专题五过定点的直线上线段长度及与长度相关的问题(原卷版+解析)

专题五过定点的直线上线段长度及与长度相关的问题直线的参数方程中参数的几何意义及其应用(1)经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα，))(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t0＝eq\f(t1＋t2,2)；|PM|＝|t0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2)))；|AB|＝|t2－t1|；|PA|·|PB|＝|t1·t2|．(2)应用：当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1·t2)等．已知直线的参数方程求线段的长度有两种方法方法一先将曲线的参数方程方程转化为普通方程，然后求线段的长度．方法二用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题．【例题选讲】[例1]以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosφ，,y＝2＋tsinφ))(t为参数，0≤φ<π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．[规范解答](1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosφ，,y＝2＋tsinφ))消去t得，xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0，所以直线l的普通方程为xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0.由ρcos2θ＝8sinθ，得(ρcosθ)2＝8ρsinθ，把x＝ρcosφ，y＝ρsinφ代入上式，得x2＝8y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝8y.(2)将直线l的参数方程代入x2＝8y，得t2cos2φ－8tsinφ－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝eq\f(8sinφ,cos2φ)，t1t2＝－eq\f(16,cos2φ)，所以|AB|＝|t1－t2|＝eq\r((t1＋t2)2－4t1t2)＝eq\r(\f(64sin2φ,cos4φ)＋\f(64,cos2φ))＝eq\f(8,cos2φ)．当φ＝0时，|AB|的最小值为8．[例2]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq\f(2cosθ,1－cos2θ)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t为参数，0≤α<π).(1)若α＝eq\f(3π,4)，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|．[规范解答](1)由直线l的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t为参数)及α＝eq\f(3π,4)可得l的直角坐标方程为x＋y－3＝0．由曲线C的极坐标方程ρ＝eq\f(2cosθ,1－cos2θ)，得其直角坐标方程为y2＝2x．(2)把直线l的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t为参数)，代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2α＋2t(sinα－cosα)－3＝0(*)，设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－eq\f(2(sinα－cosα),sin2α).∵P(2，1)为AB的中点，∴P点所对应的参数为eq\f(t1＋t2,2)＝－eq\f(sinα－cosα,sin2α)＝0，∴sinα－cosα＝0，即α＝eq\f(π,4)．则(*)变为eq\f(1,2)t2－3＝0，此时t2＝6，t＝±eq\r(6)，∴|AB|＝2eq\r(6).[例3]在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝t－3))(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq\f(2cosθ,sin2θ)相交于A，B两点．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[规范解答](1)由曲线C的极坐标方程ρ＝eq\f(2cosθ,sin2θ)，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x(x≠0)．由直线l的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝t－3，))得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝7，所以|AB|＝eq\r(2)|t1－t2|＝eq\r(2)×eq\r((t1＋t2)2－4t1t2)＝eq\r(2)×eq\r(82－4×7)＝6eq\r(2)，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝eq\f(|－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，所以△AOB的面积是eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×6eq\r(2)×2eq\r(2)＝12.[例4]在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程．(2)求点M到A，B两点的距离之积．[规范解答](1)令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝4cosθ，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，所以y2＝4x，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，因为点M的直角坐标为(0，1)，直线l的倾斜角为eq\f(3π,4)，故直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcos\f(3π,4)，,y＝1＋tsin\f(3π,4)，))(t为参数)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t，))(t为参数)．(2)把直线l的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t，))(t为参数)代入曲线C的方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)t))，即t2＋6eq\r(2)t＋2＝0，Δ＝(6eq\r(2))2－4×2＝64，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝－6\r(2)，,t1t2＝2，))又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|·|MB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝2．[例5]平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．[规范解答](1)直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcosα，,y＝－4＋tsinα))(t为参数)，ρsin2θ＝2cosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x．(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－(2cosα＋8sinα)t＋20＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2＝eq\f(20,sin2α)，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝eq\f(20,sin2α)＝40，得α＝eq\f(π,4)或α＝eq\f(3π,4)．又Δ＝(2cosα＋8sinα)2－80sin2α＞0，所以α＝eq\f(π,4)．[例6]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝sinα))(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2).(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．[规范解答](1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝sinα))消去参数α，得eq\f(x2,9)＋y2＝1，即C的普通方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1．由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，得ρsinθ－ρcosθ＝2，(*)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入(*)，化简得y＝x＋2，所以直线l的倾斜角为eq\f(π,4)．(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcos\f(π,4)，,y＝2＋tsin\f(π,4)))(t为参数)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，代入eq\f(x2,9)＋y2＝1并化简，得5t2＋18eq\r(2)t＋27＝0，Δ＝(18eq\r(2))2－4×5×27＝108＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－eq\f(18\r(2),5)＜0，t1t2＝eq\f(27,5)＞0，所以t1＜0，t2＜0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝eq\f(18\r(2),5).[例7]在直角坐标系中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝2sinα))(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))．(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；(2)若过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))(极坐标)且倾斜角为eq\f(π,3)的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求eq\f(|AP|,|AM|·|AN|)的值．[规范解答](1)由题意可得曲线C的普通方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为eq\f(ρ2cos2θ,9)＋eq\f(ρ2sin2θ,4)＝1．因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，所以ρ2＝4ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝4ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ))，又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2eq\r(3)y－2x，所以曲线C的极坐标方程为eq\f(ρ2cos2θ,9)＋eq\f(ρ2sin2θ,4)＝1；曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2eq\r(3)y＝0．(2)点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(2)cos\f(π,4)＝2，,y＝2\r(2)sin\f(π,4)＝2，))所以A(2，2)．因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为eq\f(π,3)，所以直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcos\f(π,3)，,y＝2＋tsin\f(π,3)))(t为参数)，代入eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1可得，eq\f(31,4)t2＋(8＋18eq\r(3))t＋16＝0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－eq\f(32＋72\r(3),31)，t1t2＝eq\f(64,31)，所以eq\f(|AP|,|AM|·|AN|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2))),|t1t2|)＝eq\f(4＋9\r(3),16)．[例8]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)))(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．[规范解答](1)∵曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)))(t为参数，a∈R)，∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0．∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，又ρcosθ＝x，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)，))得t2－2eq\r(2)t＋2－8a＝0．Δ＝(2eq\r(2))2－4(2－8a)＞0，即a＞0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝2\r(2)，,t1·t2＝2－8a，))根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，∴当t1＝2t2时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝3t2＝2\r(2)，,t1·t2＝2t\o\al(2,2)＝2－8a，))解得a＝eq\f(1,36)＞0，符合题意；当t1＝－2t2时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝－t2＝2\r(2)，,t1·t2＝－2t\o\al(2,2)＝2－8a，))解得a＝eq\f(9,4)＞0，符合题意．综上所述，a＝eq\f(1,36)或a＝eq\f(9,4)．[例9]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosθ，,y＝tsinθ))(t为参数，0≤θ<π)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝－4cosα，圆C的圆心到直线l的距离为eq\f(3,2)．(1)求θ的值；(2)已知P(1，0)，若直线l与圆C交于A，B两点，求eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)的值．[规范解答](1)由直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosθ，,y＝tsinθ))(t为参数，0≤θ<π)，消去参数t，得xsinθ－ycosθ－sinθ＝0．圆C的极坐标方程为ρ＝－4cosα，即ρ2＝－4ρcosα，可得圆C的普通方程为x2＋y2＋4x＝0，即为(x＋2)2＋y2＝4，可知圆心为(－2，0)，半径为2，圆C的圆心到直线l的距离为d＝eq\f(|－2sinθ－sinθ|,\r(sin2θ＋cos2θ))＝3sinθ．由题意可得d＝eq\f(3,2)，即3sinθ＝eq\f(3,2)，则sinθ＝eq\f(1,2)，∵0≤θ<π，∴θ＝eq\f(π,6)或θ＝eq\f(5π,6)．(2)已知P(1，0)，则点P在直线l上，直线l与圆C交于A，B两点，将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosθ，,y＝tsinθ))代入圆C的普通方程x2＋y2＋4x＝0，得(1＋tcosθ)2＋(tsinθ)2＋4(1＋tcosθ)＝0，∴t2＋6tcosθ＋5＝0．设A，B对应的参数为t1，t2，则t1＋t2＝－6cosθ，t1t2＝5，∵t1t2>0，∴t1，t2同号，∴eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)＝eq\f(1,|t1|)＋eq\f(1,|t2|)＝eq\f(|t1|＋|t2|,|t1t2|)＝eq\f(|t1＋t2|,|t1t2|)＝eq\f(3\r(3),5)．[例10]在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)若曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝1＋tsinα))(α为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝1＋tsinα))(t为参数)，A(0,1)，且曲线C1与曲线C2的交点分别为P，Q，求eq\f(1,|AP|)＋eq\f(1,|AQ|)的取值范围．[规范解答](1)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，又∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，曲线C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝t2.(2)将C2的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝1＋tsinα))(t为参数)代入C1的方程x2＋y2－2x＝0，得t2＋(2sinα－2cosα)t＋1＝0.∵Δ＝(2sinα－2cosα)2－4＝8sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))－4>0，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).t1＋t2＝－(2sinα－2cosα)＝－2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))，t1t2＝1>0，∵t1t2＝1>0，∴t1，t2同号，∴|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|，由点A在曲线C2上，根据t的几何意义，可得eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|AQ|)＝eq\f(1,|t1|)＋eq\f(1,|t2|)＝eq\f(|t1|＋|t2|,|t1||t2|)＝eq\f(|t1|＋|t2|,|t1t2|)＝eq\f(|t1＋t2|,1)＝2eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))∈(2，2eq\r(2)]．∴eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|AQ|)∈(2，2eq\r(2)]．【对点训练】1．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sinθ＝0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(1，0)．若点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．2．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝eq\f(8cosθ,1－cos2θ).(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若α＝eq\f(π,4)，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋t))(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq\f(2,1＋sin2θ)，直线l与曲线C交于A，B两点.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(π,4)))，求|PA|·|PB|的值．4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ＝12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标；(2)在(1)的条件下，若|AP|·|AQ|＝6，求直线l的普通方程．5．在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2，1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k．6．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))(t为参数)与曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)相交于不同的两点A，B。(1)若α＝eq\f(π,3)，求线段AB的中点M的直角坐标；(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，eq\r(3))，求直线l的斜率．7．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6sinθ．(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为(1，2)，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))的最小值．8．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的eq\r(2)倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|－|BD|.9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程是ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋rcosφ，,y＝rsinφ))(φ为参数，r>0)．(1)若直线l与圆C有公共点，求实数r的取值范围；(2)当r＝2时，过点D(2，0)且与直线l平行的直线l′交圆C于A，B两点，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|DA|)－\f(1,|DB|)))的值．10．已知曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝3＋3sinφ))(φ为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P(1，2)的直线l与曲线C交于M，N两点，求eq\f(1,|PM|)＋eq\f(1,|PN|)的值．11．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)的值．12．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)已知直线l上一点M(3，2)，若直线l与圆C交于不同两点A，B，求eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)的取值范围．专题五过定点的直线上线段长度及与长度相关的问题直线的参数方程中参数的几何意义及其应用(1)经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα，))(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t0＝eq\f(t1＋t2,2)；|PM|＝|t0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2)))；|AB|＝|t2－t1|；|PA|·|PB|＝|t1·t2|．(2)应用：当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1·t2)等．已知直线的参数方程求线段的长度有两种方法方法一先将曲线的参数方程方程转化为普通方程，然后求线段的长度．方法二用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题．【例题选讲】[例1]以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosφ，,y＝2＋tsinφ))(t为参数，0≤φ<π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．[规范解答](1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosφ，,y＝2＋tsinφ))消去t得，xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0，所以直线l的普通方程为xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0.由ρcos2θ＝8sinθ，得(ρcosθ)2＝8ρsinθ，把x＝ρcosφ，y＝ρsinφ代入上式，得x2＝8y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝8y.(2)将直线l的参数方程代入x2＝8y，得t2cos2φ－8tsinφ－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝eq\f(8sinφ,cos2φ)，t1t2＝－eq\f(16,cos2φ)，所以|AB|＝|t1－t2|＝eq\r((t1＋t2)2－4t1t2)＝eq\r(\f(64sin2φ,cos4φ)＋\f(64,cos2φ))＝eq\f(8,cos2φ)．当φ＝0时，|AB|的最小值为8．[例2]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq\f(2cosθ,1－cos2θ)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t为参数，0≤α<π).(1)若α＝eq\f(3π,4)，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|．[规范解答](1)由直线l的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t为参数)及α＝eq\f(3π,4)可得l的直角坐标方程为x＋y－3＝0．由曲线C的极坐标方程ρ＝eq\f(2cosθ,1－cos2θ)，得其直角坐标方程为y2＝2x．(2)把直线l的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t为参数)，代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2α＋2t(sinα－cosα)－3＝0(*)，设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－eq\f(2(sinα－cosα),sin2α).∵P(2，1)为AB的中点，∴P点所对应的参数为eq\f(t1＋t2,2)＝－eq\f(sinα－cosα,sin2α)＝0，∴sinα－cosα＝0，即α＝eq\f(π,4)．则(*)变为eq\f(1,2)t2－3＝0，此时t2＝6，t＝±eq\r(6)，∴|AB|＝2eq\r(6).[例3]在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝t－3))(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq\f(2cosθ,sin2θ)相交于A，B两点．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[规范解答](1)由曲线C的极坐标方程ρ＝eq\f(2cosθ,sin2θ)，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x(x≠0)．由直线l的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝t－3，))得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝7，所以|AB|＝eq\r(2)|t1－t2|＝eq\r(2)×eq\r((t1＋t2)2－4t1t2)＝eq\r(2)×eq\r(82－4×7)＝6eq\r(2)，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝eq\f(|－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，所以△AOB的面积是eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×6eq\r(2)×2eq\r(2)＝12.[例4]在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程．(2)求点M到A，B两点的距离之积．[规范解答](1)令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝4cosθ，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，所以y2＝4x，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，因为点M的直角坐标为(0，1)，直线l的倾斜角为eq\f(3π,4)，故直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcos\f(3π,4)，,y＝1＋tsin\f(3π,4)，))(t为参数)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t，))(t为参数)．(2)把直线l的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t，))(t为参数)代入曲线C的方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)t))，即t2＋6eq\r(2)t＋2＝0，Δ＝(6eq\r(2))2－4×2＝64，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝－6\r(2)，,t1t2＝2，))又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|·|MB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝2．[例5]平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．[规范解答](1)直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcosα，,y＝－4＋tsinα))(t为参数)，ρsin2θ＝2cosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x．(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－(2cosα＋8sinα)t＋20＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2＝eq\f(20,sin2α)，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝eq\f(20,sin2α)＝40，得α＝eq\f(π,4)或α＝eq\f(3π,4)．又Δ＝(2cosα＋8sinα)2－80sin2α＞0，所以α＝eq\f(π,4)．[例6]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝sinα))(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2).(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．[规范解答](1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝sinα))消去参数α，得eq\f(x2,9)＋y2＝1，即C的普通方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1．由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，得ρsinθ－ρcosθ＝2，(*)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入(*)，化简得y＝x＋2，所以直线l的倾斜角为eq\f(π,4)．(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcos\f(π,4)，,y＝2＋tsin\f(π,4)))(t为参数)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，代入eq\f(x2,9)＋y2＝1并化简，得5t2＋18eq\r(2)t＋27＝0，Δ＝(18eq\r(2))2－4×5×27＝108＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－eq\f(18\r(2),5)＜0，t1t2＝eq\f(27,5)＞0，所以t1＜0，t2＜0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝eq\f(18\r(2),5).[例7]在直角坐标系中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝2sinα))(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))．(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；(2)若过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))(极坐标)且倾斜角为eq\f(π,3)的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求eq\f(|AP|,|AM|·|AN|)的值．[规范解答](1)由题意可得曲线C的普通方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为eq\f(ρ2cos2θ,9)＋eq\f(ρ2sin2θ,4)＝1．因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，所以ρ2＝4ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝4ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ))，又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2eq\r(3)y－2x，所以曲线C的极坐标方程为eq\f(ρ2cos2θ,9)＋eq\f(ρ2sin2θ,4)＝1；曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2eq\r(3)y＝0．(2)点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(2)cos\f(π,4)＝2，,y＝2\r(2)sin\f(π,4)＝2，))所以A(2，2)．因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为eq\f(π,3)，所以直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcos\f(π,3)，,y＝2＋tsin\f(π,3)))(t为参数)，代入eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1可得，eq\f(31,4)t2＋(8＋18eq\r(3))t＋16＝0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－eq\f(32＋72\r(3),31)，t1t2＝eq\f(64,31)，所以eq\f(|AP|,|AM|·|AN|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2))),|t1t2|)＝eq\f(4＋9\r(3),16)．[例8]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)))(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．[规范解答](1)∵曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)))(t为参数，a∈R)，∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0．∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，又ρcosθ＝x，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)，))得t2－2eq\r(2)t＋2－8a＝0．Δ＝(2eq\r(2))2－4(2－8a)＞0，即a＞0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝2\r(2)，,t1·t2＝2－8a，))根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，∴当t1＝2t2时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝3t2＝2\r(2)，,t1·t2＝2t\o\al(2,2)＝2－8a，))解得a＝eq\f(1,36)＞0，符合题意；当t1＝－2t2时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝－t2＝2\r(2)，,t1·t2＝－2t\o\al(2,2)＝2－8a，))解得a＝eq\f(9,4)＞0，符合题意．综上所述，a＝eq\f(1,36)或a＝eq\f(9,4)．[例9]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosθ，,y＝tsinθ))(t为参数，0≤θ<π)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝－4cosα，圆C的圆心到直线l的距离为eq\f(3,2)．(1)求θ的值；(2)已知P(1，0)，若直线l与圆C交于A，B两点，求eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)的值．[规范解答](1)由直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosθ，,y＝tsinθ))(t为参数，0≤θ<π)，消去参数t，得xsinθ－ycosθ－sinθ＝0．圆C的极坐标方程为ρ＝－4cosα，即ρ2＝－4ρcosα，可得圆C的普通方程为x2＋y2＋4x＝0，即为(x＋2)2＋y2＝4，可知圆心为(－2，0)，半径为2，圆C的圆心到直线l的距离为d＝eq\f(|－2sinθ－sinθ|,\r(sin2θ＋cos2θ))＝3sinθ．由题意可得d＝eq\f(3,2)，即3sinθ＝eq\f(3,2)，则sinθ＝eq\f(1,2)，∵0≤θ<π，∴θ＝eq\f(π,6)或θ＝eq\f(5π,6)．(2)已知P(1，0)，则点P在直线l上，直线l与圆C交于A，B两点，将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosθ，,y＝tsinθ))代入圆C的普通方程x2＋y2＋4x＝0，得(1＋tcosθ)2＋(tsinθ)2＋4(1＋tcosθ)＝0，∴t2＋6tcosθ＋5＝0．设A，B对应的参数为t1，t2，则t1＋t2＝－6cosθ，t1t2＝5，∵t1t2>0，∴t1，t2同号，∴eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)＝eq\f(1,|t1|)＋eq\f(1,|t2|)＝eq\f(|t1|＋|t2|,|t1t2|)＝eq\f(|t1＋t2|,|t1t2|)＝eq\f(3\r(3),5)．[例10]在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)若曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝1＋tsinα))(α为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝1＋tsinα))(t为参数)，A(0,1)，且曲线C1与曲线C2的交点分别为P，Q，求eq\f(1,|AP|)＋eq\f(1,|AQ|)的取值范围．[规范解答](1)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，又∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，曲线C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝t2.(2)将C2的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝1＋tsinα))(t为参数)代入C1的方程x2＋y2－2x＝0，得t2＋(2sinα－2cosα)t＋1＝0.∵Δ＝(2sinα－2cosα)2－4＝8sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))－4>0，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).t1＋t2＝－(2sinα－2cosα)＝－2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))，t1t2＝1>0，∵t1t2＝1>0，∴t1，t2同号，∴|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|，由点A在曲线C2上，根据t的几何意义，可得eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|AQ|)＝eq\f(1,|t1|)＋eq\f(1,|t2|)＝eq\f(|t1|＋|t2|,|t1||t2|)＝eq\f(|t1|＋|t2|,|t1t2|)＝eq\f(|t1＋t2|,1)＝2eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))∈(2，2eq\r(2)]．∴eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|AQ|)∈(2，2eq\r(2)]．【对点训练】1．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sinθ＝0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(1，0)．若点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．1．解析(1)∵直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，∴直线l的普通方程为y＝tanα·(x－1)．由ρcos2θ－4sinθ＝0得ρ2cos2θ－4ρsinθ＝0，即x2－4y＝0.∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)∵点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，∴点M的直角坐标为(0,1)．又直线l经过点M，∴1＝tanα·(0－1)，∴tanα＝－1，即直线l的倾斜角α＝eq\f(3π,4)．∴直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)．代入x2＝4y，得t2－6eq\r(2)t＋2＝0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为eq\f(t1＋t2,2)＝eq\f(6\r(2),2)＝3eq\r(2)．又点P(1，0)是直线l上对应t＝0的点，则|PQ|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2)))＝3eq\r(2)．2．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝eq\f(8cosθ,1－cos2θ).(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若α＝eq\f(π,4)，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．2．解析(1)由题知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα,y＝tsinα))(t为参数)．因为ρ＝eq\f(8cosθ,1－cos2θ)，所以ρsin2θ＝8cosθ，所以ρ2sin2θ＝8ρcosθ，即y2＝8x．(2)法一：当α＝eq\f(π,4)时，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(2),2)t,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，代入y2＝8x可得t2－8eq\r(2)t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8eq\r(2)，t1·t2＝－16，所以|AB|＝|t1－t2|＝eq\r((t1＋t2)2－4t1·t2)＝8eq\r(3)，又点O到直线AB的距离d＝1×sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|×d＝eq\f(1,2)×8eq\r(3)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(6).法二：当α＝eq\f(π,4)时，直线l的方程为y＝x－1，设M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝x－1，))得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0，由根与系数的关系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝8，,y1y2＝－8，))S△AOB＝eq\f(1,2)|OM||y1－y2|＝eq\f(1,2)×1×eq\r((y1＋y2)2－4y1y2)＝eq\f(1,2)×eq\r(82－4×(－8))＝eq\f(1,2)×4eq\r(6)＝2eq\r(6)．3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋t))(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq\f(2,1＋sin2θ)，直线l与曲线C交于A，B两点.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(π,4)))，求|PA|·|PB|的值．3．解析(1)l的普通方程为x＋y－1＝0；又∵ρ2＋ρ2sin2θ＝2，∴x2＋y2＋y2＝2，即曲线C的直角坐标方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1．(2)点P的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))．法一Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))在直线l上，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)－\f(\r(2),2)t′，,y＝\f(1,2)＋\f(\r(2),2)t′))(t′为参数)，代入曲线C的直角坐标方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(2),2)t′))eq\s\up12(2)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(2),2)t′))eq\s\up12(2)－2＝0，即eq\f(3,2)t′2＋eq\f(\r(2),2)t′－eq\f(5,4)＝0，|PA|·|PB|＝|t1′|·|t2′|＝|t1′t2′|＝eq\f(5,6)．法二eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1－x，,x2＋2y2＝2))3x2－4x＝0x1＝0，x2＝eq\f(4,3)，∴A(0，1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，∴|PA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，|PB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(5\r(2),6)，|PA|·|PB|＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(5\r(2),6)＝eq\f(5,6)．4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ＝12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标；(2)在(1)的条件下，若|AP|·|AQ|＝6，求直线l的普通方程．4．解析(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C的直角坐标方程为x2＋2y2＝12.直线l恒过的定点为A(2，0)．(2)把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得，(sin2α＋1)t2＋4(cosα)t－8＝0.由t的几何意义知|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|．∵点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，∴t1t2＝－eq\f(8,sin2α＋1)，∵|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝6，∴eq\f(8,1＋sin2α)＝6，即sin2α＝eq\f(1,3)，∵α∈(0，π)，∴sinα＝eq\f(\r(3),3)，cosα＝±eq\f(\r(6),3)，∴直线l的斜率k＝±eq\f(\r(2),2)，因此，直线l的方程为y＝eq\f(\r(2),2)(x－2)或y＝－eq\f(\r(2),2)(x－2)．5．在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2，1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k．5．解析(1)直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα,y＝1＋tsinα))(t为参数)．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，得cos2α>eq\f(3,4)，由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cosα，t1·t2＝3，由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，则(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4cosα)2＝5×3，解得cos2α＝eq\f(15,16)，满足cos2α>eq\f(3,4)，所以sin2α＝eq\f(1,16)，tan2α＝eq\f(1,15)，所以直线l的斜率k＝tanα＝±eq\f(\r(15),15)．6．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))(t为参数)与曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)相交于不同的两点A，B。(1)若α＝eq\f(π,3)，求线段AB的中点M的直角坐标；(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，eq\r(3))，求直线l的斜率．6．解析(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1．当α＝eq\f(π,3)时，直线l的方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)，代入曲线C的普通方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，设直线l上的点A，B，M对应的参数分别为t1，t2，t0．则t0＝eq\f(t1＋t2,2)＝－eq\f(28,13)，所以点M的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(\r(3),13)))．(2)设直线l上的点A，B对应的参数分别为t1，t2．将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))代入曲线C的普通方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8eq\r(3)sinα＋4cosα)t＋12＝0，因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝eq\f(12,cos2α＋4sin2α)，|OP|2＝7，所以eq\f(12,cos2α＋4sin2α)＝7，得tan2α＝eq\f(5,16)．结合Δ＝32cosα(2eq\r(3)sinα－cosα)>0可知tanα＝eq\f(\r(5),4)，所以直线l的斜率为eq\f(\r(5),4)．7．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6sinθ．(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为(1，2)，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))的最小值．7．解析(1)由ρ＝6sinθ，得ρ2＝6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝6y，即x2＋(y－3)2＝9．(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cosα－sinα)t－7＝0，由Δ＝(2cosα－2sinα)2＋4×7>0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－sinα))，,t1·t2＝－7，))又直线l过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，故结合t的几何意义得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t1\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋))t2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝))t1－t2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1＋t2))2－4t1t2)＝eq\r(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－sinα))2＋28)＝eq\r(32－4sin2α)≥eq\r(32－4)＝2eq\r(7)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))的最小值为2eq\r(7)．8．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的eq\r(2)倍(纵坐标不变)得到