概率论与数理统计综合复习资料

概率论与数理统计综合复习资料《概率论与数理统计》综合复习资料

第一章

随机事件与概率一、填空题（请把答案填在题中横线上）：1．一个袋子中有5只黑球3只白球，从袋中任取两只球，若以表示：“取到的两只球均为白球”；表示：“取到的两只球同色”；表示：“取到的两只球至少有一只白球”。则

；

；

。2．一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为

；取到的两只球颜色相同的概率为

；取到的两只球至少有一个黑球的概率为

；取到的两只球没有黑球的概率为

。3．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，则：取到的是白球的概率为

；取到的是黑球的概率为

。

4．一个袋子中有5个新球3个旧球，从中取球两次，每次取一个（无放回），若以表示：“取到的两个球均为旧球”；表示：“取到的两个球恰有一个旧球”；表示：“取到的两个球至少有一个旧球”。则

；

；

。5．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。则第二次取出的是次品的概率为

；两次都取到正品的概率为

；第一次取到正品，第二次取到次品的概率为

；第一次取到次品，第二次取到正品的概率为

；恰有一次取到次品的概率为

；两次都取到次品的概率为

;恰有一次取到正品的概率为

；已知第一次取到的是次品，第二次取到正品的概率为

；已知第一次取到的是次品，第二次取到次品的概率为

。6．一批产品共有6件正品2件次品，从中任取两件，则：两件都是正品的概率为

；恰有一件次品的概率为

；两件都是次品的概率为

；至少取到一件次品的概率为

。7．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今由两人依次随机地各取一球，取后不放回，则：第二个人取得黄球的概率是

；两个人都取得黄球的概率是

；至少有一人取得黄球的概率是

。8．设一批产品中一、二、三等品各占50%、30%、20%，从中任取一件，结果不是一等品，则取到的是二等品的概率为

；取到的是三等品的概率为

。9．设对于事件、有，，，则：、同时出现的概率为

；、至少出现一个的概率为

。

10．设事件两两相互独立，满足条件：，，且已知，则

。

11．若事件、满足且，则=

。

12．设、为事件，，则

。

13．设事件与相互独立，已知，，则：=

；=

。

14．设事件、相互独立，已知，则

；

；

。

15．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为4/15，刮风（记作事件）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件）的概率为1/10。则：

；

；

。

16．已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，则：该产品是次品的概率为

；若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为

。17．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一只，则：（1）取到的是次品的概率为

；（2）若已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率为

。18．已知某批产品96%是合格品，用某中检验方法检验，是废品而误认为是合格品的概率为2%，是合格品而误认为是废品的概率为5%，现用这种方法检验一件产品为合格品，问这件产品确为合格品的概率为

。

19．甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，则（1）敌机被击中的概率

；（2）甲击中乙击不中的概率为

；（3）乙击中甲击不中的概率为

；（4）恰有一人击中敌机的概率

。20．三个人独立地解答一道难题，他们能单独正确解答的概率分别为1/5、1/3、1/4，则：此难题被正确解答的概率为

；恰有两个人正确解答的概率为

。

21.设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时被打破的概率为1/2，第二次落下时被打破的概率为7/10，第三次落下时被打破的概率为9/10，则透镜落下三次未打破的概率

。

二、选择题（请把唯一正确的选择填在题后的括号内）

1．设和是任意概率不为零的互斥事件，则下结论正确的是（

）。

()

()与不互斥

()

()与互斥

2．设随机事件和满足，则（

）。

()为必然事件

()

()

()

3．设和为任意两个事件，且，则必有（

）。

()

()

()

()

4．设和为任意两个事件，且，，则必有（

）。

()

()

()

()

5．设事件、、满足，则下列结论正确的是（

）。

()

()

()

()

6．对于任意概率不为零的事件和，下列命题肯定正确的是（

）。

()如果和互不相容，则与也互不相容；

())如果和相容，则与也相容；

()如果和互不相容，则和相互独立；

()如果和相互独立，则与也相互独立。

7．已知，，则（

）。

()

3/5

()

2/5

()

2/3

()

1/3

8．已知，，，则（

）。

()

0.6

()

0.7

()

0.8

()

0.9

9．设为随机事件，且，则必有（

）

（）

（）

（）

（）

10．甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是乙射中的概率是（

）。

()3/5

()5/11

()5/8

()6/11三、解答题1．设对于事件、有，，，求、至少出现一个的概率。2．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）两次都取到正品的概率；（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。

5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：（1）两件都是正品的概率；

（2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。6．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，（1）没有一台机床需要照看的概率；7．在某城市中发行三种报纸、，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅报的有20%，同时订阅及报的有10%，同时订阅及报的有8%，同时订阅及报的有5%，同时订阅、报的有3%，试求下列事件的概率：

（1）只订阅及报；（2）恰好订阅两种报纸。

8．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。9．已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1）

该产品是次品的概率；（2）

若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率。

10．有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。11．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。12．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；

（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。

13．有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人来迟的概率；

(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。14．有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回），试求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）两次都取到一等品的概率。

15．设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。16．甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：(1)敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。

17．已知，，，求。18．设，，，求。19．设事件、相互独立，已知，。求：20．设、为随机事件，且，，，求：（1）；（2）。

21．设事件、相互独立，已知，求：

（1）；（2）。

22．设事件相互独立，试证明：

（1）事件相互独立；

（2）事件相互独立；

（3）事件相互独立。

23．若，证明事件相互独立。第二章

随机变量及其分布一、填空题（请把答案填在题中横线上）：

1．已知随机变量的分布列为

0

1

2

3

0.1

0.2

0.4

则：=

。2．设的分布函数为，则

；

；的概率分布

。3．设的概率分布为，则

；

；的分布函数

。

4．设随机变量的概率密度为，则：系数=

；=

。

5．设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则=

。6．若随机变量且，则：

；

；

。7．设的概率分布为，则

；

；的分布函数

。

8．设为的分布函数。为使是某一随机变量的分布函数，则

。

9．设与独立同分布，且，若，则：服从

分布，即

。

10．已知随机变量且与相互独立，设随机变量，则

。11．设与相互独立，都服从[0，2]上的均匀分布，则

。

12．某人射击时，中靶的概率为2/3，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为

。

13．设每次试验成功的概率为2/3，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为

。二、选择题（请把唯一正确的选择填在题后的括号内）

1．设则随着的增大，概率(

)。保持不变

单调减少

单调增加

增减不定

2．设和均服从正态分布，记，，则（

）

对任何实数都有

对任何实数都有

仅对的个别值有

对任何实数都有

3．设为的分布函数。为使是某一随机变量的分布函数，则下列给定的各组数值中应取（

）。

4．设服从标准正态分布，其密度函数为，分布函数为，则对任意实数有（

）。

5．设随机变量的密度函数为，则常数C=(

)

3

4

1/4

1/36．设随机变量的密度函数为，则使成立的常数（

）。

7．设的概率分布为，则=(

)。

()

()

()

()8．设随机变量的密度函数为，则C=(

)。

1/2

3

2

1/3

9．某人射击时，中靶的概率为3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（

）。

()

()

()

()

10．设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为（

）。

11．设每次试验成功的概率为，则在3次重复试验中恰有1次成功的概率为（

）。

12．设每次试验成功的概率为，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为（

）。

()

()

()

()

13．设每次试验成功的概率为，则在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为（

）。

()

()

()

()14．设每次试验成功的概率为，则在3次重复试验中全部成功的概率为（

）。

15．设的概率密度，则

（

）。

()

3

()

1/3

()

1/2

()

2

16．设的概率密度，则（

）。

()

3

()

1/3

()

1/2

()

2

17．设与相互独立且同分布，，，则下列各式中成立的是（

）。

18．设和相互独立，且分别服从和，则（

）。

()

()

()

()

19．设和相互独立，且均服从，则（

）

()

()

()

()A、B、C都不对。三、解答题1．设的概率分布为

0

1

2

1/3

1/6

1/2

求：（1）的分布函数；

（2）、、。

2．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。

3．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。4．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的概率分布。5．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数是一离散型随机变量，求的概率分布。6．设随机变量的概率密度为，求：（1）系数；（2）的分布函数；（3）落在区间内的概率。

7．设随机变量的分布函数为

求：（1）系数；

（2）落在区间（－1，1）中的概率；

（3）随机变量的概率密度。（提示：为反正切函数）8．设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，试确定常数，并求概率。9．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。10．在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压，试求：（提示：）（1）

该电子元件被损坏的概率（2）

电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率。11．一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）和的联合概率分布；（2）关于和边缘分布；（3）和是否相互独立？为什么？12．一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用、分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：（1）随机向量的概率分布；（2）关于和关于的边缘概率分布；（3）和是否相互独立？为什么？13．一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）和的联合概率分布及关于和关于边缘分布；（2）与是否独立？为什么？14．设为由抛物线和所围成区域，在区域上服从均匀分布，试求：（1）的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量与是否相互独立。15．设二维随机变量（，）的概率分布为

求：（1）随机变量X的密度函数；

（2）概率。16．设随机向量的概率密度为

试求:（1）常数；（2）关于的边缘概率密度。

17．设随机变量（，）具有概率密度

，求（1）常数C；（2）边缘分布密度。

18．设和相互独立，下表列出了二维随机变量(，)联合分布律及关于和关于的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。



1/8

1/12

1/6

1

第三章

随机变量的数字特征

一、填空题（请把唯一正确的答案填在题中横线上）：

1．设随机变量的概率分布为

－1

0

1

2

0.1

0.2

0.3

则：=

；

；=

；的概率分布为

。

2．设随机变量的概率分布为

0

1

2

3

4

1/12

1/6

1/3

1/6

1/4则：=

；=

；

。

3．已知随机变量的分布列为

0

1

2

3

0.1

0.4

0.2则：=

；

=

；=

；

=

；=

。

4．设的概率密度为()，则

；

。5．设随机变量，则常数=

；

；

。6．设随机变量，则常数=

；

。

7．若服从参数为2的指数分布，，则=

；

。8．设则

；

。9．设随机变量、，且相互独立，，则:

；

。10．设随机变量、，且相互独立，，则:

；

。

11．设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则=

。

12．设表示10次独立重复射击命中目标的次数，若每次命中目标的概率为0.4，则的数学期望=

_________________。

13．设随机变量、（泊松分布），且相互独立，，则（1）

；

（2）

；

。

14．设随机变量服从正态分布，其数学期望，方差，则的概率密度为

；的概率密度

。

15．设的概率分布为

；

则：=

；=

；=

；=

。

16．设相互独立，且概率分布分别为

()；

则：=

；=

；=

。17．的概率密度为()，则

；

。

18．设独立同分布，其中的概率分布为则的联合分布为

；

。

19．设与独立同分布，记，，则：相关系数=

。

20．设与方差分别为4和1，协方差，则：与的相关系数=

；=

；=

。

二、选择题（请把正确的选择填在题后的括号内）：

1．对于随机变量、，若则（

）。

()与独立

()

()

()与不独立

2．对于、，若则（

）。

()

()

()与独立

()与不独立

3．设，，，则(=（

）。

()

40

()

28.4

()

54.4

()

25.6

4．设，，，则(=（

）。

()

40

()

34

()

25.6

()

17.6

5．设，，且相互独立，则(=（

）。

()

8

()

16

()

28

()

44

6．设与相互独立且方差分别为3和2，则(=（

）。

()

5

()

13

()

35

()

19

7．设是一随机变量，常数），对任意常数（），则必有（

）。

()

()

()

()

8．设是一随机变量，常数），对任意常数，必有（

）。

()

()

()

()

9．设与独立同分布,记,,则必然（

）。

()不独立

()独立

()相关系数为零

()相关系数不为零三、解答题

1．设随机变量，求：（1）

常数；（2）；（3）。2．设的分布密度为，求：数学期望和方差。

3．已知随机变量的分布列如下，

0

1

2

0.3

0.2

0.5

试求：（1）、；（2）；（3）的分布函数。4．设的概率分布为

求：和。5．已知、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求：（1）数学期望，方差；（2）与的相关系数。

6．设随机变量、独立同服从参数为泊松分布，，，求与的相关系数。

7．设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。8．设与独立同分布，已知的概率分布为，又设，。求：（1）、；（2）随机变量的协方差。9．游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第5分钟、25分钟、55分钟从低层起行。假设一游客在早八点的第分钟到达低层候梯处，且在[0，60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。

第四章

随机变量及其分布

一、填空题：（请把唯一正确的答案填在题中横线上）：

1．设随机变量的方差为2，则由切比雪夫不等式得

。

2．设随机变量和的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式有

。

二、选择题（请把正确的选择填在题后的括号内）：

1．设随机变量相互独立，则根据列维—林徳伯格中心极限定理，当充分大时，近似服从正态分布，只要（）有相同的数学期望。

（）有相同的方差。（）服从同一指数分布。

（）服从同一离散型分布。[

]三、解答题

1．已知随机变量的概率分布为

1

2

3

0.2

0.3

0.5

试利用切比雪夫不等式估计事件的概率。第五章

参数估计与假设检验

一、填空题（请把唯一正确的答案填在题中横线上）：

1．设由来自总体的长度为100的样本，测得样本均值，则的置信度近似等于0.95的置信区间为

。

2．设由来自总体的容量为9的样本得样本均值，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是

。

3．设由来自总体的容量为100的样本测得样本均值，则的置信度近似等于0.90的置信区间为

。

4．设为来自一个样本，其中未知，、，则假设的检验使用统计量为

。5．设，为一个样本，其中已知，则方差未知时，检验假设应选统计量

，在条件下，统计量服从

分布。

6．设总体，为的一个样本，当未知时，求的区间估计所构造样本函数为

；对给定的，的置信度为的置信区间为

。

7．设为一个样本，其中已知，检验假设应选统计量

，在成立条件下，统计量服从__________分布。

二、选择题（请把正确的选择填在题后的括号内）：

1．记为待检验假设，则所谓犯第一类错误指的是（

）。

()为真时，接受

()不真时，接受

()不真时，拒绝

()为真时，拒绝

2．记为待检验假设，则所谓犯第二类错误指的是（

）。

()为真时，接受

()为真时，拒绝

()不真时，拒绝

()不真时，接受

3．设为来自总体的一个样本，为样本均值，未知，则总体方差的无偏估计量为（

）。

4．设为来自总体的一个样本，为样本均值，已知，记

，，则服从自由度为的分布统计量是(

)。

5．设总体为未知参数，为X的一个样本，为两个统计量，的置信度为的置信区间，则应有(

)。

(A)

(B)

(C)

(D)三、解答题1．设为的一个样本，

其中为未知参数，求的极大似然法估计量。

2．设总体的分布列为

1

0

为的一个样本，求的极大似然估计。3．设为总体的一个样本，且的概率分布为。为来自总体的一个样本观察值，求的极大似然估计值。4．设为总体的一个样本，且服从参数为的二项分布，求的极大似然估计量。5．设为来自总体的样本，为样本均值，试问是否为总体方差的无偏估计量？为什么？6．设为来自总体X的一个样本，且存在，验证统计量(1)、(2)都是的无偏估计，并指出哪一个较好。

（1）；

（2）。

7．设，其中是来自总体的简单随机样本。试问当、各为何值时，统计量服从分布，并指出其自由度。8．某车间生产滚珠，从长期实践中知，滚珠直径可以认为服从正态分布，其方差为0.05，从某天的产品中随机抽取6个，量得直径（mm）如下：14.70,15.21,14.90,14.91,15.32,15.32。试求的置信度为0.95的置信区间。《概率论与数理统计》参考答案

第一章

随机事件与概率一、填空题：1．3/28

13/28

9/142．1/5

14/45

17/45

28/453．2/7

5/74．3/28

15/28

9/145．1/6

25/36

5/36

5/36

5/18

1/36

5/18

4/25

1/256．15/28

3/7

1/28

13/287．2/5

38/245

187/2458．3/5

2/59．0

5/810．1/411．2/312．0.713.0.2

0.714.0.7

0.3

0.815.3/14

3/8

19/3016.7/500

3/717.1/40

2/518.1140/114119.0.9

0.4

0.1

0.520.3/5

1/1021.3/200

二、选择题（请把唯一正确的选择填在题后的括号内）1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

10．

三、解答题1．设对于事件、有，，，求、至少出现一个的概率。解：由于从而由性质4知，，又由概率定义知，所以，从而由概率的加法公式得

2．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？

解：设表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则。5件产品中恰有2件次品的取法共有种，即。于是所求概率为

/

3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）两次都取到正品的概率；（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：设表示：“第次取出的是正品”（=1，2），则

（1）第二次取到次品的概率为

（2）两次都取到正品的概率为

（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为

4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。解：设表示：“第次取出的是正品”（=1，2），则（1）至少取到一个正品的概率

（2）第二次取到次品的概率为

（3）恰有一次取到次品的概率为

5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：（1）两件都是正品的概率；

（2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。解：设表示：“取出的两件都是正品是正品”；表示：“取出的两件恰有一件次品”；表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则（1）两件都是正品的概率

（2）恰有一件次品的概率

（3）至少取到一件次品的概率

6．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，（1）没有一台机床需要照看的概率；

（2）至少有一台机床不需要照看的概率。解：设表示：“没有一台机床需要照看”；表示：“至少有一台机床不需要照看“；表示：“第台机床需要照看”（=1，2，3）。则；。

7．在某城市中发行三种报纸、，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅报的有20%，同时订阅及报的有10%，同时订阅及报的有8%，同时订阅及报的有5%，同时订阅、报的有3%，试求下列事件的概率：

（1）只订阅及报；（2）恰好订阅两种报纸。

解：（1）

（2）

8．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。解：设分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（=1，2，3），则问题（1）化为求；问题（2）化为求。由题意两两互不相容，所以，（1）。因此由条件概率公式得

（2）

9．已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（3）

该产品是次品的概率；（4）

若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率。解：设表示“取到的产品是次品”；“取到的产品是工厂的”；“取到的产品是工厂的”。则

（1）

取到的产品是次品的概率为

（2）若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为

10．有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。解：设表示：“由甲袋取出的球是白球”；

表示：“由甲袋取出的球是黑球”；

表示：“从乙袋取出的球是白球”。则

11．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。

解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。则，且，两两互不相容，（1）

由全概率公式得

（2）由贝叶斯公式得

=

12．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；

（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。

解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。

则，且，两两互不相容，由全概率公式得

（1）

（2）由贝叶斯公式得

=

13．有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人来迟的概率；

(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。

解：设事件表示：“此人来迟了”；事件分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（，4）。则，且，两两互不相容

（1）由全概率公式得

（2）由贝叶斯公式得=

14．有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回），试求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）两次都取到一等品的概率。

解：设表示：“取到第箱零件”；表示：“第次取到的是一等品”；则

（1）

（2）

15．设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。

解：设表示：“第个电子元件被损坏”（=1，2，3），则有；；。依题意所求概率为

16．甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：(1)敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。解：设事件表示：“甲击中敌机”；事件表示：“乙击中敌机”；事件表示：“敌机被击中”。则

（1）

（2）

（3）

17．已知，，，求。

解：由于

所以

18．设，，，求。解：由于，

，而

，

，故

。

19．设事件、相互独立，已知，。求：（1）；（2）。解：由即

解得

所以

20．设、为随机事件，且，，，求：（1）；（2）。解：（1）（2）

21．设事件、相互独立，已知，求：

（1）；（2）。解：由条件

即

解得，所以（1）（2）

22．设事件相互独立，试证明：

（1）事件相互独立；

（2）事件相互独立；

（3）事件相互独立。

证明：（1）欲证明相互独立，只需证即可。而

所以事件相互独立。同理

（2）由于

所以事件相互独立。

（3）由于

所以事件相互独立。

23．若，证明事件相互独立。

证明：由于，且，所以

从而有

故由独立性定义知，事件相互独立。第二章

随机变量及其分布一、填空题（请把答案填在题中横线上）：1．0.32.

3.1/2

0

4.1/2

1/25.9/646.0.5

0.2

0.27.

，

8.1/29.正态分布

10.11.1/212.2/2713.19/27二、选择题（请把唯一正确的选择填在题后的括号内）1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

10．

11．

12．

13．

14．

15．

16．

17．

18．

19．

三、解答题1．设的概率分布为

0

1

2

1/3

1/6

1/2

求：（1）的分布函数；

（2）、、。

解：（1）

；

；

。

2．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。解：由题意知服从二项分布，从而

；

；

；

即的概率分布列为

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

由分布函数定义

3．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。

解：由题意知服从二项分布，从而

即的概率分布列为

0

1

2

3

27/125

54/125

36/125

8/125

由分布函数定义得

4．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的概率分布。

解：设：表示：“部件需要调整”。

；

；

故的概率分布列为

0

1

2

3

0.504

0.398

0.092

0.006

5．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数是一离散型随机变量，求的概率分布。

解：的可能取值为1，2，。记表示“第次试验雷管发火”则表示“第次试验雷管不发火”从而得

依次类推，得消耗的雷管数的概率分布为

6．设随机变量的概率密度为，求：（1）系数；（2）的分布函数；（3）落在区间内的概率。

解：连续型随机变量的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数及的分布函数，至于（3）可由的分布函数求得。

（1）由归一性，

解得。

（2）由连续型随机变量的定义知的分布函数为

当时，=0；

当时，

当时，

故的分布函数为

（3）所求概率为

7．设随机变量的分布函数为

求：（1）系数；

（2）落在区间（－1，1）中的概率；

（3）随机变量的概率密度。（提示：为反正切函数）

解：（1）由，解得。故得

（2）

（3）所求概率密度为

8．设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，试确定常数，并求概率。解：由归一性

所以=2。即

所以，从而

=

9．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。解：设表示每个人等车时间，且服从[0，5]上的均匀分布，其概率分布为

又设表示等车时间不超过2分钟的人数，则，所求概率为

10．在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压，试求：（提示：）（3）

该电子元件被损坏的概率（4）

电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率。

解：设：“电源电压不超过200伏”；：“电源电压在200~240伏”；：“电源电压超过240伏”；

：“电子元件被埙坏”。

由于，所以

由题设,,,所以由全概率公式

由条件概率公式

11．一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）和的联合概率分布；（2）关于和边缘分布；（3）和是否相互独立？为什么？解：（1）的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。

于是（，）的概率分布表为

1

2

1

1/9

2/9

2

2/9

4/9

（2）关于和的边缘概率分布分别为

1

2

1

2

1/3

2/3

1/3

2/3（3）和相互独立。因为有

12．一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用、分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：（1）随机向量的概率分布；（2）关于和关于的边缘概率分布；（3）和是否相互独立？为什么？解：（1）的取值为，由概率乘法公式可得同理可得

此外事件，，都是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表为

1

2

3

1

0

1/6

1/6

2

1/6

0

1/6

3

1/6

1/6

0

（2）关于的边缘概率分布

1

2

3

1/3

1/3

1/3

关于的边缘概率分布

1

2

3

1/3

1/3

1/3

（3）和不相互独立，由于。

13．一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）和的联合概率分布及关于和关于边缘分布；（2）与是否独立？为什么？解：（1）（，）的概率分布表为

1

2

3

1

1/6

1/6

1/6

2

1/6

0

1/12

3

1/6

1/12

0

的边缘概率分布为

1

2

3

1/2

1/4

1/4

的边缘概率分布为

1

2

3

1/2

1/4

1/4（2）与不独立，由于

14．设为由抛物线和所围成区域，在区域上服从均匀分布，试求：（1）的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量与是否相互独立。

解：如图所示，的面积为

因此均匀分布定义得的联合概率密度为

1

而

所以关于和关于的边缘分布密度分别为

（2）由于，故随机变量与不相互独立。15．设二维随机变量（，）的概率分布为

求：（1）随机变量X的密度函数；

（2）概率。解：（1）时，=0；时，=故随机变量的密度函数=

（2）

16．设随机向量的概率密度为

试求:（1）常数；（2）关于的边缘概率密度。解：（1）由归一性

所以。

的联合概率密度为

（2）关于的边缘概率密度为

即

同理可求得关于的边缘分布密度为

17．设随机变量（，）具有概率密度

，求（1）常数C；（2）边缘分布密度。

解：（1）由于，故

1=所以=1，即

（2），即

，即

18．设和相互独立，下表列出了二维随机变量(，)联合分布律及关于和关于的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。



1/8

1/12

1/6

1

解：

1/121/87/241/21/121/87/241/21/61/47/121

第三章

随机变量的数字特征一、

填空题（请把唯一正确的答案填在题中横线上）：

1．0.4

1

1

0

1

2

0.3

0.2

0.5

2.

7/3

14/9

-4/33.

0.3

1.7

0.81

1.3

2.014.

1

1/25.

1

0

1/66.

2

17.

1

48.

5

49.

2

1710.2

1711.212.18.413.5

19

-1014.

15.

16.2

7/3

-217.1

118.

1/419.020.0.4

34.6

15.4二、选择题（请把正确的选择填在题后的括号内）：1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

三、解答题

1．设随机变量，求：（2）

常数；（2）；（3）。

解：（1）由归一性1=从而得，；

（2）=

（3）由于=

于是

2．设的分布密度为，求：数学期望和方差。

解：=

=

于是

3．已知随机变量的分布列如下，

0

1

2

0.3

0.2

0.5

试求：（1）、；（2）；（3）的分布函数。解：

（1）

（2）经计算得的概率分布列

0

0.8

0.2

（3）

4．设的概率分布为

求：和。

解：由于在有限区间[1，5]上服从均匀分布，所以；又由于服从参数为4的指数分布，所以=、，因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得

。5．已知、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求：

（1）数学期望，方差；（2）与的相关系数。解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得

（2）

从而有与的相关系数

6．设随机变量、独立同服从参数为泊松分布，，，求与的相关系数。

解：由条件、独立同服从参数为泊松分布，所以，因此

Cov于是与的相关系数7．设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损