第四章答案概率论与数理统计试题答案

习题4-1数学期望一、填空题1．若离散型随机变量X的分布为P(X=k)=（k=1,2……），则E(X)=。答案：2解答过程：令2．已知随机变量X～B(100，），即P（X=k）=C（k=0,……100）则随机变量Y=2X+5的数学期望E(Y)=答案：EY=2EX+5=1053.设（X，Y）的概率密度为：A0＜x＜1，0＜y＜xf(x,y)=0其他则A=，E(XY)=答案：A=2E（XY）=二、单项选择题1．设连续型随机变量X的分布函数为：0x＜0F（x）=x30≤x≤1x＞1则：E(X)=（）（a）x4dx（b）3x3dx（c）x4dx+xdx（d）3x3dx答案：b因为2．设X为随机变量，则E（3X－5）=（a）3E(X)+5（b）9E(X)－5（c）3E(X)－5（d）3E(X)答案：c3．设随机变量X～B(n,0.3)，则DX满足（）（a）DX＞EX2（b）DX＜EX2（c）DX=EX2（d）DX=0答案：b4．设随机变量X的密度函数为20＜x＜f(x)=0其他则E（2X2+1）=（）（a）0（b）（c）2（d）答案：c三、计算题1．罐中有5颗围棋子，2颗白子，3颗黑子，如果有放回地每次任取一子，共取3次，则3次中取到的白子次数是一个离散型随机变量，试写出这个随机变量的概率函数，并计算它的期望解：设X表示取到的白子次数，X的概率函数为：X～B（3,）EX=np=3×==1.2DX=npq=3××==0.722．设随机变量X的概率分布为如下表所示X－2012P求①E（X）②E（2X2+1）解：（1）E（X）=－（2）E（2X2+1）=3．设连续型随机变量X的概率密度为：f(x)=0＜x＜0其它已知P（X＞1）=，试确定常数θ的值，并计算E(X)。解：所以θ=2，EX=1.5；4．二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为：x+y0≤x≤10≤y≤1f(x,y)=0其他求E（X）解：E（X）习题4-2方差一、填空题1．设连续型随机变量X的概率密度为：f(x)=(－∞＜x＜+∞)则X的数学期望E(X)=，方差D(X)=答案：EX=1，DX=2．设X为一随机变量，若E(X)=1，D（）=1，则E（X－1）2=。答案：43．设随机变量X的期望为u，均方差δ＞0，则当a=，b=时，E（a+bX）=0，D（a+bX）=1答案：a=±，b=±4．设连续型随机变量X的概率密度为：ax+b0≤x≤1f(x)=0其他且D(X)=，则a=b=E(X)=答案：a=2or－2，b=2orb=0EX=or5．设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量1X＞0Y=0X=0－1X＜0则方差D(Y)=_________答案：二、单项选择题1．设随机变量X的期望EX存在，且EX=a，EX2=b，c为一常数，则D（cX）=（）(a)c(a－b2)(b)c(b－a2)(c)c2(b－a2)(d)c2(a－b2)答案：c2．设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为6和3，则随机变量2X－3Y的方差是（）（a）51（b）21（c）－3（d）36答案：a三、计算题1．对上节计算题的第一小题中的随机变量，计算其方差。设X表示取到的白子次数，X的概率函数为：X～B（3,）EX=np=3×==1.2DX=npq=3××==0.722．某公共汽车站每隔10分钟有一辆车经过，某一乘客到车站的时间是任意的，该乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量X，已知X的概率密度为：0＜x＜10f(x)=0其他求X的数学期望与均方差解：因为是均匀分布，故EX=5DX=3．设连续型随机变量X的概率密度为：2(1－x)0＜x＜1f(x)=0其他求Y1=X3及Y2=e-X的期望与方差。解EY1==0.1，故DY1=0.026，EY2==0.736,故DY2=0.0264．证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4。解：随机变量X是0-1分布习题4-3协方差与相关系数一、填空题1.设X、Y是两个随机变量，已知EX=2，EX2=20，EY=3，EY2=34，XY=0.5则E（3X+2Y）=，D（3X+2Y）=答案：E（3X+2Y）=12D（3X+2Y）=3642.若随机变量X与Y相互独立，则一定有XY=。答案：XY=0二、单项选择题1．如果随机变量X与Y满足D（X+Y）=D（X－Y），则下列式子正确的是（）（a）X与Y相互独立（b）X与Y不相关（c）DY=0（d）DX·DY=0答案：b2．若随机变量X和Y的协方差Cov（X，Y）＞0，则XY满足（）（a）XY＜0（b）XY＞0（c）XY≥0（d）XY=0答案：b3．对任意随机变量X、Y，有D（X+Y）=（）（a）D（X）+D（Y）（b）DX+DY－2Cov（X，Y）（c）D(X)+DY+2Cov（X，Y）（d）DX+DY+Cov（X、Y）答案：c三、计算题1．设随机变量（X，Y）只能取（－1，0），（－1，1）和（0，1）三组数，且取这三组数的概率分别为、和，计算X、Y的相关系数，并问X、Y是否不相关？是否独立？解：XY-1001/201/211/31/61/25/61/6XY==即X，Y相关，所以X、Y不独立2．设（X、Y）的联合概率密度为：0≤x≤10≤y≤2f(x,y)=0其他求X、Y的期望与方差，协方差与相关系数。解：EX==0.56DX=0.080EY=1.22DY=0.284Cov（X、Y）=－0.012XY≈－0.083．设随机变量Y服从区间[0，2π]上的均匀分布。令X1=sinY，X2=cosY，求XX解：习题4-4大数定律与中心极限定理1．星期一上午来到某画展陈列室的顾客人数是一个随机变量，其分布未知。已知(人)，(人)，试用车贝谢夫不等式估计顾客数在8到28人之间的概率是多少？解：2.设是相互独立的随机变量，且都服从参数的泊松分布，记，试用中心极限定理求.解：3.已知某品种小麦麦穗粒数的数学期望是20，标准差是15，求在该品种100个麦穗中，麦粒总数在1800到2200粒之间的概率.解：4.每次投篮命中率为0.4，求600次投篮中命中次数大于250次的概率.解：5．一食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1，1.2，1.5（元）各个值的概率分别为0.3,0.2,0.5。某天售出300只蛋糕。1）求这天的收入至少400元的概率；2）求这天售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。解：（1）11.21.5P0.30.20.5（2）6．某大型商场每天接待顾客10000人，设每位顾客的消费额(元)服从均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的。试求1）该商场的日消费额(元)与平均日消费额之差的绝对值不超过2万(元)的概率；2)如果以95%的概率保证该商场的日消费额在400万元以上，那么光顾该商场的顾客数至少为多少？解：（1）（2）故第四章复习题一、填空题1．已知离散型随机变量X的概率函数为：X－2－101P（X=xk）则E(X)E()答案：EX=－EX2=2．对球直径作测量，设其直径X服从[a,b]上的均匀分布，则球的体积Y的数学期望E(Y)=。答案：EY=(+b)(2+b2)3．已知X服从均匀分布，密度函数为：0＜x＜2πf(x)=0其他;则E（sinX）=答案：04.若有D(X)=25，D(Y)=36，XY=0.4，则D(X+Y)=，D(X－Y)=。答案：85，37二、单项选择题1．设随机变量X的期望EX为一非负值，且E（－1）=2，D（－1）=，则EX=（）。（a）2（b）1（c）0（d）答案：a2．设随机变量X的期望EX，方差DX及EX2都存在，则一定有（）（a）EX＞0（b）EX2＞EX（c）（EX）2≥EX2（d）DX≥0答案：d3．若随机变量X的期望EX存在，则E[E（EX）]=（）（a）0（b）X（c）EX（d）3EX答案：c4．设X为一随机变量，若D（10X）=10，则DX=（）（a）（b）1（c）10（d）100答案：a5．对任意随机变量X、Y，有E（XY）=（）（a）EX·EY（b）EX·EY+Cov（X，Y）（c）EX·EY－Cov（X，Y）（d）EX·EY－2Cov（X，Y）答案：b6．设X、Y为随机变量，则Cov（3X、2Y）=（）（a）Cov3X+Cov2Y（b）Cov3X－Cov2Y（c）36Cov（X，Y）（d）6Cov（X，Y）答案：d三、计算题1．设随机变量X的概率密度为ax2+bx+c0＜x＜10f(x)=0其它已知EX=0.5DX=0.15求a、b、c的值解因为解之得．2．某保险公司设置某一险种，规定每一保单有效期为一年，有效理赔一次，每个保单收取保费500元，理赔额为10000元，据估计每个保单索赔概率为0.05，设公司共卖出这种保单800个，求该公司在该险种上获得的期望利润。解:设随机变量一年索赔的保险单数公司在该险种上获得的利润公司在该险种上获得的平均利润（元）3．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值为10g，标准差为1g，100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少（假设每个螺丝钉的重量都不受其他螺丝钉重量的影响）？解：4．一批零件中有9个合格品与3个废品，在安装机器时，从这批零件中任取1个，如果取出的是废品就不再放回去。求在取得合格品以前，已经取出的废品数的数学期望和方差。解：X0123P3/49/449/2201/2205．设随机变量X的分布函数为0x＜－1F（x）=a+barc(sinx)－1≤x＜11x≥1试确定常数a,b，并求EX及DX。解：a=，b=，EX=0，DX=6．证明对于任何常数c，随机变量X有DX=E(X－c)2－(EX－c)2证明：7．设随机变量X服从参数λ=1的泊松分布，Y~b（4，0.8），已知D（X+Y））=2.6，计算它们的相关系数XY。解：8．两随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，计算X