综合训练（6）大题训练-2022届高三数学二轮复习

2022届高三数学二轮复习大题训练（综合训练（6））1．已知数列是单调递增的等差数列，且，．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）设，求数列的前项和．2．如图，四边形是圆柱的轴截面，，分别是上、下底面圆的圆心，是底面圆的一条直径，．（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．3．为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划．已知某国际航空公司航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是．一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司航线的第次航班被熔断的概率为．（1）求；（2）证明：为等比数列；（3）求数列的前项和，并说明的实际意义．4．法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，．（1）求；（2）若，△的面积为，求的周长．5．已知圆，点，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于．（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线过点，且与轨迹交于，两点，点满足，点为坐标原点，延长线段与轨迹交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说明理由．6．已知函数，．（1）若1是函数的极值点，求的值；（2）若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．（3）若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．（参考数据：，2022届高三数学二轮复习大题训练（综合训练（6））1．已知数列是单调递增的等差数列，且，．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）设，求数列的前项和．【解答】（1）因为数列是等差数列，所以，即，所以，又，即，解得或，由数列递增，知，所以，所以，．（2）∵，所以，所以，两式相减得，，所以．2．如图，四边形是圆柱的轴截面，，分别是上、下底面圆的圆心，是底面圆的一条直径，．（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：连接，因为．是底面圆的一条直径，所以，因为是圆柱的母线，在底面圆内，所以，因为，，平面，所以平面，平面，；（2）以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，1，，，1，，，，，，0，，所以，，，，0，，，，，，1，，设平面的一个法向量为，，，则，令，则，，平面的一个法向量为，1，，设平面的一个法向量为，，，则，令，则，，所以平面的一个法向量为，0，，所以，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．3．为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划．已知某国际航空公司航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是．一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司航线的第次航班被熔断的概率为．（1）求；（2）证明：为等比数列；（3）求数列的前项和，并说明的实际意义．【解答】（1）；（2）由题得，，又，数列是以为首项、为公比的等比数列；（3）由（2）知，故，从而，由于可以理解为第次航班平均被熔断的次数，表示前次航班平均被熔断的次数．4．法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，．（1）求；（2）若，△的面积为，求的周长．【解答】（1）由，得，即，即即，，，由正弦定理得，，，，，；（2）如图，连接，，则，正△面积，，而，则，△中，由余弦定理得：，即，则，在中，，由余弦定理得，则，，，，所以的周长为．5．已知圆，点，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于．（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线过点，且与轨迹交于，两点，点满足，点为坐标原点，延长线段与轨迹交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说明理由．【解答】（1），且，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，则，，，．所以点的轨迹方程为：．（2）（ⅰ）当直线与轴垂直时，直线的方程为，显然四边形是平行四边形；（ⅱ）当直线与轴不垂直时，设直线，显然，，设，，，，，．联立方程组，得，，，即是的中点，，，若四边形是平行四边形，当且仅当，互相平分，，，代入椭圆方程得：，即，又直线经过点，，，，即．，，直线的方程为时，四边形是平行四边形，综上，直线的方程为或．6．已知函数，．（1）若1是函数的极值点，求的值；（2）若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．（3）若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．（参考数据：，【解答】（1），定义域是，，是函数的极值点，（1），解得，经检验符合题意；（2）证明：令，即，令，则，令，则，令，解得，而，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，，且，（1），故存在，使