2025届新高考数学精准冲刺复习 双曲线的定义、标准方程及其几何性质

必备知识·逐点夯实2025届新高考数学精准冲刺复习双曲线的定义、标准方程及其几何性质核心考点·分类突破【课标解读】【课程标准】1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)3.了解双曲线几何性质的简单应用.【核心素养】数学运算、逻辑推理、直观想象.【命题说明】考向考法高考对双曲线的考查形式有两种:(1)根据题设条件求双曲线的标准方程;(2)通过双曲线的标准方程研究双曲线的基本性质,常以选择题或填空题形式出现.预测预计2025年高考在双曲线的标准方程、几何性质仍会出题,一般在选择题、填空题中出现,双曲线与其他圆锥曲线交汇考查比较灵活,各种题型都可能涉及.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.双曲线的定义(1)一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个______叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.(2)数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且c>a>0.定点微点拨

(1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.(2)若a=c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若a>c,则轨迹不存在;若a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:________

对称中心:______顶点顶点坐标:A1______,A2_____

顶点坐标:A1______,A2_____

坐标轴原点(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)性质渐近线离心率a,b,c的关系c2=______实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=____;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=____;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长等轴双曲线a2+b22a2b微思考双曲线的范围经常在什么情况下使用?提示:在求最值、范围、是否存在等题目求解时,使用范围这个性质.

基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号13241.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.(

)提示:(1)双曲线的焦点一定在实轴上;√

×√

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核心考点·分类突破

解题技法1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.

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解题技法求双曲线标准方程的方法(1)定义法.根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:①c2=a2+b2;②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法.一般步骤.

考点三双曲线的几何性质考情提示双曲线的离心率