概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及解答第一章随机事件和概率一.填空题1.设A,B,C为三个事件,且____.解.=－=0.97－0.9=0.072.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,另一件也是不合格品的概率为_______.解.,注意:=+所以;3.随机地向半圆为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为______.解.假设落点(X,Y)为二维随机变量,D为半圆.则,k为比例系数.所以假设D1={D中落点和原点连线与x轴夹角小于的区域}.4.设随机事件A,B及其和事件AB的概率分别是0.4,0.3,0.6,若表示B的对立事件,则积事件的概率=______.解.0.4+0.3－0.6=0.1.5.某市有50住户订日报,有65住户订晚报,有85住户至少订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的住户的百分比是________.解.假设A={订日报},B={订晚报},C=A+B.由已知P(A)=0.5,P(B)=0.65,P(C)=0.85.所以P(AB)=P(A)+P(B)－P(A+B)=0.5+0.65－0.85=0.3.6.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________.解.设Ai事件表示第i台机器运转不发生故障(i=1,2,3).则P(A1)=0.9,P(A2)=0.8,P(A3)=0.7,=1－0.9×0.8×0.7=0.496.7.电路由元件A与两个并联元件B,C串联而成,若A,B,C损坏与否相互独立,且它们损坏的概率依次为0.3,0.2,0.1,则电路断路的概率是________.解.假设事件A,B,C表示元件A,B,C完好.P(A)=0.7,P(B)=0.8,P(C)=0.9.事件线路完好=A(B+C)=AB+AC.P(A(B+C))=P(AB+AC)=P(AB)+P(AC)－P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C)=0.7×0.8+0.7×0.9－0.7×0.8×0.9=0.686.所以P(电路断路)=1－0.686=0.314.8.甲乙两人投篮,命中率分别为0.7,0.6,每人投三次,则甲比乙进球多的概率______.解.设X表示甲进球数,Y表示乙进球数.P(甲比乙进球多)=P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=0)+P(X=1,Y=0)=P(X=3)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=0)=+=0.148176+0.098784+0.021952+0.127008+0.028224+0.012096=0.43624.9.三人独立破译一密码,他们能单独译出的概率分别为,则此密码被译出的概率_____.解.设A,B,C表示事件甲,乙,丙单独译出密码.,则.P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=.二．单项选择题.1.以A表示“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则对立事件为(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲、乙产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”(D)“甲产品滞销或乙产品畅销”解.(D)是答案.2.设A,B,C是三个事件,与事件A互斥的事件是(A)(B)(C)(D)解.,所以(D)是答案.3.设A,B是任意二个事件,则(A)P(AB)P(AB)P(A)P(B)(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)(C)P(A－B)P(B－A)P(A)P(B)－P(AB)(D).解.P(A+B)P(AB)－P(A)P(B)=(P(A)+P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B)=－P(A)(P(B)－P(AB))+P(AB)(P(B)－P(AB)=－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB))=－P(B－A)P(A－B)0所以(B)是答案.4.事件A与B相互独立的充要条件为(A)A+B=(B)P(AB)=P(A)P(B)(C)AB=(D)P(A+B)=P(A)+P(B)解.(B)是答案.5.设A,B为二个事件,且P(AB)=0,则(A)A,B互斥(B)AB是不可能事件(C)AB未必是不可能事件(D)P(A)=0或P(B)=0.解.概率理论中P(A)=0不能推出A为不可能事件(证明超出大纲要求).所以(C)是答案.6.设A,B为任意二个事件,且AB,P(B)>0,则下列选项必然成立的是(A)P(A)<P(A|B)(B)P(A)P(A|B)(C)P(A)>P(A|B)(C)P(A)P(A|B)解.(当B=时等式成立).(B)是答案.7.已知0<P(B)<1,且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B),则下列选项必然成立的是(A)(B)P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)(C)P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)(D)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)解.由P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)得到,所以P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B).(B)是答案.三.计算题1.某厂生产的产品次品率为0.05,每100个产品为一批,抽查产品质量时,在每批中任取一半来检查,如果发现次品不多于1个,则这批产品可以认为合格的,求一批产品被认为是合格的概率.解.P(该批产品合格)=P(全部正品)+P(恰有1个次品)=2.书架上按任意次序摆着15本教科书,其中有5本是数学书,从中随机地抽取3本,至少有一本是数学书的概率.解.假设A={至少有一本数学书}.={没有数学书}P()=,P(A)=1－P()=3.全年级100名学生中有男生80名,来自北京的20名中有男生12名.免修英语的40名学生中有男生32名,求出下列概率:i.碰到男生情况不是北京男生的概率;ii.碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率;iii.碰到北京男生的概率;iv.碰到非北京学生情况下是一名女生的概率;v.碰到免修英语的男生的概率.解.学生情况:男生女生北京128免修英语328总数8020i. P(不是北京|男生)=ii.P(男生|北京学生)=iii.P(北京男生)=iv.P(女生|非北京学生)=v.P(免修英语男生)=4．袋中有12个球,其中9个是新的,第一次比赛时从中取3个,比赛后任放回袋中,第二次比赛再从袋中任取3个球,求:i.第二次取出的球都是新球的概率;ii.又已知第二次取出的球都是新球,第一次取到的都是新球的概率.解.i.设Bi表示第一次比赛抽到i个新球(i=0,1,2,3).A表示第二次比赛都是新球.于是,ii.5.设甲、乙两袋,甲袋中有n个白球,m个红球,乙袋中有N个白球,M个红球,今从甲袋中任取一只放入乙袋,再从乙袋中任取一球,问取到白球的概率.解.球的情况:白球红球甲袋nm乙袋NM假设A={先从甲袋中任取一球为白球}B={先从甲袋中任取一球为红球}C={再从乙袋中任取一球为白球}P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)第二章随机变量及其分布一.填空题1.设随机变量X～B(2,p),Y～B(3,p),若P(X1)=,则P(Y1)=_________.解.,2.已知随机变量X只能取－1,0,1,2四个数值,其相应的概率依次为,则c=______.解.3.用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率:P(Xa)=________.P(X=a)=________.P(X>a)=________.P(x1<Xx2)=________.解.P(Xa)=F(a)P(X=a)=P(Xa)－P(X<a)=F(a)－F(a－0)P(X>a)=1－F(a)P(x1<Xx2)=F(x2)－F(x1)4.设k在(0,5)上服从均匀分布,则有实根的概率为_____.解.k的分布密度为P{有实根}=P{}=P{k－1或k2}=5.已知(k=1,2,3),X与Y独立,则a=____,b=____,联合概率分布_____,Z=X+Y的概率分布为_____.解..(X,Y)的联合分布为YX－1－2－3123abZ=X+Y－2－1012P246625112672ab=216,6.已知(X,Y)联合密度为,则c=______,Y的边缘概率密度______.解.所以当时所以7.设平面区域D由曲线围成,二维随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘密度在x=2处的值为_______.解.D的面积=.所以二维随机变量(X,Y)的密度为:下面求X的边沿密度:当x<1或x>e2时当1xe2时,所以.8.若X1,X2,…,Xn是正态总体N(,2)的一组简单随机样本,则服从______.解.独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.,所以9.如果(X,Y)的联合分布用下列表格给出,(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P且X与Y相互独立,则=______,=_______.解.YX123121/61/91/181/3两式相除得,解得,.10.设(X,Y)的联合分布律为YX－2－10－1300则i.Z=X+Y的分布律______.ii.V=X－Y的分布律______.iii.U=X2+Y－2的分布律_______.解.X+Y－3－2－1－3/2－1/213P1/121/123/122/121/122/122/12X－Y－1013/25/235P3/121/121/121/122/122/122/12X2+Y－2－15/4－3－11/4－2－157P2/121/121/121/123/122/122/12二.单项选择题1.如下四个函数哪个是随机变量X的分布函数(A),(B)(C),(D)解.(A)不满足F(+)=1,排除(A);(B)不满足单增,排除(B);(D)不满足F(1/2+0)=F(1/2),排除(D);(C)是答案.2.是随机变量X的概率分布,则,c一定满足(A)>0(B)c>0(C)c>0(D)c>0,且>0解.因为,所以c>0.而k为偶数,所以可以为负.所以(B)是答案.3.X～N(1,1),概率密度为(x),则(A)(B)(C)(D)解.因为E(X)==1,所以.(C)是答案.4.X,Y相互独立,且都服从区间[0,1]上的均匀分布,则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A)(X,Y)(B)X+Y(C)X2(D)X－Y解.X～,Y～.所以(X,Y)～.所以(A)是答案.5.设函数则(A)F(x)是随机变量X的分布函数.(B)不是分布函数.(C)离散型分布函数.(D)连续型分布函数.解.因为不满足F(1+0)=F(1),所以F(x)不是分布函数,(B)是答案.6.设X,Y是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数为,则Z=max(X,Y)的分布函数是(A)=max{}(B)=max{}(C)=(D)都不是解..(C)是答案.7.设X,Y是相互独立的两个随机变量,其分布函数分别为,则Z=min(X,Y)的分布函数是(A)=(B)=(C)=min{}(D)=1－[1－][1－]解.(D)是答案.8.设X的密度函数为,而则Y=2X的概率密度是(A)(B)(C)(D)解.(B)是答案.9.设随机变量(X,Y)的联合分布函数为,则的分布密度是(A)(B)(C)(D)解.是一维随机变量,密度函数是一元函数,排除(A),(B).,所以(D)不是答案.(C)是答案.注:排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法.该题也可直接计算Z的密度:当z<0时当z0时=,(C)是答案.10.设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则下列结论正确的是(A)P{X+Y0}=1/2(B)P{X+Y1}=1/2(C)P{X－Y0}=1/2(D)P{X－Y1}=1/2解.因为X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),且X和Y相互独立,所以X+Y～N(1,2),X－Y～N(－1,2)于是P{X+Y1}=1/2,(B)是答案.11.设随机变量X服从指数分布,则Y=min{X,2}的分布函数是(A)是连续函数(B)至少有两个间断点(C)是阶梯函数(D)恰好有一个间断点解.分布函数:当y2时当0y<2时当y<0时于是只有y=2一个间断点,(D)是答案.三.计算题1.某射手有5发子弹,射击一次的命中率为0.9,如果他命中目标就停止射击,不命中就一直到用完5发子弹,求所用子弹数X的分布密度.解.假设X表示所用子弹数.X=1,2,3,4,5. P(X=i)=P(前i－1次不中,第i次命中)=,i=1,2,3,4.当i=5时,只要前四次不中,无论第五次中与不中,都要结束射击(因为只有五发子弹).所以P(X=5)=.于是分布律为X12345p0.90.090.0090.00090.00012.设一批产品中有10件正品,3件次品,现一件一件地随机取出,分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X的分布密度.i.每次取出的产品不放回;ii.每次取出的产品经检验后放回,再抽取;iii.每次取出一件产品后总以一件正品放回,再抽取.解.假设Ai表示第i次取出正品(i=1,2,3,…)i.每次取出的产品不放回X1234pii.每次抽取后将原产品放回X12…k…p…,(k=1,2,…)iii.每次抽取后总以一个正品放回X1234p3.随机变量X的密度为,求:i.常数c;ii.X落在内的概率.解.4.随机变量X分布密度为i.,ii.求i.,ii的分布函数F(x).解.i.当x1时当－1<x<1时当x1时所以ii.当x<0时当0x<1时当1x<2时当2x时所以5.设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X具有分布密度函数,－<x<+试求:i.测量误差的绝对值不超过30的概率;ii.接连独立测量三次,至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解.因为,－<x<+,所以X～N(20,402).i.=0.4931.(其中(x)为N(0,1)的分布函数)ii.P(至少有一次误差的绝对值不超过30)=1－P(三次误差的绝对值都超过30)=6.设电子元件的寿命X具有密度为问在150小时内,i.三只元件中没有一只损坏的概率是多少?ii.三只电子元件全损坏的概率是多少?iii.只有一个电子元件损坏的概率是多少?解.X的密度.所以.令p=P(X150)=1－=.i.P(150小时内三只元件没有一只损坏)=ii.P(150小时内三只元件全部损坏)=iii.P(150小时内三只元件只有一只损坏)=7.对圆片直径进行测量,其值在[5,6]上服从均匀分布,求圆片面积的概率分布.解.直径D的分布密度为假设,X的分布函数为F(x).当x0时,F(x)=0当x>0时当F(x)=0当=当x>9时所以密度8.已知X服从参数p=0.6的0－1分布在X=0,X=1下,关于Y的条件分布分别为表1、表2所示表1表2Y123Y123P(Y|X=0)P(Y|X=1)求(X,Y)的联合概率分布,以及在Y1时,关于X的条件分布.解.X的分布律为X01p0.40.6(X,Y)的联合分布为YX123010.10.20.10.30.10.2所以Y的分布律为Y123p0.40.30.3所以X|Y101p0.50.59.设随机变量X与Y相互独立,并在区间[0,9]上服从均匀分布,求随机变量的分布密度.解.X～,Y～因为X,Y相互独立,所以(X,Y)联合密度为(X,Y)～,当z0时当0<z<1时y=xz(z<1)D1当z1时y=zx(z>1)所以D210.设(X,Y)的密度为求:i.,ii.解.i.当x0或x1时当0<x<1时所以所以所以ii.当y0或y1时当0<y<1时所以所以所以第三章随机变量的数字特征一.填空题1.设随机变量X与Y相互独立,D(X)=2,D(Y)=4,D(2X－Y)=_______.解.D(2X－Y)=4D(X)+D(Y)=122.已知随机变量X～N(－3,1),Y～N(2,1),且X与Y相互独立,Z=X－2Y+7,则Z～____.解.因为Z=X－2Y+7,所以Z服从正态分布.E(Z)=E(X)－2E(Y)+7=0.D(Z)=D(X－2Y+7)=D(X)+4D(Y)=1+4=5.所以Z～N(0,5)3.投掷n枚骰子,则出现点数之和的数学期望______.解.假设Xi表示第i颗骰子的点数(i=1,2,…,n).则E(Xi)=(i=1,2,…,n)又设,则4.设离散型随机变量X的取值是在两次独立试验中事件A发生的次数,如果在这些试验中事件发生的概率相同,并且已知E(X)=0.9,则D(X)=______.解.,所以E(X)=0.9=2p.p=0.45,q=0.55D(X)=2pq=2×0.45×0.55=0.495.5.设随机变量X在区间[－1,2]上服从均匀分布,随机变量,则方差D(Y)=_______.解.X～Y的分布律为Y10－1p2/301/3因为于是,,6.若随机变量X1,X2,X3相互独立,且服从相同的两点分布,则服从_______分布,E(X)=_______,D(X)=________.解.X服从B(3,0.2).所以E(X)=3p=3×0.2=0.6,D(X)=3pq=3×0.2×0.8=0.487.设X和Y是两个相互独立的随机变量,且X～N(0,1),Y在[－1,1]上服从均匀分布,则=_______.解.因为X和Y是两个相互独立的随机变量,所以=0.8.设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为:,,则E(XY)=________.解.因为X和Y是两个相互独立的随机变量,所以E(XY)=E(X)E(Y)=49.若随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3,则D(Y)=______.解.=二.单项选择题1.设随机变量X和Y独立同分布,记U=X－Y,V=X+Y,则U和V必然(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为零(D)相关系数为零解.因为X和Y同分布,所以E(U)=E(X)－E(Y)=0,E(U)E(V)=0..所以cov(X,Y)=E(UV)－E(U)E(V)=0.(D)是答案.2.已知X和Y的联合分布如下表所示,则有YX0120120.10.050.2500.10.20.20.10(A)X与Y不独立(B)X与Y独立(C)X与Y不相关(D)X与Y彼此独立且相关解.P(X=0)=0.4,P(Y=0)=0.3.0.1=P(X=0,Y=0)P(X=0)×P(Y=0).(A)是答案.3.设离散型随机变量X可能取值为:x1=1,x2=2,x3=3,且E(X)=2.3,E(X2)=5.9,则x1,x2,x3所对应的概率为(A)p1=0.1,p2=0.2,p3=0.7(B)p1=0.2,p2=0.3,p3=0.5(C)p1=0.3,p2=0.5,p3=0.2(D)p1=0.2,p2=0.5,p3=0.3解.解得p1=0.2,p2=0.3,p3=0.5.(B)是答案.4.现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元,今每人从中随机地无放回地抽取3张,则此人抽得奖券的金额的数学期望(A)6(B)12(C)7.8(D)9解.假设X表示随机地无放回地抽取3张,抽得奖券的金额.X的分布律为X6912p7/157/151/15.(C)是答案.5.设随机变量X和Y服从正态分布,X～N(,42),Y～N(,52),记P1=P{X－4},P2=P{Y+5},则(A)对任何,都有P1=P2(B)对任何实数,都有P1<P2(C)只有的个别值,才有P1=P2(D)对任何实数,都有P1>P2解.P1={X－4}=P2={Y+5}=(其中(x)为N(0,1)的分布函数).所以(A)是答案.6.随机变量=X+Y与=X－Y不相关的充分必要条件为(A)E(X)=E(Y)(B)E(X2)－E2(X)=E(Y2)－E2(Y)(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+E2(X)=E(Y2)+E2(Y)解.cov(,)=E()－E()E()E()=E()E()=[E(X)+E(Y)][E(X)－E(Y)]=所以(B)是答案.三.计算题1.设X的分布律为,k=0,1,2,…,a>0,试求E(X),D(X).解.令,所以.令,所以..2.设随机变量X具有概率密度为,求E(X),D(X).解.3.设随机变量X和Y的联合概率分布为(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P(X=x,Y=y)0.100.150.250.200.150.15求.解.的分布律为sin(X+Y)/201－1p0.450.400.154.一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求:i.X的概率分布,ii.解.假设X为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数X0123p1/21/221/231/23P(X=0)=P{第一个路口为红灯}=P(X=1)=P{第一个路口为绿灯,第二个路口为红灯}=P(X=0)=P{第一,二路口为绿灯,第三个路口为红灯}=P(X=0)=P{第一,二,三路口为绿灯}=5.设(X,Y)的分布密度求.解.6.在长为l的线段上任选两点,求两点间距离的数学期望与方差.解.假设X,Y为线段上的两点.则它们都服从[0,l]上的均匀分布,且它们相互独立.X～,Y～(X,Y)的联合分布为.又设Z=|X－Y|,D1={(x,y):x>y,0x,yl},D2={(x,y):xy,0x,yl}7.设随机变量X的分布密度为,求E(X),D(X).解.=+=+所以8.设(X,Y)的联合密度为,求E(X),D(Y),(X,Y).解.,.9.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障仍可获利润5万元;发生二次故障所获利润0元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?解.假设X表示一周内发生故障的天数.则X～B(5,0.8),,又设Y为该企业的利润,Y的分布律为Y1050－2p0.330.410.200.06E(Y)=10×0.33+5×0.41+0×0.20+(－2)×0.06=5.23(万元)10.两台相互独立的自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布;若先开动其中的一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度、数学期望和方差.解.假设X、Y分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间,则X、Y的密度函数如下:X、Y相互独立,且T=X+Y.X、Y的联合密度:关于T的分布函数:当时当时所以所以T的概率密度:所以所以第四章大数定律和中心极限定理一.填空题1.设Yn是n次伯努利试验中事件A出现的次数,p为A在每次试验中出现的概率,则对任意>0,有__________.解.1－2.设随机变量X和Y的数学期望是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式P(|X－Y|6)_______.解.E(X－Y)=E(X)－E(Y)=2－2=0D(X－Y)=D(X)+D(Y)－=1+4－2×0.5×1×2=3所以二.选择题1.设随机变量相互独立,,则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理,近似服从正态分布,只要(A)有相同的数学期望(B)有相同的方差(C)服从同一指数分布(D)服从同一离散型分布解.列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求既有相同的数学期望,又有相同的方差,因此(A)、(B)、(D)都不是答案,(C)为答案.三.计算题1.某厂有400台同型机器,各台机器发生故障的概率均为0,02,假如各台机器相互独立工作,试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解.假设X表示400台机器中发生故障的台数,所以X～B(400,0.02)由棣莫佛－拉普拉斯定理:所以1－(－2.5)=(2.5)=0.9938.2.设供电网中有10000盏灯,夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7,假设各灯开、关时间彼此无关,计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解.假设X表示10000盏灯中开着的灯数,所以X～B(10000,0.7)由棣莫佛－拉普拉斯定理:所以(4.36)－(－4.36)=2(4.36)－1=2×0.999993－1=0.999.第五章数理统计的基本概念一.填空题1.设X1,X2,…,Xn为来自总体N(0,2),且随机变量,则常数C=___.解.~N(0,n2),所以.2.设X1,X2,X3,X4来自正态总体N(0,22)的样本,且,则a=______,b=______时,Y服从2分布,自由度为______.解.X1－2X2～N(0,20),3X3－4X4～N(0,100),;.Y为自由度2的2分布.3.设X1,X2,…,Xn来自总体2(n)的分布,则解.因为X1,X2,…,Xn来自总体2(n),所以E(Xi)=n,D(Xi)=2n(i=1,2,…,n)二.单项选择题1.设X1,X2,…,Xn为来自总体N(0,2)的样本,则样本二阶原点矩的方差为(A)2(B)(C)(D)解.X1,X2,…,Xn来自总体N(0,2),所以.(C)是答案.2.设X1,X2为来自正态总体N(,2)的样本,则X1+X2与X1－X2必(A)线性相关(B)不相关(C)相关但非线性相关(D)不独立解.假设Y1=X1+X2,Y2=X1－X2所以E(Y2)=E(X1)－E(X2)=0.cov(Y1,Y2)=E(Y1Y2)－E(Y1)E(Y2)=E(.(B)是答案.3.设X服从正态分布N(0,22),而X1,X2,…,X15为来自总体X的简单随机样本,则随机变量所服从的分布为(A)2(15)(B)t(14)(C)F(10,5)(D)F(1,1)解.,所以,即(C)是答案.三.计算题1.设X1,X2,…,X10为总体N(0,0.32)的一个样本,求.解.因为X1,X2,…,X10为总体N(0,0.32)的一个样本,所以2.从一正态总体中抽取容量为10的一个样本,若有2的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上,试求总体的标准差.解.因为总体X服从N(,2),所以.由知即查表得3.设总体X～N(72,100),为使样本均值大于70的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大?解.假设样本容量为n,则由得P(>所以.4.设总体X服从N(,4),样本(X1,X2,…,Xn)来自X,为样本均值.问样本容量至少应取多大才能使i.ii.解.i.所以n³40.ii..所以(,查表得n³15375.设,证明:i.=;ii..解.i.===ii.==第六章参数估计一．填空题1.设总体X～N(,2),若2已知,总体均值的置信度为1－的置信区间为:,则=________.解.X～N(,2),则由得置信区间所以.2.设由来自正态总体N(,0.92)容量为9的简单随机样本,得样本均值=5,则未知参数的置信度为0.95的置信区间_______.解.由第一题及查表知.的置信区间为3.设X1,X2为来自正态总体N(,2)的样本,若为的一个无偏估计,则C=_______.解.,所以4.设(X1,X2,…,Xn)为来自正态总体X～U(,+1)(>0)的样本,则的矩估计量为____;极大似然估计量为_____.解.总体X的密度为i.矩估计量用来估计E(X):,ii.最大似然估计Xi～(i=1,2,…,n)所以(X1,X2,…,Xn)的联合密度为在范围中为常数.q³min{x1,…xn}.所以=min{x1,…xn}.5.设(X1,X2,…,Xn)为来自正态总体N(,2)的样本,a,b为常数,且0<a<b,则随机区间的长度L的数学期望为______.解.二．单项选择题1.设总体X～N(,2),其中2已知,则总体均值的置信区间的长度l与置信度1－的关系是(A)当1－缩小时,l缩短.(B)当1－缩小时,l增大.(C)当1－缩小时,l不变.(D)以上说法均错.解.的置信区间为,当1－缩小时,缩小.置信区间长度为2.所以(A)是答案.2.设总体X～N(,2),其中2已知,若样本容量n和置信度1－均不变,则对于不同的样本观察值,总体均值的置信区间的长度(A)变长(B)变短(C)不变(D)不能确定解.由第一题知:的置信区间长度为2,和样本的取值无关.(B)是答案.3.设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立且同分布,,,则S(A)是的一致估计(B)是的无偏估计(C)是的极大似然估计(D)与相互独立解.(A)是答案,具体内容超出大纲要求.4.设的无偏估计,且D()0,则()2必为2的(A)无偏估计(B)有偏估计(C)一致估计(D)有效估计解.因为的无偏估计,所以E()=.E(()2)=D()+[E()]2=D()+22.(B)是答案.5.设(X1,X2,…,Xn)为取自正态总体X～N(,2)的样本,则2+2的矩法估计量为(A)(B)(C)(D)解.按矩估计方法:,所以+=.(D)是答案.6.设总体X的分布中未知参数的置信度为1－的置信区间是[T1,T2],即则下列说法正确的是(A)对T1,T2的观察值t1,t2,[t1,t2](B)以1－的概率落入区间[T1,T2](C)区间[T1,T2]以1－的概率包含(D)的数学期望E()必属于[T1,T2]解.(C)是答案.三.计算与证明题1.设总体X服从参数为的Poisson分布,X1,X2,…,Xn为样本,试求的矩估计和极大似然估计.解.Xi～i.矩估计因为E(X)=,所以.ii.最大似然函数为所以.2.设总体X的密度函数为其中－<<+,2 >0为未知参数,试求,2的极大似然估计.解.最大似然函数为所以,3.设总体X服从(0,)上的均匀分布,X1,X2,…,Xn为取自X的样本.i.求的矩估计,并讨论其无偏性和一致性.ii.求的极大似然估计,并讨论其无偏性和一致性.解.总体X～i.矩估计,所以,,所以是的无偏估计;因为