2024年中考数学压轴题型（重庆专用）专题01 几何选择题-重庆中考压轴题（ 教师版）

PAGE1PAGE专题01几何选择题--重庆中考压轴题通用的解题思路：通常考查的形式：求解角的度数、求解线段长度通常用到的辅助线及知识点：倍长中线、旋转（手拉手）半角模型、三垂直等，推导角的关系：四点共圆（对角互补、8字形、平行、内角和）1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（）A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示：则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，故选：A．2．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（）A．2 B． C．1 D．【解答】解：如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BE＝BC，∠ABC＝90°，AC＝AB＝2，∴∠BEC＝∠BCE，∴∠EBC＝180°﹣2∠BEC，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝2∠BEC﹣90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABE＝∠BEC﹣45°，∴∠BFE＝∠BEC﹣∠EBF＝45°，在△BAF与△BEF中，，∴△BAF≌△BEF（SAS），∴∠BFE＝∠BFA＝45°，∴∠AFC＝∠BFA+∠BFE＝90°，∵O为对角线AC的中点，∴OF＝AC＝，故选：D．1．如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接DE，点F为对角线AC的中点，连接EF，若DE⊥AC，AB＝2AD，设∠AFE＝α，则∠DAF的度数可以表示为（）A． B．45°+α C．45°﹣α D．【解答】解：过点F作FG⊥AB，如图，∵AB＝2AD，设AD＝2x，则AB＝4x，∵矩形ABCD，∴∠B＝∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝DC＝4x，BC＝AD＝2x，∵DE⊥AC，∴∠ACD+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴tan∠ADE＝tan∠ACD，∴，即，解得AE＝x，∴EG＝x，∵F是AC的中点，FG⊥AB，∴FG＝BC＝x，∴EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，∴∠EAF+∠AFE＝45°，∴∠EAF＝45°﹣α，∴∠DAF＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α．故选：B．2．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（）A． B． C． D．1【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，如图，∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，∴四边形BHFK是正方形，∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠DEA＝∠EFH，∵∠A＝∠EHF＝90°，∴△DAE∽△EHF，∴，∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，∴AE＝1，BE＝2，设FH＝a，则BH＝a，∴，解得a＝1；∵FK⊥CB，DC⊥CB，∴△DCN∽△FKN，∴，∵BC＝3，BK＝1，∴CK＝2，设CN＝b，则NK＝2﹣b，∴，解得b＝，即CN＝，∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，∴△ADE∽△BEM，∴，∴，解得BM＝，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝，故选：B．3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（）A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°【解答】解：连接DQ，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵AF＝DE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，∵点P，Q分别是DF，CE的中点，∴PD＝DF＝DQ＝CE，∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，∴∠PQD＝＝45°+α，∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，故选：B．4．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上靠近点B的三等分点，将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AF，使得∠BAE＝∠FAE，连接EF和CF，令∠BAE＝α，则∠FCD为（）A．120°﹣3α B．90°﹣α C．2α+30° D．α+45°【解答】解：延长EF交CD于点H，连接AH，设正方形ABCD的边长为a，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，由旋转可知，AB＝AF＝AD＝a，∵∠BAE＝∠FAE＝α，AF＝AF，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠AFH＝180°﹣∠AFE＝90°＝∠D，∵AF＝AD，AH＝AH，∴Rt△AHF≌Rt△AHD（HL），∴DH＝FH，设FH＝DH＝m，在Rt△CEH中，CE2+CH2＝EH2，即，解得，∴，∴点H是CD的中点，∴CH＝DH＝FH＝a，∵∠BEF＝360°﹣∠B﹣∠AFE﹣∠BAF＝180°﹣2α，∴∠CEF＝180°﹣∠BEF＝2α，∴∠CHE＝90°﹣2α，∴，故选：D．5．如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥ED交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF＝α，则∠BEF的度数是（）A．2α B．45°+α C．90°﹣2α D．3α【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴四边形AMEN是矩形，∠BAE＝∠DAE＝45°，∴EM＝EN，四边形AMEN是正方形，∴∠MEN＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠MEF＝∠NED＝90°﹣∠FEN，在△EMF和△END中，，∴△EMF≌△END（ASA），∴EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，∵∠ADF＝α，∴∠AFD＝90°﹣α，∴∠BFE＝180°﹣（∠AFD+EFD）＝180°﹣（90°﹣α+45°）＝45°+α，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴BE＝EF，∴∠BFE＝∠EBF＝45°+α，∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠EBF）＝180°﹣2（45°+α）＝90°﹣2α．故选：C．6．如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AC于点F，连接BF并延长，与AE的延长线交于点G，则∠AGB的度数为（）A．42.5° B．45° C．47.5° D．50°【解答】解：连接DF，∵EF⊥AC，四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠AFE＝90°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠EDF＝∠EAF，∵CD＝CB，∠FCD＝∠FCB＝45°，CF＝CF，∴△FCD≌△FCB（SAS），∴∠EDF＝∠CBF，∴∠EAF＝∠CBF，∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AGB＝∠ACB＝45°，故选：B．7．如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，连接OC，E为边AB上一点，CF⊥DE于点F，若，CF＝5，则AE的长为（）A． B． C．3 D．【解答】解：过点O作OM⊥OF，如图，∵CB＝CD，O为中点，∴CO⊥CD，∠OCD＝∠BCD＝45°，∴△COD为等腰直角三角形，OD＝OC，∴∠MOC＝∠DOC﹣∠DOM＝90°﹣∠DOM，∵∠FOD＝∠FOM﹣∠DOM＝90°﹣∠DOM，∴∠MOC＝∠FOD，在Rt△DFC中，∠FCD+∠FDC＝90°，∠ADC＝∠ADE+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠ADE，∵∠MCO＝∠OCD﹣∠FCD＝45°﹣∠FCD，∠FDO＝∠ADB﹣∠ADE＝45°﹣∠ADE，∴∠MCO＝∠FDO，∴△MCO≌△FDO（ASA），∴OM＝OF＝，△FOM为等腰直角三角形，∴FM＝OF＝×＝2，∴MC＝CF﹣FM＝5﹣2＝3，∴MC＝FD＝3，在Rt△FDC中，CD＝＝＝，∴AD＝CD＝，∵∠CFD＝∠DAE＝90°，∴△FCD∽△ADE，∴，即，∴AE＝，故选：D．8．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝α，将Rt△ABC绕点C逆时针旋转得到Rt△EDC，点A的对应点E正好落在BC上，连接BD，则∠CBD的度数是（）A． B．90°﹣α C．45°+α D．【解答】解：∵∠A＝90°，∠ABC＝α，∴∠CAB＝90°﹣α，∵将Rt△ABC绕点C逆时针旋转得到Rt△EDC，∴CD＝BC，∠CAB＝∠BCD＝90°﹣α，∴，故选：A．9．如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，过点A作AF⊥DE交DE于F点，若DF＝2，CD＝6，则FO的长为（）A． B．1 C． D．2【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，CD＝6，∴AB＝CD＝6，∠ADC＝∠BAD＝90°，OD＝OB，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠ADC＝45°，∴△ADE为等腰直角三角形，AD＝AE，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，∠AFD＝90°，∴△ADF为等腰直角三角形，∴AD＝DF＝4，∴AE＝AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣4＝2，∵DF＝EF，OD＝OB，即点F、O分别为DE、BD的中点，∴OF为△BDE的中位线，∴OF＝BE＝＝1．故选：B．10．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（）A．12.5 B．12 C．10 D．10.5【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，∴CG＝DG＝×12＝6，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG（ASA），∴DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，在Rt△DEG中，EG＝＝，∴EF＝2，∵FH垂直平分BE，∴BF＝EF，∴6+2x＝2，解得x＝4.5，∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，∴BC＝AD＝10.5．故选：D．11．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在BC延长线上，且AE＝CF，点M是EF的中点，连接MC，若∠F＝α，则∠CMF的度数为（）A．60°﹣α B． C． D．45°﹣α【解答】解：在BC上截取CP＝CF，连接PE，∵点M是EF的中点，CP＝CF，∴CM是△PEF的中位线，∴CM∥PE，∴∠PEF＝∠CMF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AE＝CF＝CP，∴BP＝BE，∴△BPE是等腰直角三角形，∴∠BEP＝∠BPE＝45°∴∠PEF＝∠BPE−∠F＝45°−α，∴∠CMF＝∠PEF＝45°−α，故选：D．12．如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，DE平分∠CDB交AC于点M，交BC于点E，过点M作MF⊥DE交AB于点F，BE＝2，则AF的长为（）A． B． C．1 D．【解答】解：如图，过点M作MG⊥CD于点G，∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OB＝OA＝OC，AC⊥BD，∠ACD＝∠CBD＝∠BAC＝45°，∵DE平分∠CDB，OM⊥BD，MG⊥CD，∴OM＝MG，由MG⊥CD，∠ACD＝45°，得△CGM为等腰直角三角形，∴CM＝MG，设OM＝MG＝a（a＞0，则CM＝a，OC＝OA＝a+a，AC＝2（a+a），∴BD＝AC＝2（a+a），AM＝a+a+a＝2a+a，∵FM⊥DE，∴∠AMF+∠AMD＝90°，∵∠BDE+∠AMD＝90°，∴∠AMF＝∠BDE，又∵MAF＝∠DBE＝45°，∴△AMF∽△BDE，∴，即＝，解得：AF＝．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点E，AB＝AD＝，BD＝2，∠BCD＝90°，，则AC＝（）A． B． C． D．【解答】解：过点A作AF⊥BD于F，过点C作CG⊥BD于G，如图，∵AB＝AD，AF⊥BD，∴，在Rt△ADF中，由勾股定理，得，∵AF⊥BD，CG⊥BD，∴AF∥CG，∴△AFE∽△CGE，∴，即，∴，EF＝3EG，设EG＝x，则EF＝3x，DG＝1﹣4x，∵∠CGD＝∠BCD＝90°，∠CDG＝∠BDC，∴△CGD∽△BCD，∴，∴CD2＝BD⋅DG＝2（1﹣4x），在Rt△CDG中，由勾股定理，得，∴，解得：，（舍去），∴，在Rt△CGE中，由勾股定理得，，∵，∴，故选：B．14．如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（）A． B． C．α﹣45° D．【解答】解：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAC＝α，∴∠CBD＝90°﹣α，∵BE＝AC＝BD，∴∠BDE＝∠E，∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E，∴2∠E＝90°﹣α，∴∠E＝45°﹣，故选：B．15．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（）A． B．2 C． D．【解答】解：连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠ADB＝45°，∵PF⊥AD，PE⊥AB，∠BAD＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴PE＝AF，∠PFD＝90°，∴△PFD是等腰直角三角形，∴PF＝DF，∵PE：PF＝1：2，∴AF：DF＝1：2，∴AF＝1，DF＝2＝PF，∴AP＝＝＝，∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝PC＝，故选：C．16．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，连接AE，作∠DAE的平分线交CD于点F，若F为CD的中点，则BE的长为（）A． B． C． D．【解答】解：过点F作FH⊥AE，连接EF，∵F为CD中点，∴DF＝CF＝，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∵AF是角平分线，∴DF＝HF＝CF，∴Rt△ADF≌Rt△AHF（HL），∴AD＝AH＝1，同理可得Rt△EFH≌Rt△EFC，∴EH＝CH，设CE＝x，则AE＝1+x，BE＝1﹣x，∴12+（1﹣x）2＝（1+x）2，解得x＝，∴BE＝1﹣＝．故选：C．17．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E、F分别为AB、BC上一点，连接DE、EF，过点C作CH⊥DE于点H，过点D作DG⊥EF于点G，若∠ADE＝∠GDE，，则线段EF的长为（）A．2 B． C． D．5【解答】解：连接DF，如图：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴BC＝AD＝AB＝CD＝6，∠ADC＝∠A＝90°，∴∠CDH＝90°﹣∠ADE＝∠DEA，∵CH⊥DE，∴∠CHD＝∠A＝90°，∴△CDH∽△DEA，∴＝，∵＝＝，∴＝，∴DE＝2，∴AE＝＝＝2，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，∵∠A＝∠DGE＝90°，∠ADE＝∠GDE，DE＝DE，∴△ADE≌△GDE（AAS），∴GE＝AE＝2，AD＝DG，∴CD＝DG，∵∠DCF＝∠DGF＝90°，DF＝DF，∴Rt△DCF≌Rt△DGF（HL），∴CF＝GF，设EF＝x，则GF＝x﹣2＝CF，∴BF＝6﹣CF＝6﹣（x﹣2）＝8﹣x，∵BE2+BF2＝EF2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴EF＝5；故选：D．18．在正方形ABCD中，连接BD，E为BC中点，F为BD上一点，连接EF，AF，满足AF＝EF，延长AF交CD于点N，连接EN，若∠DAF＝α，则∠ENC用含α的式子表示为（）A． B．45°﹣α C．2a D．90°﹣2α【解答】解：过点F直线TK⊥AD于T交BC于K，作直线PQ⊥CD于P交AB于Q，如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AD平分∠ADC，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DHFP，四边形BQFK均为正方形，四边形CMFP，四边形ATFQ均为矩形，∴FT＝FP＝PD＝DT＝CK，AT＝FQ＝FK，TK∥CD，在Rt△ATF和Rt△FKE中，，∴Rt△ATF≌Rt△FKE（HL），∴FT＝KE，∠TAF＝∠KFE，∴FT＝FP＝PD＝DT＝CK＝KE，设DT＝x，则FT＝FP＝PD＝DT＝CK＝KE＝x，∴CE＝2x，∵点E为BC中点，∴BC＝2CE＝4x，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4x，∴AT＝3x，∵TK∥CD，∴＝＝＝3，∴＝3，又∵＝＝3，∴＝，∵∠TAF+∠AFT＝90°，∠TAF＝∠KFE，∴∠KFE+∠AFT＝90°，∴∠AFE＝180°﹣（∠KFE+∠AFT）＝90°，∴∠EFN＝90°，∴∠EFN＝∠ATF＝90°，∴△ATF∽△EFN，∴∠TAF＝∠FEN＝α，∵∠TAF+∠AND＝90°，∠FEN+∠FNE＝90°，∴∠AND＝∠FNE＝90°﹣α，∴∠DNE＝∠AND+∠FNE＝180°﹣2α，∴∠ENC＝180°﹣∠DNE＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α．故选：C．19．如图，正方形ABCD中，点E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连接DF，EF．若∠FDC＝α．则∠AEF＝（）A．90°﹣2α B．45°﹣α C．45°+α D．α【解答】解：连接ED，在正方形ABCD中，∠ADC＝∠BAD＝∠C＝90°，AD＝DC，∵AE＝CF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（SAS），∴∠FDC＝∠ADE＝α，DE＝DF，∴∠CDF+∠ADF＝∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠EFD＝∠FED＝45°，∴∠AGE＝∠FED+∠ADE＝45°+α，∴∠AEF＝90°﹣∠AGE＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，故选：B．20．如图，正方形ABCD中，点E在CD上，点F在DA的延长线上，且AF＝CE，连接BF，EF，BE，若∠DFE＝α，则∠ABE等于（）A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．90°﹣α【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝BC，∠C＝∠BAF，AF＝CE，∴△BAF≌△BCE（SAS），∴BF＝BE，∠EBF＝90°，∴∠BFE＝45°，∵∠DFE＝α，∴∠ABE＝90°﹣∠ABF＝∠AFB＝∠DFE+∠BFE＝α+45°，故选：A．21．如图，在正方形ABCD中，边AB、AD上分别有E、F两点，AE＝DF，BP平分∠CBF交CD于点P．若∠CPB＝α，则∠CEB的度数为（）A．90°﹣α B．α C．180°﹣2α D．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∵AE＝DF，∴AD﹣DF＝AB﹣AE，即AF＝BE，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴∠CEB＝∠BFA，∵AD∥BC，∴∠BFA＝∠CBF，∴∠CEB＝∠CBF，∵BP平分∠CBF，∴∠CBF＝2∠CBP，∴∠CEB＝2∠CBP，∵∠BCD＝90°，∠CPB＝α，∴∠CBP＝90°﹣α，∴∠CEB＝2∠CBP＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，故选：C．22．如图，正方形ABCD的边长为，点E，F分别在DC，BC上，，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（）A． B．2 C． D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝DC＝BC，∵BF＝CE，∴CF＝DE，在△ADE和△DC