概率论与数理统计习题册答案

湖北汽车工业学院理学系数学教研室唯一一位出书的老教授.致敬!本书相比浙大的概论,通俗易懂,内容简洁.2概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为有利事件总数为设表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共种；这三本书的排列顺序数为；故有利事件总数为(亦可理解为设表示“指定的三本书放在一起”，则三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数设表示“最强的两队被分在不同组”，则四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设表示“出现的次品为件”，表示“取出的产品中次品不多于1个”，则因为，所以而故五、一批产品共有200件,其中有6件废品．求(1)任取3件产品恰有1件是废品的概率;(2)任取3件产品没有废品的概率;(3)任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；表示“取出的3件产品中没有废品”；表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则(1)(2)(3)六、设．求A,B,C至少有一事件发生的概率．解：因为，所以，从而可推出设表示“A,B,C至少有一事件发生”，则，于是有3条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设求．解：因为，所以，即二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设表示“第一次拨通”，表示“第二次拨通”，表示“拨号不超过两次而拨通”（1）（2）三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．解：设表示“第台机床加工的零件”；表示“出现废品”；表示“出现合格品”（1）（2）四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设表示“第次击中”，则由题设，有，得，从而有，设表示“三次之内击中”，则，故有（另解）设表示“猎人三次均未击中”，则故所求为五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率．解：设表示“第一次取得个新球”，则设表示“第二次取出的都是新球”，则4随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．解：设表示“第台机床不需要照管”，则再设表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则于是有．（另解）设表示“有台机床需要照管”，表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则且、互斥，另外有故．二、电路由电池与两个并联的电池及串联而成．设电池损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率．解：设表示“损坏”；表示“损坏”；表示“损坏”；则又设表示“电路发生间断”，则于是有．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为、、，求能将此密码译出的概率．解：设表示“甲能译出”；表示“乙能译出”；表示“丙能译出”，则设表示“此密码能被译出”，则，从而有．（另解），从而有四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为．飞机被一人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中，则飞机必被击落．求飞机被击落的概率．解：设表示“甲命中”；表示“乙命中”；表示“丙命中”；则设表示“人击中飞机”，则设表示“飞机被击落”，则由题设有故有．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率．解：设表示“第人贡献正确意见”，则．又设为作出正确意见的人数，表示“作出正确决策”，则．六、每次试验中事件A发生的概率为p，为了使事件A在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p，问至少需要进行多少次试验？解：设做次试验，则要，即要，从而有答：至少需要进行一次试验．5离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布．解：设表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则的概率分布为0123即0123亦即0123自动生产线在调整以后出现废品的概率为．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设，则的概率分布为012……已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布；（２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布．解：（1）设表示“取出的样本中的次品数”，则服从超几何分布，即的概率函数为从而的概率分布为01234即01234（2）设表示“取出的样本中的次品数”，则服从超几何分布，即的概率函数为从而的概率分布为0123456即0123456电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）．解：（1）用二项分布计算（2）用泊松分布计算相对误差为设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率．解：设表示“事件发生的次数”，则，，于是有（另解）设随机变量的概率分布为；其中λ>0为常数，试确定常数．解：因为，即，亦即，所以6随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度函数可否是连续随机变量的分布函数？为什么？如果的可能值充满区间：（1）（）；（2）（）．解：（1）设，则因为，，所以不能是的分布函数．（2）设，则且，因为，所以在（）上单增．综上述，故可作为的分布函数．二、函数可否是连续随机变量的概率密度？为什么？如果的可能值充满区间：（1）；（2）；（3）．解：（1）因为，所以；又因为，所以当时，函数可作为某随机变量的概率密度．（2）因为，所以；但，所以当时，函数不可能是某随机变量的概率密度．（3）因为，所以不是非负函数，从而它不可能是随机变量的概率密度．一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形．解：设表示“取出的废品数”，则的分布律为0123yy于是，的分布函数为ox其图形见右：ox四、（柯西分布）设连续随机变量的分布函数为．求：（1）系数A及B；（2）随机变量落在区间内的概率；(3)的概率密度．解：(1)由，，解得即．(2)(3)的概率密度为．五、（拉普拉斯分布）设随机变量的概率密度为．求：（1）系数；（2）随机变量落在区间内的概率；（3）随机变量的分布函数．解：(1)由，得，解得，即有(2)(3)随机变量的分布函数为．7均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量表示“乘客的候车时间”，则服从上的均匀分布，其密度函数为于是有二、已知某种电子元件的使用寿命(单位:h)服从指数分布，概率密度为任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h以上的概率．解：设表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”；分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”．则（另解）设表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”．则从而有，进一步有三、(1)设随机变量服从指数分布．证明：对于任意非负实数及，有这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2)设电视机的使用年数服从指数分布．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率．解：（１）因为，所以，有，其中为的分布函数．设，．因为及都是非负实数，所以，从而．根据条件概率公式，我们有．另一方面，我们有．综上所述，故有．（２）由题设，知的概率密度为设某人购买的这台旧电视机已经使用了年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为．设随机变量服从二项分布，求下列随机变量函数的概率分布：（1）；（2）．解：的分布律为0123（1）的分布律为1（2）的分布律为0110即01五、设随机变量的概率密度为求随机变量函数的概率密度．解：因为所以随机变量函数的概率密度为，即．８二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量表示第一次出现的点数，随机变量表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量的联合概率分布及的边缘概率分布．解：二维随机变量的联合概率分布为的边缘概率分布为二、设二维随机变量（，）的联合分布函数．求：（1）系数A、B及C；（2）（，）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由，得解得，（2）因为，所以（，）的联合概率密度为（3）及的边缘分布函数分别为及的边缘概率密度分别为三、设的联合概率密度为求：（1）系数；（2）的联合分布函数；（3）及的边缘概率密度；（4）落在区域R：内的概率．解：（1）由，有，解得（2）的联合分布函数为（3）及的边缘概率密度分别为（4）四、设二维随机变量在抛物线与直线所围成的区域上服从均匀分布．求：(1)的联合概率密度；(2)概率．解：(1)设的联合概率密度为则由解得．故有(2)９随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布设与是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为求(1)的联合概率密度;(2)概率．解:(1)的概率密度为，的联合概率密度为（注意相互独立）（2）设随机变量与独立，并且都服从二项分布：证明它们的和也服从二项分布．证明:设,则由,有.于是有由此知也服从二项分布.三、设随机变量与独立，并且在区间[0，1]内服从均匀分布，在区间[0，2]内服从辛普森分布：求随机变量的概率密度．解:的概率密度为.于是的联合概率密度为的联合分布函数为，其中是与的定义域的公共部分.故有从而随机变量的概率密度为电子仪器由六个相互独立的部件（）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命服从相同的指数分布，求仪器使用寿命的概率密度．解:由题设，知的分布函数为先求各个并联组的使用寿命的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第个并联组才停止工作,所以有从而有的分布函数为设"仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有.从而有的分布函数为故的概率密度为．10随机变量的数学期望与方差一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差．解：设表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则的概率分布为0123即0123于是有即的分布为0149即0149于是有即从而有对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p，求射击次数的数学期望及方差．解：设表示“第次击中”，则的分布为123……于是有的分布为149……于是有进一步有三、设离散型随机变量的概率函数为问的数学期望是否存在？若存在，请计算；若不存在，请解释为什么．解：因为不绝对收敛，所以没有数学期望．四、设随机变量的概率密度为求数学期望及方差．解：五、（拉普拉斯分布）设随机变量的概率密度为．求数学期望及方差．解：（分部积分亦可）11随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量服从二项分布，求的数学期望及方差．解：的概率分布为0123的概率分布为01的分布为01于是有二、过半径为的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点，并通过该点作圆得直径．建立平面直角坐标系，以为原点，且让在轴的正半轴上．通过任作圆的一条弦，使与轴的夹角为，则服从上的均匀分布，其概率密度为．弦的长为，故所有弦的平均长度为．三、一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利．解：由题设，有进而有设表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则的概率分布为100从而有答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为元．四、设随机变量相互独立，并且服从同一分布，数学期望为，方差为．求这些随机变量的算术平均值的数学期望与方差．解：因为，，且随机变量相互独立．所以有，．五、一民航送客车载有位旅客自机场开出，沿途有个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解:设表示"第站的停车次数"().则服从""分布.其中于是的概率分布为01设,则表示沿途停车次数,故有即停车次数的数学期望为.12二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律设二维随机变量的联合概率密度为求：（1）系数A；（2）数学期望及，方差及，协方差．解:(1)由.有解得,.(2).由对称性,知.同理,有..设二维随机变量的联合概率密度为求(1)；(2)与是否独立，是否相关，为什么？解:(1)因为所以有．(2)当时,有;当时,有.即同理有因为,所以与不是独立的．又因为,所以与是不相关的．利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差的绝对值大于三倍标准差的概率．解：．四、为了确定事件A的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A的概率的近似值时，误差小于0.01的概率．解：设表示“在10000次试验中事件A的次数”，则且有于是有样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？解：设表示“发现的次品件数”，则，现要求要使得，即，因为，所以（德莫威尔—Laplace定理）因为，所以，从而有，故．查表有，故有，解得答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．13正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差设随机变量服从正态分布，求（1）；（2）．解：(1)(2)已知某种机械零件的直径（mm）服从正态分布．规定直径在（mm）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率．解：设表示这种机械零件的不合格品率，则．而故．三、测量到某一目标的距离时发生的误差(m)具有概率密度求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过m的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为因为，所以由事件的相互独立性，有于是有．四、设随机变量，求随机变量函数的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知的概率密度为从而可得随机变量的分布函数为．当时，有；此时亦有．当时，有．此时亦有．从而可得随机变量的概率密度为五、设随机变量与独立，，，求：(1)随机变量函数的数学期望与方差，其中及为常数；(2)随机变量函数的数学期望与方差．解：由题设，有；．从而有(1)；．(2)；．1４二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理设二维随机变量服从二维正态分布，已知，，，并且，求的联合概率密度．解：已知，，，．从而，．进一步按公式，可得的联合概率密度为．二、设随机变量与独立，并且，．求随机变量的概率密度．解：由题设，有，，，．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有．．且，故随机变量的概率密度为．台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量(mm)表示轴的直径，随机变量(mm)表示轴衬的内径，已知，，显然与是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．解：由题设，知随机变量与是独立的，且，．设根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有．根据题目假设，我们知道当时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1）任一时刻有70至86台车床在工作的概率；（2）任一时刻有不少于80台车床在工作的概率．解：设表示“任一时刻正在工作的车床数”，则．．．（1）（2）．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问：（1）保险公司亏本的可能性是多大？（2）保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？解：设表示“一年内死亡的人数”，则．．．（1）．即保险公司不可能亏本．（2）．即保险公司一年利润不少于50000元的概率为．15总体与样本·统计量·几个常用分布一、已知样本观测值为15.824.214.517.413.220.817.919.121.018.516.422.6，计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩．解：样本均值为样本方差为.样本二阶中心矩.二、设抽样得到100个观测值如下：观测值123456频算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩．解：样本均值为样本方差为样本二阶中心矩为三、设总体的均值与方差分别为与，是来自该总体的简单随机样本，与分别是样本均值与样本方差，求．解：四、设总体与相互独立且均服从正态分布，和分别为来自与的样本，则统计量服从什么分布？解：因为，,所以.于是有推得即分布．五、设随机变量服从自由度为的分布，证明：随机变量服从自由度为的分布；从而证明等式．［提示：设，其中随机变量与独立，且，则，由此容易证明．］证明：设随机变量与独立且．构造，则．同理知．因为，所以对于给定的，我们有．又因为，所以与是等价的随机事件，从而有．于是有同理，因为，所以对上述给定的，我们有．(2)结合(1)、(2)，便有．即．15总体与样本·统计量·几个常用分布一、已知样本观测值为15.824.214.517.413.220.817.919.121.018.516.422.6，计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩．解：样本均值为样本方差为.样本二阶中心矩.二、设抽样得到100个观测值如下：观测值123456频算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩．解：样本均值为样本方差为样本二阶中心矩为三、设总体的均值与方差分别为与，是来自该总体的简单随机样本，与分别是样本均值与样本方差，求．解：四、设总体与相互独立且均服从正态分布，和分别为来自与的样本，则统计量服从什么分布？解：因为，,所以.于是有推得即分布．五、设随机变量服从自由度为的分布，证明：随机变量服从自由度为的分布；从而证明等式．［提示：设，其中随机变量与独立，且，则，由此容易证明．］证明：设随机变量与独立且．构造，则．同理知．因为，所以对于给定的，我们有．又因为，所以与是等价的随机事件，从而有．于是有同理，因为，所以对上述给定的，我们有．(2)结合(1)、(2)，便有．即．16正态总体统计量的分布一、设总体~．抽取容量为36的样本，求样本平均值在38与43之间的概率；抽取容量为64的样本，求的概率；（3）抽取样本容量n多大时，才能使概率达到0.95？

解：（1）因为，所以，从而有（2）由题设，，从而有（3）要使，即要经查表，有，解得，即抽取样本容量约为96时，可使二、从正态总体中抽取容量为10的样本．（1）已知，求的概率；（2）未知，求的概率．解：（1）因为，所以有（2）因为，所以有三、设总体，总体，从总体中抽取容量为的样本，从总体中抽取容量为的样本，求下列概率：（1）；；（2）．解：（１）因为，，所以由．得．（２）因为，，所以由．得．四、设总体服从“0—1”分布：．抽取样本，求样本均值的概率分布，数学期望E及方差D．解：，于是有其中于是有17参数的点估计一、设总体服从“0—1”分布：．如果取得样本观测值，求参数p的矩估计值与最大似然估计值．解：(1)似然函数为，取对数，有．令，解得，从而得的极大似然估计值为．二、设总体的概率密度为其中>0．如果取得样本，求参数的矩估计量与最大似然估计量．解：似然函数为，取对数，有．令，求得的极大似然估计值为．三、设总体X服从分布，其概率密度为其中参数>0，>0．如果样本观测值为,（1）求参数及的矩估计值；（2）已知=，求参数的极大似然估计值．解：（1）因为．．所以，根据矩估计，有，．即，．亦即，．解得．（2）由（1），有，故有四、从总体X中抽取样本，证明下列三个统计量都是总体均值的无偏估计量；并确定哪个估计量更有效．解：因为．．．所以都是总体均值的无偏估计量．又因为．．．所以，更有效．五、设总体服从指数分布，其中，抽取样本，证明：(1)虽然样本均值是的无偏估计量，但却不是的无偏估计量；(2)统计量是的无偏估计量．解：．．由此可见，虽然样本均值是的无偏估计量，但却不是的无偏估计量．18正态总体参数的区间估计·两个正态总体均值差及方差比的区间估计一、设总体，如果样本观测值为6.548.206.889.027.56,求