2024年中考数学压轴题型（江苏专用）专题08 跨学科综合题（解答压轴题）（教师版）

PAGE1PAGE专题08跨学科综合题（解答压轴题）通用的解题思路：1.理解题目背景：首先，要仔细阅读题目，理解题目背景，明确题目所涉及的知识点。这有助于确定解题所需的跨学科知识。2.提取关键信息：从题目中提取关键信息，如数学公式、物理定律、化学方程式等。这些信息是解题的基础。3.建立数学模型：根据题目要求，建立相应的数学模型。这可能涉及代数、几何、概率等数学知识。4.应用跨学科知识：将提取的关键信息与建立的数学模型相结合，运用跨学科知识解决问题。例如，在物理题中可能需要运用数学公式计算速度、加速度等。5.检查答案：最后，检查答案是否合理，是否符合题目要求。如果可能，使用不同的方法或角度再次验证答案。1．（2020·江苏盐城·中考真题）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题．（1）在中，，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）（2）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析；设，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点；连线；观察思考（3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当时，最大；（4）进一步C猜想：若中，，斜边为常数，），则时，最大．推理证明（5）对（4）中的猜想进行证明．问题1．在图中完善的描点过程，并依次连线；问题2．补全观察思考中的两个猜想：______________问题3．证明上述中的猜想：问题4．图中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点间的距离是厘米，厘米，平行光线从区域射入，线段为感光区域，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．【答案】问题1：见解析；问题2：2，；问题3：见解析；问题4：当时，感光区域长度之和最大为【分析】问题1：根据（1）中的表格数据，描点连线，作出图形即可；问题2：根据（1）中的表格数据，可以得知当2时，最大；设，则，可得，有，可得出；问题3：可用两种方法证明，方法一：（判别式法）设，则，可得，有，可得出；方法二：（基本不等式），设，得，可得，根据当时，等式成立有，可得出；问题4：方法一：延长交于点，过点作于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，交于点，由题可知：在中，，得，根据，有，得，易证四边形为矩形，四边形为矩形，根据可得，由问题3可知，当时，最大，则有时，最大为；方法二：延长相交于点同法一求得：，根据四边形为矩形，有，，得到，由问题3可知，当时，最大则可得时最大为．【详解】问题1：图问题2：；问题3：法一：（判别式法）证明：设在中，关于的元二次方程有实根，当取最大值时，当时，有最大值．法二：（基本不等式）设在中，．当时，等式成立．，当时，有最大值．问题4：法一：延长交于点过点作于点垂足为过点作交于点垂足为交于点由题可知：在中，即又，在中，，即四边形为矩形，四边形为矩形，在中，．由问题3可知，当时，最大时，最大为即当时，感光区域长度之和最大为法二：延长相交于点同法一求得：设四边形为矩形，．由问题3可知，当时，最大时最大为即当时，感光区域长度之和最大为．【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数，不等式，解直角三角形，三角函数，矩形的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．2．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．

【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．

【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

【答案】[问题背景]；[活动探究]；[应用拓展]【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案；[活动探究]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[应用拓展]过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题．【详解】解：[问题背景]如图所示：

，，，，，，，，，解得；[活动探究]如图所示：

，，，，，，，，，解得；，，，，，，，，，解得；；[应用拓展]如图，过点作于点，过点作于点，由题意得：，，，，，即，，，，，即，，，，由题意得：，，，，设，，则，，，，解得：（负值已舍去），，，，，同【问题背景】得：，，，解得：，，答：信号塔的高度约为．【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键．3．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：

(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）(2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；(3)在整个往返过程中，若，求的值．【答案】(1)由负到正(2)(3)当或时，【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解；（2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解；（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解．【详解】（1）∵，当滑块在点时，，，当滑块在点时，，，∴的值由负到正．故答案为：由负到正．（2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，∵，∴，∴∴是的一次函数，∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；∴当时，，∴，∴，∴滑块从点到点所用的时间为，∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，∴滑块从点到点的滑动时间为，∴滑块返回的速度为，∴当时，，∴，∴，∴与的函数表达式为；（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，，解得：；②当时，，解得：，综上所述，当或时，．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．4．（2020·江苏盐城·中考真题）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中长为厘米，长为厘米，阴影部分是边长为厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；

（2）如图，对于中的木门，当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．

【答案】（1）；（2）雕刻所得图案的草图见解析，图案的周长为【分析】（1）过点作求出PE，进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可解答；（2）如图，过P作PQ⊥CD于Q，连接PG,先利用等边三角形的性质求出PQ、PG及∠PGE，当移动到点时，求得旋转角和点P旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结合图形可求得所得图案的周长．【详解】如图，过点作垂足为

是边长为的正方形模具的中心，同理：与之间的距离为与之间的距离为与之间的距离为．答：图案的周长为．如图，连接过点作，垂足为

是边长为的等边三角形模具的中心，．当三角形向上平移至点与点重合时，由题意可得：绕点顺时针旋转使得与边重合绕点顺时针旋转至．同理可得其余三个角均为弧长为的圆弧，图中的虚线即为所画的草图，∴．答：雕刻所得图案的草图的周长为．【点睛】本题考查了图形的平移与旋转、等边三角形的性质、解含30º角的直角三角形、图形的周长等知识，解答的关键是熟练掌握图形平移和旋转过程中的变化特征，结合基本图形的性质进行推理、探究、发现和计算．5．（2020·江苏连云港·中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．

（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．（参考数据：，，）【答案】（1）27.4秒；（2）0.7m；（3）7.6秒【分析】（1）先根据筒车筒车每分钟旋转的速度计算出筒车每秒旋转的速度，再利用三角函数确定，最后再计算出所求时间即可；（2）先根据时间和速度计算出，进而得出，最后利用三角函数计算出，从而得到盛水筒距离水面的高度；（3）先确定当在直线上时，此时是切点，再利用三角函数得到，，从而计算出，最后再计算出时间即可．【详解】（1）如图1，由题意得，筒车每秒旋转．连接，在中，，所以．所以（秒）．答：盛水筒首次到达最高点所需时间为27.4秒．

（2）如图2，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时．所以．过点作，垂足为，在中，．．答：此时盛水筒距离水面的高度．（3）如图3，因为点在上，且与相切，所以当在直线上时，此时是切点．连接，所以．在中，，所以．在中，，所以．所以．所以需要的时间为（秒）．答：从最高点开始运动，7.6秒后盛水筒恰好在直线上．【点睛】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键．1．【问题提出】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：（1）如图1，中，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为；【问题探究】（2）如图2，已知和都是等腰直角三角形，．，在直线上运动时，求的最小值；【拓展应用】（3）如图3，是某公园的示意图，是三处栅栏，是该公园附近的一条道路（宽度不计），半圆及其内部是一个带舞台的广场．已知，所对的圆心角为，与所在的圆相切于点C，点E、G在上，点F、H在上，点M在上，矩形是一条河流在该公园内的一段（），其中半圆的直径为，，河岸离的距离为，河宽为，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥，使得与之和最短，求出此时的长．（结果保留根号）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）如图所示，过点E作于D，作点A关于的对称点，连接，则，，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，证明，求出，则，，则由勾股定理可得，即的最小值为；（2）如图所示，连接，过点D作于G，交直线于，先得到；可证明四边形是平行四边形，得到，，则；再证明点D在与平行，且与之间的距离为的直线上，过点D作分别交直线于M、N，则点D在直线上运动，证明四边形是平行四边形，得到，则；如图所示，作点B关于直线的对称点，连接，则，，可得，当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，即可得到的最小值为；（3）如图所示，过点M作于R，则四边形是矩形，可得，将点P沿着垂直于的方向平移到，使得，则四边形是平行四边形，可得；如图所示，以为直径画圆，圆心设为O，连接，可得四边形是平行四边形，则，，即可证明四边形是平行四边形，得到；过点C作交延长线于I，在上取一点使得，则即为所在圆圆心，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到；如图所示，连接，可得当最小时，最小，进而推出当五点共线时有最小值，最小值为；过点O作于K，则四边形是矩形，则，，，得到，则的最小值为米．设此时与交于V，与交于W，证明，可得，则，即．【详解】解：（1）如图所示，过点E作于D，作点A关于的对称点，连接，∴，，∴，∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，∵，，∴，∴，∴，∵E是的中点，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：；（2）如图所示，连接，过点D作于G，交直线于，∵和都是等腰直角三角形，．，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∴；∵，即点D到直线的距离为定值，∴点D在与平行，且与之间的距离为的直线上，过点D作分别交直线于M、N，则点D在直线上运动，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，如图所示，作点B关于直线的对称点，连接，∴，，，∴，∵，∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，∴的最小值为；（3）如图所示，过点M作于R，则四边形是矩形，∴，将点P沿着垂直于的方向平移到，使得，∴四边形是平行四边形，∴；如图所示，以为直径画圆，圆心设为O，连接，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，∴四边形是平行四边形，∴；过点C作交延长线于I，在上取一点使得，∵与所在的圆相切与点C，∴的圆心在射线上，又∵所对的圆心角为，∴即为所在圆圆心，∵，∴四边形是矩形，∴，设，则，∵，∴，∴，∴；如图所示，连接，∵，∴当最小时，最小，∵，，∴，∴当五点共线时有最小值，最小值为；过点O作于K，则四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴的最小值为米．设此时与交于V，与交于W，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定等等，解题的关键在于构造将军饮马模型，确定取得最值的情形．2．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．图1图2(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离034．竖直高度根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________；(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则____（填）；(3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？【答案】(1)，(2)(3)不能，见详解【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；（2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可；（3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可．【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，，，解得∶，故答案为∶，；（2），当时∶，解得∶或(不合题意，舍去)；（米），当时∶，解得∶或(不合题意，舍去)；故答案为∶；（3）当时即她在水面上无法完成此动作，她当天的比赛不能成功完成此动作．3．如图，在平面直角坐标系中，，，嘉琪用手机设计了动画，光点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右匀速运动；光点Q同时从点B出发，在点P的正下方沿抛物线运动，设运动时间为t，当时，P、Q第一次相遇．

(1)①P、Q第一次相遇时，点P的坐标为________；②求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)当P、Q相遇后，点P的运动保持不变，点Q沿与形状相同的抛物线（如图）运动，点Q仍在点P的正下方，再次相遇时同时停止运动．当时，光点Q运动到抛物线的最低点，求点P、Q在运动的整个过程中，距离不超过2的时间；(3)在（2）的条件下，P、Q运动结束后，嘉琪用手机截图、后，发现屏幕上有一个黑点K（位置固定），刚好落在平面直角坐标系的位置，嘉琪通过手机触屏功能将与横向、纵向同时放大a倍，使点K落在或上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的a的值．【答案】(1)①②解析式：，顶点坐标(2)点、在运动的整个过程中，距离不超过2的时间为秒；(3)的值为或．【分析】（1）①由，可得、第一次相遇时，点的坐标为；②用待定系数法得抛物线的解析式解析式为；即可得物线的顶点坐标是；（2）设抛物线的解析式为，用待定系数法可得抛物线的解析式为，分别求出当在抛物线上，点、距离不超过2的时间和当在抛物线上，点、距离不超过2的时间，再相加即可；（3）由抛物线的解析式为，抛物线的解析式为，可知将与横向、纵向同时放大倍后，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，设放大倍后，抛物线的解析式为，用待定系数法可得放大倍后，抛物线的解析式为，把代入得，方程无实数解，故不可能在放大倍后的抛物线上；同理可得放大倍后，抛物线的解析式为，把代入可解得或．【详解】（1）解：①，，、第一次相遇时，点的坐标为；故答案为：；②把，代入得：，解得：，抛物线的解析式解析式为；，物线的顶点坐标是；（2）解：设抛物线的解析式为，当时，光点运动到抛物线的最低点，，，，把代入得：，解得：，抛物线的解析式为，当在抛物线上，点、距离为2，则，解得：或（不符合题意，舍去），当在抛物线上，点、距离不超过2的时间为（秒；当在抛物线上，点、距离为2，则，解得：或，由对称性可知，停止运动时，的横坐标为9，当在抛物线上，点、距离不超过2的时间为（秒；点、在运动的整个过程中，距离不超过2的时间为（秒；（3）解：由（1）（2）知，抛物线的解析式为，抛物线的解析式为，将与横向、纵向同时放大倍后，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，设放大倍后，抛物线的解析式为，将代入得：，，，，放大倍后，抛物线的解析式为，把代入得：，方程无实数解，不可能在放大倍后的抛物线上；同理设放大倍后，抛物线的解析式为，将代入得：，，，，放大倍后，抛物线的解析式为，把代入得：，解得或，综上所述，的值为或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，动点问题，位似变换等知识，解题的关键是读懂题意，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关相等的长度．4．流感主要的发病季节在春季，因为春季正值季节的交换，气候温差大，使人的身体抵抗能力降低，从而引起流感的发生，所以我们要有健康的生活意识，时刻关注自己身体的变化情况，积极地进行预防，某地发生流感，第x天（）的新增病人y（人）如下表所示：x1234……910y4112031……116139(1)前10天流感发病人数符合二次函数，根据上表，求出二次函数的解析式；(2)将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线如图一所示，与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴交于点C．则该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图二，在（2）的抛物线中，点Q是线段上的动点，连接，过点O作，在射线上取一点N，使得，连接，，求周长的最小值．【答案】(1)(2)或(3)周长的最小值为：【分析】（1）把，代入，再利用待定系数法求解解析式即可；（2）把先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线为，可得抛物线的对称轴为直线，且对称轴与轴的交点为，，，，过作，交对称轴于，交于，则为的外接圆圆心，且的解析式为，与对称轴的交点为，满足，此时半径为，从而可得P的坐标，由对称性可得在轴的上方时的坐标．（3）如图，取，连接，作关于的对称点，连接，过作轴于，延长交轴于，证明，可得，在上运动，当在上时，，此时最短，即的周长最短，记，的交点为，而，再求解，从而可得答案．【详解】（1）解：把，代入可得：，解得：，∴抛物线为：（2）存在，理由如下：把先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线为，∴抛物线的对称轴为直线，且对称轴与轴的交点为，令，解得，，∴，，令，则，∴，∴，如图，过作，交对称轴于，交于，则为的外接圆圆心，且的解析式为，∴，∴与对称轴的交点为，满足，此时半径为，∴，∴，由对称性可得在轴的上方时，．（3）如图，取，连接，作关于的对称点，连接，过作轴于，延长交轴于，∵，，，∴，而，∵，∴，∴，∴，∴，∴在上运动，当在上时，，此时最短，∴的周长最短，记，的交点为，而，由，则，∴，设，则，，∴，解得，由对称性可得：，而，∴，∴，同理可得：，∴，，，∴，∴，∵，∴周长的最小值为：．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，抛物线与坐标轴的交点，三角形的外接圆的确定，圆周角定理的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，点的运算轨迹，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，本题难度大，计算量大，属于中考压轴题．5．如图，甲、乙分别从，两点同时出发，甲朝着正北方向，以每秒3个单位长度的速度运动；乙朝着正西方向，以每秒4个单位长度的速度运动．设运动时间为秒．规定：秒时，甲到达的位置记为点，乙到达的位置记为点，例如，1秒时，甲到达的位置记为，乙到达的位置记为（如图所示）；2.5秒时，甲到达的位置记为等等．容易知道，两条平行且相等的线段，其中包含有相同的方位信息．所以，在研究有关运动问题时，为研究方便，我们可把点或线段进行合适的平移后，再去研究（物理上的相对运动观，就是源于这种数学方法）．现对秒时，甲、乙到达的位置点，，按如下步骤操作：第一步：连接；第二步：把线段进行平移，使点与点重合，平移后，点的对应点用点标记．解答下列问题：(1)【理解与初步应用】当时，①利用网格，在图中画出，经过上述第二步操作后的图形；②此时，甲在乙的什么方位？（请填空）答：此时，甲在乙的北偏西（其中___________），两者相距___________个单位长度．(2)【实验与数据整理】补全下表：的取值123点的坐标（_______，___________）（___________，___________）（___________，___________）(3)【数据分析与结论运用】①如果把点的横、纵坐标分别用变量x，y表示，则y与x之间的函数关系式为___________．②点的坐标为___________．(4)【拓展应用】我们知道，在运动过程中的任意时刻，甲相对于乙的方位（即，点相对于点的方位）与相对于点B的方位相同．这为我们解决某些问题，提供了新思路．请解答：运动过程中，甲、乙之间的最近距离为___________个单位长度．【答案】(1)①作图见解析部分；②，(2)，6，3，9，，(3)①，②（5，10.5）(4)【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②利用勾股定理，解直角三角形解决问题；（2）分别求出，的长，可得结论；（3）①设，，消去，可得结论；②代入（2）中式子，可得结论；（4）根据垂线段最短，构建一次函数，确定交点坐标，利用两点之间距离公式求解．【详解】（1）解：①图形如图所示：②时，，，．此时，甲在乙的北偏西（其中，两者相距个单位长度．故答案为：，；（2）解：时，，时，，．故答案为：，6，3，9，，；（3）解：①由（2）可知，，，．故答案为：；②；（4）解：由题意，，当直线时，的值最小，此时过点的直线的解析式，由，解得，．，，，甲、乙之间的最近距离为个单位．故答案为：．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．今年2月13日，21世纪以来第20个指导“三农”工作的中央一号文件《中共中央国务院关于做好2023年全面推进乡村振兴重点工作的意见》发布，体现了国家对“三农”的重视．实际上在古代，智慧的劳动人民有很多发明创造．如图即为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题：(1)若，求的度数．(2)若线段与交于点C，，，求的半径．(3)若的半径为6，，求的长．【答案】(1)(2)的半径为．(3)【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据圆周角定理得到，等量代换证明结论；（2）设的半径为r，根据勾股定理列出关于r的一元二次方程，解方程得到答案．（3）如图，连接，过作于，由（1）得：，而的半径为6，，可得，则，设，则，可得，，，，再利用勾股定理可得答案．【详解】（1）解：连接，∵与相切，∴，∴，∵，∴，∴，由圆周角定理得：，而，∴；（2）设⨀O的半径为r，，，则，在中，，即，解得：，即的半径为．（3）如图，连接，过作于，由（1）得：，而的半径为6，，∴，∴，设，则，∴，∴，∴，，，∴，∵为直径，∴，∴．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．7．某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，然后把代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的质量，知识小链接：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．(1)求可变电阻与人的质量之间的函数关系；(2)用含的代数式表示；(3)当电压表显示的读数为0.75伏时，求人的质量．【答案】(1)(2)(3)70【分析】（1）设可变电阻与人的质量之间的函数关系为，直接用待定系数法求解即可；（2）由题意可得，，再结合（1）的解析式，求解即可；（3）将代入，计算即可．【详解】（1）解：设可变电阻与人的质量之间的函数关系为，把（0，260），（130，0）代入得，，解得，可变电阻与人的质量之间的函数关系为；（2）由题意得，可变电阻两端的电压之和=电源电压-电表电压，即可变电阻两端的电压之和，，串联电路中电流处处相等，，定值电阻的阻值为40欧，，，整理得；（3）当时，.【点睛】本题以物理中的电路问题为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式即代入求值，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．8．下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务：年*月*日星期日利用一次函数知识解决化学问题今天我看到一则化学实验材料：如图1，在一支的试管中充满了和的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发生化学反应．

①当和的体积比为时，和恰好完全反应．如果反应后仍有剩余，则会和水继续发生化学反应．②化学反应②中参与反应的与生成的的体积比为．根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题．设原混合气体中的体积为，的体积为，完全反应后试管内乘余气体的体积为．情况一：由反应①可知，当和的体积比为时，和恰好完全反应，此时．情况二：当时