平面向量的概念+（人教版A版2019必修第二册第六章）

人教2019A版必修

第二册6.1平面向量的概念第六章

平面向量及其应用9个概念向量，零向量，单位向量，共线（平行）向量，相等向量4个定理向量共线定理，平面向量基本定理，余弦定理，正弦定理2个法则三角形法则，平行四边形法则4种运算向量的加法，向量的减法，向量的数乘，向量的数量积2种应用向量在物理中的应用，向量在几何中的应用向量的模，相反向量，向量的夹角，投影向量内容提要576km物理位移重庆桂林背景分析大小方向力GF背景分析大小方向向量既有大小又有方向的量(物理学中称为矢量)数量只有大小没有方向的量(物理学中称为标量)力加速度速度如年龄、身高、长度、面积、体积、质量···知识要点位移重庆桂林

向量与数量

既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量);

只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).注意：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；

向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.练习

下列量不是向量的是（

）①

质量

②

速度

③

位移

④

力⑤

加速度

⑥

面积

⑦

年龄

⑧

身高二.向量的几何表示探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？有向线段定义在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.

A（起点）B（终点）

如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段

的长度，记作.箭头所指的方向表示有向线段的方向.(1)有向线段的定义思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？有向线段的三个要素：起点、方向、长度.有向线段使向量的“方向”得到了表示，而线段的长度可表示向量的大小，这样我们就可用有向线段表示向量.做一做：下列说法正确的是（）A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定D.有向线段和有向线段的长度相等优化P1D（2）向量的几何表示

AB

——用有向线段表示.画图时，我们常用有向线段来表示向量

，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.（3）向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如

若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示）.

AB

1.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.数学中的向量也叫自由向量.注：2.有向线段与向量的区别：有向线段：三要素：起点、大小、方向向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向

ABCD

ABCD

有向线段、是不同的向量、是同一个向量优化P1做一做已知向量如图所示，下列说法不正确的是（）A.向量可以用表示B.向量的方向是由M指向NC.向量的起点是MD.向量的终点是MMND向量的大小，就是向量的长度（或称模）,记作，或者记作.（4）向量的模思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？零向量：长度为0的向量，记作.单位向量：长度等于1个单位的向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，

不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.有意义没有意义做一做：下列说法正确的是（）A.向量的模是一个正实数B.零向量没有方向C.单位向量的模等于1个单位长度D.零向量就是实数0C

比例1：8000000解：例1在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）.表示A地至B地的位移；表示A地至C地的位移.模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？三.相等向量与共线向量规定：零向量与任一向量平行（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.向量与

平行，记作(2).相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量2.零向量与零向量相等3.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向

线段来表示，并且与有向线段的起点无关。注：1.若向量

相等，则记为

；（3）共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。共线向量一定要在同一条直线上吗？ABc一切向量都可以在不改变它大小和方向的前提下，将它平移到任何位置。O优化P2做一做下列说法正确的是（）A.向量与向量是相等向量B.与实数类似，对于两个向量，有三种关系C.当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D.若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合D优化P2探究一向量的有关概念例1

下列说法正确的有

。（填序号）①若，则或；②若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点必在同一条直线上；③向量与是平行向量；④任何两个单位向量都是相等向量。③优化P2变式训练1下列说法正确的是（）A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.向量的模可以比较大小C.模为1的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行B优化P2探究二平面向量的表示例2

如图所示，在坐标纸上（每个小方格的边长均为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1），使，点A在点O北偏东方向；（2），使，点B在点A正东方向；（3），使，点C在点B北偏东方向。O北优化P3变式训练2某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点C，到达点C后又改变方向向西走了10米到达点D。（1）作出向量；（2）求的模。

优化P3探究三相等向量与共线向量例3如图，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作向量，则与平行且长度为的向量有

个。8ABCD优化P3延伸探究1、本例中的条件不变，与同向且长度为的向量有几个？

2、本例中的条件不变，如图，与相等的向量有多少个？

48ABCDO优化P3易错辨析典例已知下列说法：

①若，则为零向量；②若,则；③共线的单位向量是相等向量；④两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个B