人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.6立体几何的最值、范围问题（强化训练）（原卷版）

专题1.6立体几何的最值、范围问题题型一数量积的最值范围范围题型二面积、体积的最值范围问题题型三夹角的最值范围问题题型四距离的最值范围问题题型一 数量积的最值范围范围1．在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内一动点，若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．17 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知正四棱柱SKIPIF1<0中，底面边长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是长方体表面上一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多选）已知MN是正方体内切球的一条直径，点SKIPIF1<0在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则SKIPIF1<0的取值可为（

）A．-1 B．0 C．SKIPIF1<0 D．54．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是BC的中点，H是SKIPIF1<0内的动点（含边界），且SKIPIF1<0平面ACD，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（多选）如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是侧面SKIPIF1<0内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（

）A．若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0B．若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，则直线SKIPIF1<0上存在唯一的点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0始终垂直C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<06．一个长方体的棱长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是该长方体外接球的一条直径，点SKIPIF1<0是长方体表面上的一个动点，则SKIPIF1<0的取值范围是_____.7．已知P是棱长为1的正方体SKIPIF1<0内（含正方体表面）一动点．（1）当点P运动到SKIPIF1<0中点时，SKIPIF1<0的值为_____；（2）当点P运动时，SKIPIF1<0的最大值为_____．8．已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则SKIPIF1<0的取值范围为_____.题型二 面积、体积的最值范围问题9．如图，已知四棱锥SKIPIF1<0中，正三角形SKIPIF1<0的边长为2，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知底面为矩形的直四棱柱高为4，体积为16，各顶点都在一个球面上，则这个球的体积的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为SKIPIF1<0的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为_____.13．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.记四面体SKIPIF1<0的外接球的球心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0表面上的一个动点，当SKIPIF1<0取最大值时，四面体SKIPIF1<0体积的最大值为_____.

14．一个圆锥母线与底面所成的角为SKIPIF1<0，体积为SKIPIF1<0，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为_____．15．如图，在斜三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上靠近A的三等分点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点．

(1)证明：平面SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，试写出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的函数关系式．(3)在（2）的条件下，当SKIPIF1<0为多少时，三棱锥SKIPIF1<0的体积取得最大值？并求出最大值．16．如图，四边形SKIPIF1<0是圆柱底面的内接四边形，SKIPIF1<0是圆柱的母线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的动点.

(1)求圆柱的侧面积SKIPIF1<0；(2)求四棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0的最大值.题型三 夹角的最值范围问题17．（多选）如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）

A．当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角的取值为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值范围是SKIPIF1<018．（多选）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为面对角线SKIPIF1<0上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（

）

A．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值B．线段SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0D．设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<019．（多选）在正四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（

）A．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角可能为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角正弦值的最大值为SKIPIF1<020．（多选）在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，则（

）A．SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0可能经过顶点SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<021．如图（1）所示，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0．现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得二面角SKIPIF1<0大小为SKIPIF1<0，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点SKIPIF1<0记作点SKIPIF1<0）

(1)求点SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离；(2)求四棱锥SKIPIF1<0外接球的体积；(3)点SKIPIF1<0为一动点，满足SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角最大时，试确定点SKIPIF1<0的位置．22．如图，在三棱台SKIPIF1<0中侧面SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.底面SKIPIF1<0为等腰三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)记二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0时，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.②当SKIPIF1<0时，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦的最大值.23．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0.

(1)证明：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角最大时，求三棱锥SKIPIF1<0的体积.24．已知直三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，E，F分别为AC和SKIPIF1<0的中点，D为棱SKIPIF1<0上的动点.SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.题型四 距离的最值范围问题25．在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点P在体对角线SKIPIF1<0上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，则线段SKIPIF1<0上的动点P到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<027．（多选）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在体对角线SKIPIF1<0上（含端点），则下列结论正确的有（

）A．顶点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<0 B．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1