积是，所以B正确，对于C，函数在区间上是连续的非负函数，且存在，满意，所以函数在区间上的围面积是，所以C正确，对于D，函数在区间上是连续的非负函数，且存在，满意，所以函数在区间上的围面积是，所以D正确，故选：BCD16．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种近似求方程根的方法—牛顿迭代法.做法如下：如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若运用该方法求方程的近似解，则（

）A．若取初始近似值为1，则该方程解得二次近似值为B．若取初始近似值为2，则该方程近似解的二次近似值为C．D．【答案】ABC【解析】【分析】依据牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算即可求解.【详解】令，则，当，，，故A正确；当，，，故B正确；因为；；；，∴，故C正确，D错误.故选：ABC17．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变更的冷却模型：假如物体的初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中.则经过分钟后物体的温度将满意，其中为正常数.现有一杯的热红茶置于的房间里，依据这一模型探讨红茶冷却，正确的结论是（

）A．B．若，则C．若，则其实际意义是在第3分钟旁边，红茶温度大约以每分钟的速率下降D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少【答案】ACD【解析】【分析】由题知，进而依据导数的几何意义，导数运算等依次探讨各选项求解即可.【详解】解:由题知，对于A选项，因为为正常数，所以，故A选项正确；对于B选项，若，即，所以，则，故B选项错误；对于C选项，表示处的函数值的变更状况，若，所以实际意义是在第3分钟旁边，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C选项正确；对于D选项，令，则，故是定义域内的单调递增函数，由于，所以随着时间的增加，下降速度再减小，由于，故当下降温度相同的时候，下降所需时间相对增加，故红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D选项正确.故选：ACD18．众所周知，组合数，这里，并且．牛顿在探讨广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标n推广到随意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且定义，比如．下列关于广义组合数的性质说法正确的有（

）A． B．当m，n为正整数且时，C．当m为正奇数时， D．当n为正整数时，【答案】BCD【解析】【分析】选项A.由定义干脆求出的值，可推断；选项B.

由定义有，依据条件这个数中，确定有某个数为0，从而可推断；选项C.由定义干脆求出的不等式，结合条年可推断；选项D.由定义分别得出从而可推断.【详解】选项A.

由题意，故选项A不正确.选项B.

由，当m，n为正整数且时，则，所以所以这个数中，确定有某个数为0，所以，故选项B正确.选项C.当m为正奇数时，，故选项C正确.选项D.

当n为正整数时,所以，故选项D正确故选：BCD19．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为，称是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若运用该方法求方程的近似解，则（

）A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线B．若取初始近似值为1，则该方程解的三次近似值为C．D．【答案】ABD【解析】【分析】依据条件介绍的牛顿迭代法求近似解即可.【详解】解：构造函数，则，取初始近似值，，，则，即，则A正确；，，，则B正确；依据题意，可知，上述式子相加，得，C不正确，则D正确.故选：ABD.三、双空题20．中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了便利限制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变更的冷却模型：假如物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满意：，其中为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为的水在室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：从下降到所用时间1分58秒从下降到所用时间3分24秒从下降到所用时间4分57秒（1）的值约为___________；（填序号）①0.04；②0.05；③；0.06④0.07.（2）“碧螺春”用左右的水冲泡可使茶汤澄澈光明，口感最佳.在（1）的条件下，水煮沸后在室温下为获得最佳口感大约冷却___________.（精确到个位）分钟左右冲泡.（参考数据：，，，，）【答案】

②

7【解析】【分析】①依据题目中给的三组数据，代入，即可得到的值.②将得到的值以及，代入公式中，即可得值【详解】由得，故，当环境温度是,物体的初始温度是,经过约两分钟下降到这组数据有，当环境温度是,物体的初始温度是,经过3.4分钟下降到这组数据有，当环境温度是,物体的初始温度是,经过5分钟下降到这组数据有，故故答案为:②0.05当环境温度是,物体的初始温度是,经过分钟下降到有，，所以取.故答案为：721．令函数，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点处作抛物线的切线，交x轴于；在点处作抛物线的切线，交x轴于；在点处作抛物线的切线，交x轴于；……由此能得到一个数列随着n的不断增大，会越来越接近函数的一个零在点，因此我们可以用这种方法求零点的近似值.①设，则___________；②用二分法求方程在区间上的近似解，依据前4步结果比较，可以得到牛顿切线法的求解速度___________（快于､等于､慢于）二分法.【答案】

快于【解析】【分析】由直线与抛物线相切求出，然后利用和二分法对零点进行四次计算后比较可得．【详解】，，，所以切线方程为，令，得，所以，二分法计算：，，；，；，，，用切线靠近法：，，，，<0.0625，因此牛顿切线法的求解速度快于二分法．故答案为：；快于．22．牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列.（1）请选出的次近似值与的次近似值的关系式____________（请填正确的关系式序号）.①；②；③.（2）若，取作为的初始近似值，则的正根的二次近似值为______.【答案】

②；

【解析】【分析】（1）依据题中的两个表达式，选出公式即可；（2）依据（1）中的公式代入数据计算可得出结果.【详解】（1）由，，推得的次近似值与的次近似值的关系式为.所以公式正确；（2），，时，，.四、填空题23．物体在常温下的温度变更可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过确定时间t（单位：min）后的温度是T，则，其中称为环境温度，h为常数，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，假如咖啡降到37℃须要16min，那么这杯咖啡要从37℃降到25℃，还须要______min．【答案】16【解析】【分析】依据所给函数模型，由Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，求得，然后令T0＝37℃，T＝25℃，求得．【详解】由题意知Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，得，∴h＝8．令T0＝37℃，T＝25℃，则，∴．故答案为：16．24．英国闻名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满意，则称数列为牛顿数列．假如函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______．【答案】##【解析】【分析】先由题设得到：，进而求得，从而有，即可得数列数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的前项和公式求得结果．【详解】∵，∴，又∵，∴，，∴，又∴，又，且，所以，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴的前项和为，则.故答案为：.25．2024年1月3日嫦娥四号探测器胜利实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆须要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，放射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，依据牛顿运动定律和万有引力定律，r满意方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为_________．【答案】【解析】【分析】由推导出，进而可得.【详解】由，得，由，得，将代入，得，有，所以，则，所以.故答案为：.26．人们很早以前就起先探究高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，始终这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为___________（结果保留两位小数）.【答案】【解析】【分析】依据导数的几何意义求出切线方程进行求解即可.【详解】由，，所以在处的切线方程为：，令，可得：，所以在处的切线方程为：，令，故答案为：27．牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．详细步骤如下：设是函数的一个零点，随意选取作为的初始近似值，作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般的，作曲线在点,处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取