自考概率论与数理统计基础知识

第一部分三角函数表三角函数表反三角函数表SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0第二部分极限极限数列极限：刘徽的“割圆术”，设有一个半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法之下，要计算其面积：方法：先做圆的内接正六边形，其面积记为SKIPIF1<0，再做一内接正12边形，记其面积为SKIPIF1<0再做一内接正24边形，记其面积为SKIPIF1<0,如此逐次将变数加倍。。。得到数列SKIPIF1<0，则当n无穷大时，有SKIPIF1<0函数极限：SKIPIF1<0常用的极限公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0常用的几个公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0等比数列公式：是等比数列,SKIPIF1<0SKIPIF1<0当q<1时，等比数列的无穷项级数和为SKIPIF1<0等差数列公式：SKIPIF1<0或者：SKIPIF1<0例设二维随机变量SKIPIF1<0的分布函数为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0求：（1）常数a,b,c;SKIPIF1<0的概率密度.解：（1）由分布函数的性质知SKIPIF1<0从上面第二式得SKIPIF1<0,从上面第三式得SKIPIF1<0,再从上面第一式得SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0从而概率密度为SKIPIF1<0第三部分导数导数含义函数值的增长与自变量增长之比的极限。重要的求导公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0导数的四则运算若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在点SKIPIF1<0处可导，则有(ⅰ)SKIPIF1<0；(ⅱ)SKIPIF1<0；(ⅲ)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．例题：SKIPIF1<0解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0在概率中的应用主要是知道分布函数求密度函数，需要对分布函数求导数。．3复合函数的求导链式法则两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．SKIPIF1<0在利用复合函数的求导法则解决求导问题时，应该注意以下几点：(1)准确地把一个函数分解成几个比较简单的函数；(2)复合函数求导后，必须把引进的中间变量换成原来的自变量．利用复合函数的求导法则求导的步骤如下：(1)从外到里分层次，即把复合函数分成几个简单的函数；(2)从左到右求导数，即把每一个简单函数对自身的自变量的导数求出来；(3)利用链式求导法则，从左到右作连乘．例题：SKIPIF1<0解函数SKIPIF1<0可分解为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0由复合函数求导法则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0主要在第二章第四节里面用第四部分原函数和不定积分原函数：已知SKIPIF1<0是一个定义在区间SKIPIF1<0内的函数，如果存在着函数SKIPIF1<0，使得对SKIPIF1<0内任何一点SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0那么函数SKIPIF1<0就称为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的原函数。例如：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的原函数。不定积分在区间SKIPIF1<0内，函数SKIPIF1<0的带有任意常数项的原函数称为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的不定积分，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。其中：SKIPIF1<0称为积分号，SKIPIF1<0称为被积函数，SKIPIF1<0称为被积表达式，SKIPIF1<0称为积分变量。基本积分公式SKIPIF1<0由基本微分公式可得基本积分公式eq\o\ac(○,1)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)，SKIPIF1<0eq\o\ac(○,2)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，eq\o\ac(○,3)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,4)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,5)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,6)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,7)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,8)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,9)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,10)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,11)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,12)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,13)SKIPIF1<0.这些基本公式是求不定积分的基础，应熟记．求不定积分的方法第一类换元法先看下例：SKIPIF1<0回忆：SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定理1（第一类换元法）：SKIPIF1<0这种方法称为凑微分法．（将公式中的箭头作出动态效果）例1求下列不定积分1、SKIPIF1<0，2SKIPIF1<0解1、SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<02、SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0=SKIPIF1<0注意：SKIPIF1<0由上面的解题可发现，变量SKIPIF1<0只是一个中间变量，在求不定积分的过程中，只是起过渡作用，最终都要换回到原来的积分变量。因此，在较熟练之后，可以采用不直接写出中间变量的做法。例如：SKIPIF1<0SKIPIF1<0通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0等等．第二类换元法SKIPIF1<02、分部积分法利用复合函数微分法则导出了换元积分法，它能解决许多积分问题，但仍有许多类型的积分用换元法也不能计算，例如SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0等等本节我们用乘积的微分公式导出另一种重要的积分方法——分部积分法，可以解决许多积分问题．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是两个可微函数，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．两边积分，可得SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．分部积分公式例子：SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、特殊情况1、用分部积分法计算．不过有时需要多次使用分部积分法．例6求SKIPIF1<0．解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．小结：1．对可微函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，有分部积分公式：SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0容易求出，且SKIPIF1<0比SKIPIF1<0易于积分时．利用分部积分公式易于计算．2．要记住适合使用分部积分法的常见题型及凑微分dSKIPIF1<0的方式．如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，使用分部积分法时进入微分号的顺序一般为：指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数。第五部分定积分的基本性质定积分性质性质1SKIPIF1<0．这个性质可推广到有限多个函数的情形．性质2SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）．性质3不论SKIPIF1<0三点的相互位置如何，恒有SKIPIF1<0．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．牛顿－莱布尼茨公式定理2（牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式）如果函数SKIPIF1<0是连续函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的一个原函数，则SKIPIF1<0定积分的计算1．定积分的分部积分法设函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均在区间SKIPIF1<0上有连续的导数，由微分法则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．等式两边同时在区间SKIPIF1<0上积分，有SKIPIF1<0．定积分的分部积分公式，例5设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，证明：(1)若SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0．小结：1．定积分换元积分定理：SKIPIF1<0．注意：换元必换限，下限对下限，上限对上限2．定积分分部积分法：设函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均在区间SKIPIF1<0上有连续的导数，则有SKIPIF1<0．3．对称区间上的积分：设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则有(1)若SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0．广义积分1．设SKIPIF1<0在积分区间上连续，定义SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．变上限的积分如果SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续，则有SKIPIF1<0．例一设随机变量SKIPIF1<0的概率密度为SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的分布函数SKIPIF1<0.解当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的分布函数为SKIPIF1<0例二设连续型随机变量SKIPIF1<0的分布函数为SKIPIF1<0求（1）SKIPIF1<0的概率密度SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0落在区间SKIPIF1<0的概率.解（1）SKIPIF1<0（2）有两种解法：SKIPIF1<0或者,SKIPIF1<0例三设某种型号电子元件的寿命SKIPIF1<0（以小时计）具有以下的概率密度SKIPIF1<0现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立）,问任取1只,其寿命大于1500小时的概率是多少？任取4只,4只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少？任取4只,4只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少？解（1）SKIPIF1<0.（2）各元件工作相互独立,可看作4重贝努利试验,观察各元件的寿命是否大于1500小时.令SKIPIF1<0表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数,则SKIPIF1<0～SKIPIF1<0,所求概率为SKIPIF1<0.所求概率为SKIPIF1<0.第六部分偏导数求法1．偏导数的定义设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域有定义，函数z在点P(x,y)处对变量x的偏导数和对变量y的偏导数分别定义为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0更多元的函数可以类似地定义偏导数．2．偏导数的计算对一个自变量求偏导数时，只要把其它的自变量都当常数就行了．因此，一元函数的求导公式与导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数．3．高阶偏导数对函数z=f(x,y)的偏导数再求偏导数就得到高阶偏导数，例如SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0称为混合偏导数．类似地可以定义更高阶的偏导数．注意：1、更多元的函数可以类似地定义偏导数．2、计算法：对一个自变量求偏导时，只要把其他自变量都当常数就行求SKIPIF1<0时，把SKIPIF1<0看作常量，而对SKIPIF1<0求导数；求SKIPIF1<0时，把SKIPIF1<0看作常量，而对SKIPIF1<0求导数。例1求SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的偏导数。解法1：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0解法2：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0主要用于第三章的二维随机变量的分布函数的求导例一设(X,Y)的概率密度为SKIPIF1<0求：关于X及关于Y的边缘概率密度,并判断X与Y是否相互独立.解：关于X的边缘概率密度SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以X与Y不独立.第七部分二重积分的性质由于二重积分的定义与定积分的定义是类似的，因而二重积分有与定积分类似的性质，叙述于下（假定所出现的二重积分均存在）：性质1被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即SKIPIF1<0(k为常数)．特别，令f(x,y)≡1，则有SKIPIF1<0（D的面积）．性质2函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即SKIPIF1<0．性质3如果区域D可以划分为D1与D2，其中D1与D2除边界外无公共点，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0．例1设X与Y是两个相互独立的随机变量,X在[0,1]服从均匀分布,Y的概率密度为SKIPIF1<0求:(1)(X,Y)的概率密度；(2)SKIPIF1<0;(3)SKIPIF1<0.解:(1)由已知X与Y相互独立,(X,Y)的概率密度为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2设SKIPIF1<0的概率密度为SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的分布函数SKIPIF1<0.解:由定义5知SKIPIF1<0,当x>0,y>0时,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0例3设X的概率密度为SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4设（X,Y）服从在D上的均匀分布,其中D为x轴,y轴及x+y=1所围成，求D(X).解:SKIPIF1<0SKIPIF1<0D(X)=SKIPIF1<0.二、二重积分的计算按照二重积分的定义计算二重积分，只对少数特别简单的被积函数和积分区域是可行的，对一般的函数和区域，这种“和式的极限”是无法直接计算的．下面我们介绍将二重积分转化为两次定积分来计算的方法，这是计算二重积分的一种行之有效的方法．1．X—型区域上二重积分的计算设D是平面有界闭区域，若穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点（如图示3），则称D为X—型区域．由图可知，此时区域D可以用不等式表示为D：SKIPIF1<0．入口曲线出口曲线SKIPIF1<0入口曲线出口曲线图3图3在区间[a，b]上任取一点x，过点x作与x轴垂直的直线，它与D相交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，aSKIPIF1<0xSKIPIF1<0b．SKIPIF1<0经过以上两步计算，SKIPIF1<0相当于在区域SKIPIF1<0上累加了一遍。因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（1）由此可见，二重积分可以化为两次定积分来计算．第一次对变量y积分，将x当作常数，积分区间是区域D的下边界的点到对应的上边界的点．第二次对x积分，它的积分限是常数．这种先对一个变量积分，再对另一个变量积分的方法，称为累次(或二次)积分法．公式（1）是先对y后对x的累次积分公式，通常简记为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2．Y—型区域上二重积分的计算设D是平面有界闭区域，若穿过D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点（如图示4），则称D为Y—型区域．由图可知，此时区域D可以用不等式表示为D：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0图4利用与前面相同的方法，可得先对x后对y的累次积分公式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）通常简记为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（3）3．一般区域上二重积分的计算如果区域D不属于上述两种类型，则二重积分不能直接利用公式(1)、(3)来计算．这时可以考虑将区域D划分成若干个小区域，使每个小区域或是X—型区域、或是Y—型区域．在每个小区域上单独算出相应的二重积分，然后利用二重积分对区域的可加性即可得所求的二重积分值．计算二重积分SKIPIF1<0其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域。解法1.将D看作X–型区域,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作直线平行于SKIPIF1<0轴，交区域下边界为SKIPIF1<0，上边界为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0解法2.将D看作Y–型区域,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作直线平行于SKIPIF1<0轴，交区域左边界为SKIPIF1<0，右边界为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2计算二重积分SKIPIF1<0，其中D为矩形域D：1SKIPIF1<0xSKIPIF1<02，0SKIPIF1<0ySKIPIF1<01．解采用先y后x的积分次序，则SKIPIF1<0．注意：例2中的二重积分若采用先x后y的积分次序，则SKIPIF1<0，函数xexy先对x积分时需要用分部积分法来计算，这将使计算工作量增加（请读者自己完成，作一比较）．由此可见，计算二重积分要根被积函数选择适当的积分次序．例3计算积分SKIPIF1<0，其中D是由抛物线y2=x和直线y=x－2所围成的闭区域．xyy=x-222O-1yxyy=x-222O-1y2=x（1，-1）和（4，2）积分区域如图示5所示．D看作Y–型区域,采用先x后y的积分次序，则将区域D表示为D：y2SKIPIF1<0xSKIPIF1<0y+2，－1SKIPIF1<0ySKIPIF1<02．故有SKIPIF1<0SKIPIF1<0图5SKIPIF1<0图5SKIPIF1<0SKIPIF1<0．注意本例若D看作X–型区域，采用先y后x的积分次序，由于区域D的下边界曲线需要用分段函数表示：当x∈[0，1]时，SKIPIF1<0；当x∈[1，4]时，SKIPIF1<0．，将D划分为D1、D2两个部分区域(如图6)，其中xyy=x-221O-1yxyy=x-2