概率论与数理统计总结和试卷

随机事件及其概率一、随机现象1．确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.2．随机现象在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果.二、随机试验1．如果一个试验都具有以下的特点：（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。2．我们把随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记为Ω。样本空间的元素，即的每个结果，称为样本点，记为ω3．在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件。随机事件常用大写字母表示，它是样本空间Ω的子集合。在每次试验中，当且仅当子集中的一个样本点出现时，称事件发生。三、事件间的关系与运算设试验的样本空间为Ω，而是Ω的子集。（1）事件的包含与相等:若事件发生必然导致事件发生，则称事件包含事件，记为或者。若且，即，则称事件与事件相等。（2）事件的和:事件与事件至少有一个发生的事件称为事件与事件的和事件，记为.事件发生意味着：或事件发生，或事件发生，或事件与事件都发生。（3）事件的积:事件与事件都发生的事件称为事件与事件的积事件，记为，也简记为。事件（或）发生意味着事件发生且事件也发生，即与都发生。（4）事件的差:事件发生而事件不发生的事件称为事件与事件的差事件，记为。（5）互不相容事件(互斥):若事件与事件不能同时发生，即，则称事件与事件是互斥的，或称它们是互不相容的。若事件中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。(6)对立事件:“不发生”的事件称为事件的对立事件，记为.和满足：，，。（7）事件运算满足的定律设为事件，则有交换律:；。结合律:；。分配律:；。对偶律:；。四、频率设为任一随机试验，为其中任一事件，在相同条件下，把独立的重复做次，表示事件在这次试验中出现的次数（称为频数）。比值称为事件在这次试验中出现的频率。五、概率的统计定义1．设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称数为事件的概率，记为：。2．概率的性质（1）.（2），.（3）若，则.（4）.（5）.特别地，若，，.（6）对任意两个事件，有.六、古典概型（等可能概型）如果做某个随机试验时，只有有限个事件可能发生，且事件满足下面三条：（1）发生的可能性相等（等可能性）；（2）在任意一次试验中至少有一个发生（完备性）；（3）在任意一次试验中至多有一个发生（互不相容性）。具有上述特性的概型称为古典概型或等可能概型。称为基本事件。等可能概型中事件概率的计算：设在古典概型中，试验共有个基本事件，事件包含了个基本事件，则事件的概率为七、条件概率设是两个事件，且，称=为在事件发生的条件下事件发生的条件概率八、乘法公式由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式：利用这个公式可以计算积事件。九、全概率公式全概率公式：为样本空间Ω的一个事件组，且满足：（1）互不相容，且;(2)Ω则对Ω中的任意一个事件都有十、贝叶斯公式设是样本空间Ω的一个事件，为Ω的一个事件组，且满足：（1）互不相容，且;(2)Ω，则十一、事件的独立性1.若两事件，满足,则称，相互独立2.若四对事件中有一对是相互独立的，则另外三对也是相互独立的.3.设是三个事件，如果满足：则称这三个事件是两两独立的。4.设是三个事件，如果满足：,则称这三个事件是相互独立的。5.三个事件相互独立一定是两两独立的，但两两独立未必是相互独立。

第二章随机变量随机变量的定义1．设Ω是随机试验E的样本空间，若对每个ω∈Ω有一个实数X(ω)和它对应，就得到一个定义在Ω上的单值实函数X(ω)，称X(ω)为随机变量。随机变量通常用英文大写字母X,Y,Z或希腊字母z,x,h等表示。随机变量的取值一般用小写字母x,y,z等表示。2．随机变量的分类：（1）离散型随机变量-所有取值可以逐个列举。（2）连续型随机变量-全部可能取值不仅有无穷多，而且不能能一一列举，充满某些区间。二、离散型随机变量的概率分布1．设离散型随机变量可能取的值为，且取这些值的概率为：(则称上述一系列等式为随机变量的概率分布。为了直观起见，有时将的取值及其对应的概率列表如下：………………我们称这种表为离散型随机变量的概率分布表。式子，（和概率分布表都称为离散型随机变量的分布律.2。离散型随机变量的概率分布具有以下两个性质：（1）（非负性）（2）（归一性）。三、随机变量的分布函数1．设为一个随机变量，为任意实数，称函数为的分布函数。当固定为时，为事件的概率，当变化时，概率便是的函数。2．分布函数的性质（1）.（2）是自变量的非降函数，即当时，必有（3）对自变量右连续，即对任意实数，，四、分布密度的概念(1.设随机变量的的分布函数为，如果存在一个非负可积函数，使得对于任意实数，有：则称为连续型随机变量，而称为的分布密度函数（或概率密度函数），简称分布密度（或概率密度）。由分布密度的定义及概率的性质可知分布密度必须满足：1）0；从几何上看，分布密度函数的曲线在横轴的上方；2）；3）对于任意实数，且有；4）若在点处连续，则有.注:eq\o\ac(○,1)对于任意实数有.即连续型随机变量取某一实数值的概率为零。eq\o\ac(○,2)

第三章随机向量一、二维随机变量及其分布函数1.设试验E的样本空间为Ω，X=X(w)与Y=Y(w)是定义在Ω上的两个随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机向量或，称的取值规律为二维分布.2.设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布函数，或称为的联合分布函数。3.如果把二维随机变量看作平面上具有随机坐标的点，那末分布函数在（）处的函数值就是随机点落在以点（）为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。4.二维随机变量的分布函数的性质（1）；（2）是变量的不减函数，即：对于任意固定的，当时有；对于任意固定的，当时有.（3）对于任意固定的，；对于任意固定的，,并且，.二、二维离散型随机变量的概率分布1.如果二维随机变量可能取的值只有有限个或可列个，则称为二维离散型随机变量。如果是二维离散型随机变量，则均为一维离散型随机变量；反之亦成立。2.设二维随机变量所有可能取的值为，则称为的概率分布，或称为的联合分布。二维离散型随机变量的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示：….....................................................显然，具有以下性质：1）1,2,…）;2）;（3）如果是二维离散型随机变量，那末它的分布函数可按下式求得：，这里和式是对一切满足不等式，的来求和的。三、二维连续型随机变量的概率分布1.设是二维随机变量，如果存在一个非负函数，使得对于任意实数，都有则称是二维连续型随机变量，函数称为二维连续型随机变量的分布密度，或称为的联合密度。二维分布密度具有以下性质：（1）；（2）；（3），其中D为XOY平面上的任意一个区域；（4）如果二维连续型随机变量的密度连续，的分布函数为，则四、边缘分布1.设是二维随机变量，称分量的概率分布为关于的边缘分布；分量的概率分布为关于的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作与。2.若已知，则随机变量的概率分布为关于的边缘分布如下：同样得到关于的边缘分布：，.记,所以关于的边缘分布列为：............关于的边缘分布列为：............3.设是的联合密度函数，则分别是关于的边缘分布密度函数。五、条件分布1.设(X,Y)是二维离散型随机向量，对固定的j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下,随机变量X的条件概率分布。对固定的i，若P(X=xi)>0，则称为在X=xi条件下,随机变量Y的条件概率分布。2.设X和Y是随机变量，给定y,若对任意固定正数，P(y-ε<Y≤y+ε)>0，且对任意实数x，极限存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数，记成FX|Y(x|y)。若存在fX|Y(x|y),使得则称fX|Y(x|y)为在条件Y=y下X的条件概率密度函数，简称条件概率密度。3.设随机向量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，Y的边缘概率密度为fY(y)。若f(x,y)在点(x,y)处连续,当fY(y)>0时，同理，当fX(x)>0时，六、随机变量的独立性1.设是二维随机变量，如果对于任意有，则称随机变量与是相互独立的。2.设是二维离散型随机变量，，依次是，的概率分布，则相互独立的充要条件是：对于所有可能的取值，都有，即对所有的，都有。3.设是二维连续型随机变量，分别是联合密度函数与边缘密度函数，则相互独立的充要条件是：对任意的实数，都有。七、两个随机变量的函数的分布和的分布已知的联合密度为，求的密度函数。的分布函数：；上两式为的密度函数的一般公式。特别当相互独立时，由于对一切都有，此时的密度函数的公式为：或（2.1）上式称为卷积公式2.设，，…，相互独立，且，则其和仍服从正态分布，且第四章随机变量的数字特征一、数学期望：1.设离散型随机变量的分布律为若级数绝对收敛，则称其为随机变量的数学期望或均值．记为．若级数发散，则称随机变量的数学期望不存在．2.设连续型随机变量的分布密度函数为，若积分绝对收敛，则称其为的数学期望或均值．记为，．3.随机变量的函数的数学期望设为随机变量的函数：(g是连续函数)，（1）是离散型随机变量，分布律为；若级数绝对收敛，则有．（2）是连续型随机变量，它的分布密度为，若积分绝对收敛，则有．4.设是随机变量的连续函数，（1）是二维离散型随机变量，联合分布律为；则有．（设该级数绝对收敛）（2）是二维连续型随机变量，联合分布密度为，则有．（设该积分绝对收敛）5.数学期望的性质①．设是常数，则有．②．设是随机变量，设是常数，则有．③．设，是随机变量，则有．④．设，是相互独立的随机变量，则有．二、方差1、方差的概念设是随机变量，存在，就称其为的方差，记为(或)，即称为标准差，记为．2、方差的计算（1）。（2）是离散型随机变量，分布律为；则。（3）是连续型随机变量，它的分布密度为，则。3、方差的性质（1）设是常数，则有。（2）设是常数，则有。（3）设，是相互独立的随机变量，则有。（4）设是相互独立的随机变量，则。三、协方差及相关系数、矩1、协方差及相关系数的定义设有二维随机变量，如果存在，则称为随机变量与的协方差．记为，即称为随机变量与的相关系数．若，称与不相关．协方差与相关系数的性质协方差的性质(1)。(2)。(3)。(4)；(5)。(6)若与相互独立，则，即与不相关．反之，若与不相关，与不一定相互独立。(7)．相关系数的性质(1)；。(2)若与相互独立，则。(3)当与有线性关系时，即当（为常数，）时，，且。(4)的充要条件是，存在常数使．4.矩设和是随机变量，若存在，称它为的阶原点矩，简称阶矩．若存在，称它为的阶中心矩．若存在，称它为和的阶混合矩．若存在，称它为和的阶混合中心矩．第五章大数定理与中心极限定理一、(切比雪夫不等式)设随机变量X有期望m和方差，则对任给的,有二、设X1,X2,…是一随机变量序列。如果对任意的n>1，X1,X2,…,Xn,…相互独立,则称X1,X2,…相互独立。三、(切比雪夫大数定律)设随机变量序列X1,X2,…相互独立，且有相同的期望和方差:E(Xi)=,Var(Xi)=，i=1,2,…则对任意的，有四、(贝努里大数定律)设nA是n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是A发生的概率，对任给的>0，有或五、(辛钦大数定律)设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，有有限的数学期E(Xi)=m,i=1,2,…，则对任给>0，有六、(列维——林德伯格定理)设X1,X2,…是独立同分布随机变量序列，且E(X1)=,Var(X1)=2，对任给x∈(-∞,∞),均有七、(棣莫佛——拉普拉斯定理)设随机变量Yn服从参数为(n,p)的二项分布(0<p<1)，则对任意x∈(-∞,∞)，均有第六章样本与统计量一、总体与样本在数理统计中，称研究问题所涉及对象的全体为总体，总体中的每个成员为个体。例如:研究某工厂生产的某种产品的废品率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品都是一个个体。为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是：从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检测)，统计学上称这些样品为一个样本对一个总体，如果用X表示其数量指标，那么，X的值对不同的个体就取不同的值。因此，如果我们随机地抽取个体，则X的值也就随着抽取个体的不同而不同。所以，X是一个随机变量!既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。我们把X的分布称为总体分布。总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常把总体和总体分布视为同义语。.二、统计量设为总体的样本，则下列各量均是统计量，它们今后要经常被用到。（ⅰ）,称为样本均值。（ii）,称为样本方差。（iii）,称为样本标准差。（iv）,称为样本阶原点矩。（v）,称为样本阶中心矩三、分布1.设为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态分布，则称随机变量服从自由度为的分布，记作～．下面的定理称为分布的可加性定理2.设,则（ｉ），。（ⅱ）的密度函数为其中称为伽马函数，定义为3.设是个相互独立的随机变量，,，则四、分布和分布1.设，，与独立，则称随机变量服从自由度为的分布，记成．的密度：2.设，，与独立，则称随机变量服从自由度为（,）的分布，记成．的密度函数为五、分位数1.设为一随机变量，为其分布函数，我们知道对于给定的实数，．给出了事件的概率。在统计中，我们常常需要考虑上述问题的逆问题：就是若已给定分布函数的值，亦即已给定事件的概率，要确定取什么值。易知,对通常连续型随机变量，实际上就是求的反函数，准确地说,有如下定义：2.设的分布函数为，满足则称为的分位数（点）。3.这里要注意到如下几个有用的事实。(1)若，要求的分位数可化成求的分位数：此时，故，即．(2)对于，由密度函数的对称性可知即.(3)对于，．即(4）对于较大的，由,的渐近性质，可得或六、正态总体的抽样分布设总体，为总体的样本，则样本均值，。第七章参数估计一、矩估计法若总体的阶矩存在，，用样本阶原点矩来近似总体的阶矩，这种用样本原点矩去估计总体相应原点矩的方法，一般地，若总体的分布有个参数，则显然，总体的阶矩（）如果存在的话，必依赖这些参数，即按照用样本矩近似真实矩的原则，可得方程（6.1）若上述关于的方程组有唯一的解则称是的矩估计量或矩估计。二、极大似然估计关键有两步：第一步写出某样本出现概率的表达式，对于离散型总体，设它的分布列为则样本出现的概率为对于固定的样本，是参数的函数，我们称之为似然函数。第二步则是求是参空间）,使得达到最大，此即为所求的参数的极大似然估计。这里还需要着重强调几点：ａ）当总体是连续型随机变量时似然函数。ｂ）为了计算方便，常对似然函数取对数，并称为对数似然函数c）对对数似然函数关于求导，再令之为0，即得(6.2)解上述方程，即得到的极大似然估计，．三、估计量的评价准则1.设=是的一个估计量，若对任意的，都有，则称是的无偏估计量2.是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小，为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，即哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”。均方误差可分解成两部分:区间估计1.对于参数，如果有两个统计量,，满足对给定的，有则称区间[，]是的一个区间估计或置信区间，，分别称作置信下限、置信上限)，称为置信水平。3.设0<<1,对随机变量X，称满足P(X>z)=的点z为X的上分为点4.总体方差已知时将总体期望按已知置信度进行区间估计5.总体方差未知时将总体期望按已知置信度进行区间估计6.总体期望已知时将总体方差按已知置信度进行区间估计7.总体期望未知时将总体方差按已知置信度进行区间估计几种常用随机变量的数字特征名称记法分布或密度期望方差两点分布X~B(1,p)P(X=k)=pk(1-p)1-k;k=0,1pp(1-p)二项分布X~B(n,pP(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k;k=0,1,…,nnpnp(1-p)泊松分布X~P(l)几何分布X~G(p)P(X=k)=p(1-p)k-1;k=1,2,3,…,1/p(1-p)/p2均匀分布X~U(a,b)指数分布X~E()正态分布X~N()

试卷(1)一、填空题1.设P(A)=0.2，P(AUB)=0.6，若A,B互斥，则P(B)=。2.设P(A)=0.8，P(B|A)=0.5，则P(AB)=。3.设X~B(6,p)，E(X)=2.4，则p=___。4.设X~P()，且P(X=1)=P(X=2)，则=_________。5.将一颗均匀的骰子连掷两次，则两次出现的点数之和等于9的概率为。6.设X~U(1,3),Y~B(5,0.6)且机变量，相互独立，则Var(X-Y-1)=__________。7.设随机变量X的期望,方差Var(X)=2,利用切比雪夫不等式估计:P(|X-|<2)>。8.设X1,X2,…,X10是来自正态总体N(,2)的简单样本,是样本均值,S2是样本方差，则统计量9S2/2服从。9.设X1,X2,…,Xn是总体N(0,2)的样本，则_______________可以作为的无偏估计量。10.若随机变量X与Y有Var(X)=4,Var(Y)=1,Cov(X,Y)=1,则Var(X+2Y)=______。二．判断题：对的打“√”,错的打“×”1.若随机变量X与Y的协方差为cov(X,Y),且X与Y相互独立,则cov(X,Y)=0.()2.若随机变量(XY)～N(1,2,12,22,),且=0,则X与Y相互独立()3.样本均值的平方2是总体期望平方2的无偏估计()4.若X与Y都是标准正态随机变量，则X+Y~N(0,2)()5.如果随机变量XN(,2),则(X)/N(0,1)()三、1.射手对目标独立射击5发,单发命中概率为0.6,求(1)恰好命中两发的概率;(2)至多命中3发的概率;(3)至少命中一发的概率2.仓库中有10箱统一规格的产品，其中2箱由甲厂生产，3箱由乙厂生产，5箱由丙厂生产，三厂产品的合格率分别为85%，80%和90%，从这10箱中任取一箱，再从该箱中任取一件(1)求这批产品的合格率(2)已知该件产品为合格品，求此产品属于甲厂生产的概率。四、1.已知二维随机变量（X,Y）的概率密度为（1）试确定常数C（2）求X和Y的边缘分布并判断X和Y是否独立(3)求P(X<1,Y>-1)2.随机变量的分布律P{X=0}=0.5,P({X=1}=0.25,P{X=2}=0.125,P{X=3}=0.125已知，求3.设总体具有概率密度,为一样本,未知参数,求的矩估计量和最大似然估计4.机器自动包装某食品，设每袋食品的净重量服从正态分布，从中随机抽查9袋，测得净重为：9,12,11,8,7,13,9,14,12试求μ的置信度为0.90的置信区间（1）2=4已知；（2）未知.

试卷(2)一、填空题1、在图书馆中随意抽取一本书，事件:A表示数学书，B表示中文书，C表示平装书，则表示。2、设且事件与独立，则=。3、某射手射击的命中率为0.6，在4次射击中两次且只有前两次命中的概率是。4、将一颗均匀的骰子连掷两次，则两次出现的点数之和等于7的概率为。5、设随机变量服从二项分布,则Var(X)=。6、设总体X~N(,2)，是来自的样本，则当常数时，为的无偏估计。7、设总体服从正态，则统计量服从分布。8、设随机变量X的概率分布列为P(X=0)=0.5,P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.2;则E(X)=.9、设随机变量、、相互独立,都服从,则随机变量服从分布。10、设X~N(,2)则P(9.977<X<10.023)=。（已知）。二．已知10把钥匙中3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率。三、设同一年级有两个班：一班30名学生,其中10名女生;二班20名学生,其中8名女生.在两个班中任选一个班,然后从中挑选一名学生.求选出的是女生的概率.四、设随机变量X与Y的联合概率分布如下：求(1)的分布列(2)的分布列五、设随机变量的概率密度函数为(1)确定常数A;(2)计算概率.P(-1<x<0.5)六、（设随机变量的联合密度函数为：(1)求随机变量X与Y的边缘密度；(2)判断随机变量X与Y是否相互独立？为什么？七、设某机床加工的零件长度X~N(,2),今抽查8个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15,12.01,12.08,12.01,12.13,12.07,12.11,12.06;在置信度为95%时，试求总体方差2的置信区间.（已知）八、设总体X的概率密度为:其中为未知参数，又设x1,x2,x3,…,xn是X的一组样本观测值。求：(1)未知参数的矩估计值；(2)未知参数的最大似然估计值。

试卷(3)一、填空题1、设A,B,C为随机事件，则A,B,C不都发生的事件可表示为。2、设且事件与互不相容，则=。3、某射手射击的命中率为0.5，在4次射击中命中3次的概率是。4、将一颗均匀的骰子连掷两次，则两次出现的点数之和等于8的概率为。5、设随机变量服从二项分布,则。6、设总体，是来自的样本，则当常数时，为的无偏估计。7、设总体服从正态，则统计量服从分布。8、设随机变量的概率分布列为P(=0)=0.5,P(=1)=0.3,P(=2)=0.2，则的概率分布列为。9、随机变量X的所有可能值为1和x，且P(X=1)=0.4,E(X)=0.2，，则x。10、若是参数的无偏估计量,则满足二．已知10只晶体管中有4只次品，在其中任取两只，求下列事件的概率：(1)两只都是次品；(2)一只是正品一只是次品；(3)第二次取出的是正品。三、设同一年级有两个班：一班30名学生,其中10名女生;二班20名学生,其中8名女生.在两个班中任选一个班,然后从中先后挑选两名学生.求先选出的是女生的概率.四、设随机变量的联合概率密度为:确定常数;求.五、设随机变量在[1,6]上服从均匀分布求一元二次方程x2+Xx+1=0有实根的概率。六、（10分）设随机向量的联合密度函数为：，(1)求随机变量X与Y的边缘密度；(2)判断随机变量X与Y是否相互独立？为什么？七、设总体,若样本观测值为:1，2，5，7，5，4求:(1)已知,求总体均值的置信度为0.95的置信区间(2)未知,求总体均值的置信度为0.95的置信区间（已知）八、设总体的概率密度为:试求：(1)未知参数的矩估计量；(2)当样本观测值为时，求的矩估计值。

试卷(4)一、填空题1．设P(A)=0.3,P(B)=0.4，又知A,B相互独立，P(A∪B)=_________，P(A|B)=。2.设随机变量的分布律为,则a=3.设X~U(15,115)，则X的概率密度为=_______,E(X)=_______,Var(X)=_________.4．从1—200的整数中任取一个数，此数能被5整除的概率为。5.若随机变量X为连续性随机变量,则概率值P(X=5)=__________。6.设总体X服从参数为的泊松分布，若样本观测值为x1,x2,…,xn,则参数的矩估计值为_______.7.从总体N(0,0.52)中抽取容量为10的样本X1,X2,…,Xn,则样本的均值服从_______________分布，统计量服从_______________分布。二、三台机器相互独立运转，设第一、第二、第三台机器不发生故障的概率依次为0.6，0.8，0.8，求：(1)这三台机器都不发生故障的概率；(2)这三台机器中至少有一台发生故障的概率三、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意的拨最后一个号码，求他拨号不超过两次而接通的概率。四、设随机变量X的概率密度为(1)试确定常数；(2)求随机变量X的分布函数F(x);(3)求随机变量X的数学期望E(X)与方差Var(X).五、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：试求(1)系数c；(2)X和Y各自的边缘密度函数；(3)X与Y相互独立吗？为什么？六、设总体X~N(,2),若样本观测值为：14,15,15,16,14,16求(1)已知,求总体均值的置信度为0.95的置信区间(2)未知,求总体均值的置信度为0.95的置信区间（已知）七、证明题已知总体X的概率密度函数为(>0),x1,x2,…,xn为X的一组观察样本，证明的最大似然估计值是样本的均值.

试卷(5)一、填空题1.设A、B、C是3个随机事件，则这3个事件中至少有1个发生这一随机事件可表示为____________,A、B、C不同时发生可表示为__________。2.从1—1000的整数中任取一个，此数能被2整除的概率为。3.设P(A)=0.3,P(B)=0.4，又知A,B相互独立，P(A∪B)=_________，P(A|B)=。4.设随机变量的分布律为P(=k)=k/(k=1,2,3,4)，则=_______,P(1.5<<3.1)=________。5.设随机变量服从二项分布B(4,0.75),则E(X)=,Var(X)=。设X1,X2,…,Xn,是从正态总体N中抽取的样本，与分别表示其样本均值和样本方差，则统计量服从自由度为______的,_______分布。二、设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在一次试验中出现的概率.三、设X与Y是两个相互独立的随机变量，X服从在[0,1]的均匀分布，Y的概率密度函数为(1)求X的概率密度函数,(2)求（X,Y）的联合概率密度函数.四、设随机变量X的概率密度为：,已知E(X)=0.75;求k和a的值五、一个车间生产滚珠的直径X~N(,0.05)，从某天的产品里随机抽取5个，量的直径如下（单位：mm）:14.5,15.1,14.9,15.2,15.1,求滚珠均值的置信度为0.95的置信区间。（已知）六、设随机变量X～N(1,22),随机变量Y～N(10,1)且X与Y独立。令Z=2X-Y+5，求E(Z),Var(Z),并写出Z的概率密度七、证明题:从总体X中抽取样本X1，X2，X3，证明下列统计量都是总体均值的无偏估计，并确定哪个估计量更有效。

试卷(6)一、填空题1.若，则=.2.一袋中放5只白球，3只黑球，从中任取一个球，此球为白球的概率为将.3.设，=．4.设随机变量的期望，方差,利用切比雪夫不等式估计：.5.设随机变量X1~N(2,4),X2~N(-1,1),且与相互独立，则2X1-X2其概率密度函数f(x)=．6.设总体服从正态分布N(,2)，X1,X2,…Xn是取自总体的样本，则服从的分布为.7.设两个相互独立的随机变量，的方差分别是3和1，则为．8.X的分布表P(X=-1)=0.5C,P(X=0)=0.3C,P(X=1)=0.2C,则C=9.设随机变量X,Y,Z相互独立,都服从,则随机变量U=X2+Y2+Z2服从自由度为的分布.二、一批产品共有100件，其中有４件次品，求(1)任取3件产品恰有１件次品的概率．(2)任取3件产品没有次品的概率．(3)任取3件产品中次品不少于２件的概率．三、已知男人中有5‰是色盲患者，女人中有0.25‰是色盲患者，今从男女人数相等的人群中任选一人，求恰好是色盲患者的概率.四、设随机变量服从正态分布，求概率．五、对同一靶子进行3次独立射击，第一、二、三次击中的概率分别为，，，求下列事件的概率：（1）三次都中靶；（2）第三次才中靶；（3）至少击中靶一次；七、设随机向量的概率密度函数为，试求(1)系数；(2)随机变量的分布函数；(3)求概率P(0.3<X<0.8)；YX01200.10.250.1510.150.20.15八、设随机变量与的概率分布如下：求（1）X2的分布列；（2）X+Y的分布列.九、若随机变量与有Var(X)=2,Var(Y)=4,Cov(X,Y)=1,求Var(2X-4Y).十、一台自动车床加工的零件长度。从该车间加工的零件中随机地抽取4个，测得其长度如下:12.6,13.4,12.8,13.2试求:（1）.样本方差；（2）.总体方差的置信度为0.95的置信区间．（附：，，，.）

试卷(7)一、填空题1.若P(A)=0.8,P(AB)=0.5，则=.2.一口袋中放有5只白球，3只黑球，从中任取一个球，此球为红球的概率为.3.设X~U(3,5);E(X)=,Var(X)=4.设随机变量X~N(1,4)，则概率密度函数f(x)=．5.设总体X服从正态分布N(,2)，则统计量服从分布．5.若是参数的无偏估计量,则满足.7.设两个相互独立的随机变量X,Y的方差分别是2和1，则Var(3X+2Y)=．8.设随机变量X的分布P(X=-1)=0.5C,P(X=0)=0.3C,P(X=C)=0.2;则C=.9.设随机变量X,Y相互独立,都服从N(0,1),则随机变量Z=X2+Y2服从自由度为的χ2分布.10.设X1,X2,…Xn是来自0-1分布：P(X=1)=p,P(X=0)=1-p的样本，则____，=____.二、简答题1.一批产品共有200件，其中有6件次品，求(1)任取３件产品恰有１件次品的概率．(2)任取３件产品没有次品的概率.(3)任取３件产品中次品不少于２件的概率．2．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25％、35％、40％，各车间产品的次品率分别为5％、4％、2％.求全厂产品的次品率.3.设随机变量服从正态分布N(1,22)，求概率P(-1.6≤X≤2.4).()三、解答题1.有一个盒子里有张无奖彩票，张有奖彩票，现从中取出张，用代表所取出的有奖彩票数，求：的分布列。2．设随机向量X的分布函数为,试求(1)系数A;(2)概率密度函数；(3)P(0.1<x<0.7)；四、解答题1．设二维随机变量的联合密度函数为：求：（1）参数A；（2）X和Y的边缘分布并判断X和Y是否独立；（3）P{X≥1,Y≤0.5}（12分）2．设随机变量的概率分布：P{X=-1}=0.125,P{X=0}=0.25,P{X=1}=0.375,P{X=2}=0.25求(1)X2的分布列；(2)E(X)与Var(X).3.设电子元件的寿命服从正态分布X~N(,2)。抽样检查10个元件，得到样本均值，样本标准差s=14(h)，试求:总体均值的置信度为0.99的置信区间．（附：，，，.）

试卷(8)一、填空题1．设A,B,C表示三个事件，将下列事件用A,B,C表示出来：（1）A,B,C都发生_____；（2）A,B,C至少有一个会发生_______；（3）A,B发生且C不发生______。2.已知P(A)=0.2，P(B)=0.3,P(AB)=0.1,则P(A∪B)=______。3.设随机变数X的分布律为P(X=k)=k/21(k=1,2,...,6),则P(X<2)=______。4.若随机变量X为连续随机变量，则P(X=2)=______。5.已知随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E(X)=_____,Var(X)=______。6.设总体为X，（X1,X2,...,Xn）为来自总体X的一个样本，则总体X的样本均值=__,样本方差S2=___。.7.设总体X服从参数为的泊松分布，若样本观测值X1,X2,…,Xn,则参数的矩估计为______。二、设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取三次，每次取一个元件，求：（1）三次都取得一等品的概率；（2）三次中至少有一次取得一等品的概率；三、甲，乙两个人各自独立地做同一实验，且知甲，乙试验成功的概率分别是0.6,0.8，求：（1）甲，乙两个人实验同时成功的概率；（2）实验取得成功的概率。四、设随机变量X的概率密度为求：（1）k的取值；（2）随机变量X的分布函数；（3）随机变量X的数学期望E(X)和方差Var(X)。X-1012P(X)0.10.30.20.4五、设离散随机变量X的概率分布如下:求（1）P(0＜X≤2)；（2）随机变量X的分布函数；（3）Y1=X+1及Y2=X2的概率分布。六、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为求：（1）概率P(0<X<1,Y>0)；（2）X及Y的边缘概率密度；（3）判断随机变量X与Y是否相互独立？七.某电子产品的一个指标服从正态分布，从某天生产的产品中抽取15个产品，测得该指标的样本均值为2.80，样本标准差为0.215。(1)取显著性水平=0.05，是否可以认为该指标的平均值显著地大于2？(2)求该指标的方差的0.95的置信区间.

试卷(9)填空题设A,B,C为三个随机事件，试用A,B,C表示下列事件：（1）A,B,C都不发生___________;（2）A,B,C至少有一个发生_______________。2．将一颗均匀的骰子连掷两次，则两次出现的点数之和等于8的概率为____。3．三人独立破译密码，他们能单独译出的概率分别为则此密码能被译出的概率为___________。4．设随机变量X服从二项分布B（4,0.75），则Var(X)=___________。5．若随机变量X与Y有D(X)=4,D(Y)=1,Cov(X,Y)=1,则Var(-2X+4Y)=__________。6.若P(A)=0.3,P(AB)=0.18,则P(B|A)=___________。7.设总体X服从正态N(则统计量服从___________分布。8．某射手射击的命中率为0.4，在4次射击中3次的概率是______，至少命中一次的概率是_________。9．随机变量X与Y相互独立，都服从N（0,1）,则随机变量Z=X2+Y2服从自由度为_______的分布。10．若,都是参数的无偏估计量，若它们满足_________，则称比有效。二、简答题11．已知10只晶体管中有3只次品，在其中任取两只，求下列事件的概率：（1）两只都是次品；（2）一只是正品，一只是次品；（3）第二次取出的是正品。12．某工厂有甲，乙，丙三个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求全厂产品的次品率。13．设抽样得到的样本观测值为：2,7,3,5,8，计算样本均值，样本方差，样本二阶原点距。三、解答题14．设随机变量X的概率密度函数为试求（1）系数A；（2）X的分布函数F(x)；（3）求概率P(0.3<X<0.8);15．设随机变量（X,Y）的联合概率密度,（1）求X,Y的边缘概率密度；（2）证明X与Y相互独立。X0123Pab0.20.4四、解答题16．设随机变量X的概率分布如下：且E(X)=1.7,求（1）常数a,b;（2）计算Var(X)。17．设总体X的概率密度为：试求：（1）未知参数的矩估计量；（2）当样本观测值为0.3,0.8,0.7,0.35,0.62,0.55时，求的矩估计值。18.设有某种油漆的9个样品，其干燥时间（以小时记）分别为：6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0设干燥时间总体X～N（并且已知求总体均值的置信度为.95的置信区间。（,0.025=1.96,t0.05(9)=1.833,t0.025(8)=2.31）试卷(10)一、填空题1.设且事件与相互独立，则P(A∪B)=.2.将一颗均匀的骰子连掷两次，则两次出现的点数之和等于7的概率为.3.对于两个随机事件与，若，则称事件与是．4.设随机变量服从二项分布,则,.5.设随机变量,则的概率密度函数．6.设随机变量与相互独立,X~N(0,1),Y~2(k),则随机变量服从自由度为的分布.7.设抽样得到的样本观测值为:8,9,8,7,6,则样本均值,样本方差.8.若是参数的无偏估计量,则满足．9.设随机变量与相互独立,都服从,则随机变量服从自由度为的分布.10.若二维随机变量则与相互独立的充分必要条件是．二、解答题1.从5双不同颜色的袜子中取4只,求4只袜子中至少有2只配成一双的概率．2．设同一年级有两个班：一班50名学生,其中10名女生;二班30名学生,其中18名女生.在两个班中任选一个班,然后从中先后挑选两名学生.求先选出的是女生的概率.三、解答题1.设某种元件的寿命(以小时计)的概率密度为:,一台设备中装有3个这样的元件,求:(1)最初1500个小时内没有一个损坏的概率;(2)最初1500个小时内只有一个损坏的概率?2.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为,(1)确定常数A;(2)求P(X<1,Y<3).3.设随机变量的概率分布如下：,求E(X),E(-X+1)四、1.设随机变量服从正态分布，求概率2.设总体的概率密度为:其中是未知参数,样本观测值为,试求参数的矩估计和极大似然估计值．3.设总体,若样本观测值为:14,15,15,16,14,16,求:(1)已知,求总体均值的置信度为0.95的置信区间(2)未知,求总体均值的置信度为0.95的置信区间;

试卷(11)一、填空题1.设且事件与相互独立，则=.2.将一颗均匀的骰子连掷两次，则两次出现的点数之和等于5的概率为.3.对于两个随机事件A与B，若P(AB)=0，则称事件与是．4.设随机变量X服从二项分布B(8,0.25),则E(X),Var(X).5.设随机变量X~N(1,2),则X的概率密度函数f(x)=．6.设总体服从正态分布，则统计量服从自由度为的分布.7.设总体服从正态分布，则统计量服从分布．8.若是参数的无偏估计量,则满足．9.设随机变量X,Y,Z相互独立,都服从N(0,1),则随机变量U=X2+Y2+Z2服从自由度为的χ2分布.10.若二维随机变量则与相互独立的充分必要条件是．二、简答题1.一批产品共有100件，其中有４件次品，求(1)任取３件产品恰有１件次品的概率．(2)任取３件产品没有次品的概率．(3)任取３件产品中