考研数学概率论与数理统计基础课

考研数学概率论与数理统计基础课研究目标：随机现象背后的客观规律研究手段：微积分工具—拿满分五个主题：1）如何处理复杂事件？P（A）2）如何求分布？求F（x），F（x,y）3）如何求数字特征？EXDX4）如何使用极限定理？n5）如何作估计？一、如何处理复杂事件？1.预备知识①随机试验（E,,,…,,….）【注】试验的可能结果的集合即为事件（A、B、…）②集合的运算、关系事件的运算关系2、古典概型求P（A）定义：E的样本空间中包含样本点则P（A）=【例】将n个球随意放入N（n≤N）个盒子中，每个盒子可放任意多球，求P{恰有n个盒子中各有一球}【分析】P=恰有n个，是哪n个无所谓【注】12个人回母校参加校庆，则P{生日全不相同}=。3.几何概型①引例—天上掉馅饼②定义：E的样本空间是一个可度量的几何区域，且每个样本点发生具有等可能性【样本点落入中某一可度量区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置、形状无关】，则【例】甲、乙两君子有约，上午9:00—10：--到校门口见面。等20分钟即离开。求P{相遇}【分析】设X,Y：{0≤X≤60，0≤Y≤60}A：{|X-Y|≤20}P（A）=4.重要公式求P①P（）=1-P（A）②P（A-B）=P（A）-P（AB）③P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）【注】当事件大于3个时，只考查1）两两互斥，（）则P=2）相互独立，P（AB）=P（A）P（B）A、B相互独立P=P（）=1-P（）=1-P（）1-P（）P（）…P（）=1-④（条件概率公式）⑤P（AB）=P（A）P（AB）=P（A）P（B）独立P（ABC）=P（AB）P（C|AB）=P(A)P(B|A)p(C|AB)6、全概率公式（全集分解公式）引例——一个村子与三个小偷的故事五P{失窃}=B（Ⅰ）选人 （Ⅱ）偷P（B|）—水平P（B）=P（B）=P（B（））=P（B）=P（B）+P（）P（）=P（）P（B|）⑦贝叶斯公式P（|B）=【例】有甲、乙两人射击，轮流独立对同一目标射击，P{甲命中}=（水平），P{乙命中}=（水平）甲先射击，谁先命中谁获胜，求甲、乙获胜的概率【分析】记P{甲获胜}=P{}=P（）+P（）+…=P（）+P（）P（）P（）+…==P{乙获胜}=1-P{甲获胜}=【注】当P{甲胜}=>P{乙胜}=二、如何求分布？1、基本概念①随机变量X=X（）定义在样本空间上，二取之于数轴上的函数X=X（）称为随机变量。 ②分布函数F（X）P{X≤x}让x取遍（动态过程） 数轴上（数量化）③离散型r.v—可能取值为有限个或可列无穷个（研究手段：分布律）分布律：F（X）P{X≤x}=如：x~F（x）=P{X≤x}④连续型r.v定义：对某一X，若非负可积函数f（x）（概率密度）,使（分布函数）F（x）=则称x为连续型r.v必连续2、重要分布（8个）①0—1分布（两点分布）Ber—x~Ber（1,p）②二项分布Ber—【注】n重伯努利试验（人为），则p{X=k}=k=0,1,2,…,n.则称x~（n,p）③几何分布（与几何无关！）Ber——“首中即停止”（等待型分布）记试验次数为X，则P{x=k}=pk=1,2,…④超几何分布（不是重点）N件产品，M件正品，任取n件，取到k个正品的p=?记正品个数为x，则p{x=k}=⑤泊松分布在某场合，某时间段内，源源不断的质点来流的个数X：p{x=k}=k=0,1,2,…EX=⑥均匀分布（与几何概型联系）若X在区间I上的任一子区间取值的概率与该子区间的长度成正比，则称x~U（I）也记x~f(x)=（两点可以取也可以不取）⑦指数分布（与③联系）（等待型分布）若x~f(x)=则称X~⑧正态分布若x~f(x)=则称x~N（）3、例题分析【例】已知某设备由若干零部件组成，其中有i个（i=0,1,2）非优质品零件的可能性相同，当设备有i个非优质品零件时，其使用寿命服从参数=i+1的指数分布，求设备使用寿命x的F（x）与f（x）【分析】记i=0,1,2且p（）=p（）=p（）=又，则欲求F（x）=P{X≤x}=p{X≤x,}===f(x)=F’(x)=三、如何求数字特征—数1.数学期望EX=①X离散型则EX=—合理的平均值②X连续型x~f(x)则EX=【注】Y=g(x)，求EYEY=2.方差DX=其中Y=DX=【注】又，利用性质，得DX=E=E=E-2EX·EX+3.协方差设DX，DY>0，称cov（X,Y）=E（X-EX）（Y-EY）为协方差=E（XY-XEY-YEX+EXEY）=EXY-EYEX-EXEY+EXEY=EXY-EXEY若Y=X，cov（X,Y）==DX4.相关系数由3，且进一步地，称为相关系数【例】设某商品每周的需求量X~u[10,30]，当商店进货数为[10,30]中的某一整数时，商店每售出一件商品可获利500元，1）若供大于求，则降价处理，每处理一件亏100元2）若供不应求，则从外调货，每件仅获利300元为使商店获利的期望值不少于9280元，求最少进货量。【分析】设进货量为a，利润Ma，则由于X~f(x)=则Ma===g(x)EMa(=Eg(x))==故a=21四、如何使用极限定理（n）（充分大）1.依概率收敛=a{}收敛于a（高等数学）设{}，n=1,2,3,…,X为r.v.（或a为一常数）恒有则称2、大数定律（n）充分大（频率收敛于概率）伯努利（了解），切比雪夫，辛钦“在一定条件下”平均值的稳定性3、中心极限定理（n）“不论，（）”只要写出“物以稀为贵”即为正态分布的精髓五、如何作估计？1、①总体与样本总体X—某全体研究对象的某一指标~F（）②只研究“简单随机样本”（简称“样本”）2、统计量1）取数据2）做加工原出3、矩估计EX（客观存在）（数据）【例】设总体X~f（x,）（未知）=求的矩估计量【分析】①（写出的）②EX====（算出的）③EX（估计量）4、最大似然估计1）写出似然函数：2）令=0【例】设x·其中（0<）为未知参数，利用以下样本值：3,1,3,0,3,1,2,3求的据估计值与