专题19平行四边形(原卷版+解析)

专题19平行四边形平行四边形知识内容主要包括平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、菱形的性质与判定、正方形的性质与判定，作为比较重要的几何知识，在广东中考中占有一定的考查比重，从往年考查来看，考查的频率还是相对较高，基础知识的单独考查一般就是选择或填空题，若考查知识的综合性运用则在解答题里以中等或较难的综合题进行考查，例如和三角形全等、解直角三角形以及函数动点问题进行综合应用考查。平行四边形的复习要多注重基础，性质与判定的掌握是重点，几何思维的培养是难点，多进行反复练习，达到迎接中考的水准，便可显得轻松自如。考向一：平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.1．在四边形中，对角线和交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，2．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A． B．C． D．3．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．114．如图，在平行四边形D中，，在上取，则的度数是_____度．5．如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形．6．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为(

)A． B． C． D．7．1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A．5 B．4 C．3 D．28．将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（）A．100° B．80° C．70° D．60°9．如图，在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为___________（写一个即可）．10．如图，在中，，若，则的度数是______．11．如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______．12．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．考向二：矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.5.由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．1．对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A．对角线垂直且相等B．四边都互相垂直C．四个角都相等D．是轴对称图形，但不是中心对称图形2．在下列条件中，能够判定为矩形的是（

）A． B． C． D．3．如图，在矩形中，，则D的坐标为（

）A． B． C． D．4．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（

）A． B． C． D．5．如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为_______．6．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形．7．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（

）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等8．如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（

）A．48° B．66° C．72° D．78°9．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．10．如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．11．如图，矩形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，，垂足为点H，若，则AD的长为_______________．12．如图，在菱形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点，的运动时间为（单位：），且，过作于点，连结．(1)求证：四边形是矩形．(2)连结，，点，在运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．考向三：菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.1．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形2．如图，下列条件中能使成为菱形的是（

）A． B． C． D．3．如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（

）A． B．若，则C． D．4．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是___（限填序号）．5．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（

）A．4 B． C．2 D．6．如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且，连接BF．FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(

)A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC8．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（

）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16 B．6 C．12 D．3010．如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（）A．50° B．60° C．80° D．90°11．如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________．12．如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．(1)求证：四边形AECD为菱形；(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．考向四：正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.1．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．2．如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则为（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α3．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形．5．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（

）A． B． C． D．6．如图，在正方形中，，分别是，的中点，，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．8．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．1．（2023·广东·统考中考真题）如图，在中，一定正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（

）A．EH=HG B．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BD D．的面积是的面积的2倍3．（2023·广东·统考中考真题）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（

）A．1 B． C． D．24．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知菱形，是动点，边长为4，，则下列结论正确的有几个（

）①；

②为等边三角形

③

④若，则A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE=1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（

）A． B．C． D．7．（2023·广东·统考中考真题）菱形的边长为5，则它的周长为____________．8．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在中，AD=10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________9．（2023·广东·统考中考真题）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．10．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求______.11．（2023·广东·统考中考真题）如图，在中，．过点D作，垂足为E，则______．12．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP'，CP'．当点P'落在边BC上时，∠PP'C的度数为________；当线段CP'的长度最小时，∠PP'C的度数为________13．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，连接BD．(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=DF，①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．14．（2023·广东·统考中考真题）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长．15．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使，且CF、DE相交于点G（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；（2）当时，求AE的长；（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．1．在ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，则∠D等于（

）A．60° B．80° C．100° D．120°2．菱形不具备的性质是（

）A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．对角线平分对角 D．是中心对称图形3．如图，将矩形沿着裁剪得到一个四边形和一个三角形，设四边形的外角和与的外角和分别为，则（

）A． B． C． D．无法比较与4．如图，正方形的边长为，，，连结，则线段的长为（

）A． B． C． D．5．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，只需添加一个条件，即可证明平行四边形ABCD是矩形，这个条件可以是__________（写出一个即可）．6．如图，菱形中，已知，则的大小是____________．7．如图，已知矩形的对角线与相交于点，若，那么______．8．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．9．在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：．10．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．11．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．求证：．12．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，菱形的面积为40．求菱形的周长．专题19平行四边形平行四边形知识内容主要包括平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、菱形的性质与判定、正方形的性质与判定，作为比较重要的几何知识，在广东中考中占有一定的考查比重，从往年考查来看，考查的频率还是相对较高，基础知识的单独考查一般就是选择或填空题，若考查知识的综合性运用则在解答题里以中等或较难的综合题进行考查，例如和三角形全等、解直角三角形以及函数动点问题进行综合应用考查。平行四边形的复习要多注重基础，性质与判定的掌握是重点，几何思维的培养是难点，多进行反复练习，达到迎接中考的水准，便可显得轻松自如。考向一：平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.1．在四边形中，对角线和交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，答案:D分析：利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【详解】A、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；C、根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．2．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A． B．C． D．答案:D【详解】由▱ABCD的性质及图形可知：A、∠1和∠2是邻补角，故∠1+∠2=180°，正确；B、因为AD∥BC，所以∠2+∠3=180°，正确；C、因为AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，正确；D、根据平行四边形的对角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正确；故选D．3．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．11答案:C分析：通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案．【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，∴∠BAO＝90°，OA＝3∴，∴BD＝2BO＝10，故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质．4．如图，在平行四边形D中，，在上取，则的度数是_____度．答案:##度分析：根据平行四边形的性质求得，，再根据等腰三角形的性质求得，进而可求解．【详解】解：在平行四边形中，，，∴，，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，找到角之间的关系并正确求解是解答的关键．5．如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形．答案:见解析分析：结合已知条件推知；然后由全等三角形的判定定理证得，则其对应边相等：；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．【详解】证明：，．．在与中，．．．四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．6．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为(

)A． B． C． D．答案:C分析：先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出∠A的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，根据折叠可知，，∴，，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．7．1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2答案:C分析：根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．【详解】解：∵在▱ABCD中，AB＝8，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∵AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5，∵CF∥DE，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝8，∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键．8．将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（）A．100° B．80° C．70° D．60°答案:B分析：由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠AEG=∠EGC，∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，∴∠GEF=30°，∴∠GEA=80°，∴∠EGC=80°．故选：B．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．9．如图，在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为___________（写一个即可）．答案:ABDC(答案不唯一)分析：根据平行四边形的判定条件解答即可．【详解】解：∵AB=DC，再加ABDC，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：ABDC(答案不唯一)【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．10．如图，在中，，若，则的度数是______．答案:##40度分析：根据平行四边形对边平行可得，利用平行线的性质可得，因此利用直角三角形两个锐角互余求出即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够综合运用上述知识．11．如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______．答案:或分析：根据旋转可得：BM=B1M1=B2M2=3，∠AOA1=∠AOA2=90°，可得B1和B2的坐标，即是B'的坐标．【详解】解：∵A(-1，2)，OC=4，∴C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)，BM=3，AB//x轴，BM=3．将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，由旋转得：OM=OM1=OM2=2，∠AOA1=∠AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴B1和B2的坐标分别为：(-2，3)，(2，-3)，∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是，B'(-2，3)，(2，-3)，故答案为：(-2，3)或(2，-3)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．答案:(1)见解析(2)见解析分析：（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明；（2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出．【详解】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，又，∴（SAS）；（2）证明：∵，∴∴，∴四边形AECF是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．考向二：矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.5.由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．1．对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A．对角线垂直且相等B．四边都互相垂直C．四个角都相等D．是轴对称图形，但不是中心对称图形答案:C分析：直接利用矩形的性质分析得出答案．【详解】解：A、矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；B、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；C、矩形的四个角都相等，正确；D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选C【点睛】此题主要考查了矩形的性质，正确把握矩形的性质是解题关键．2．在下列条件中，能够判定为矩形的是（

）A． B． C． D．答案:D分析：根据矩形的判定定理逐项判断即可．【详解】当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意；当AC⊥BD时，是菱形，所以B不符合题意；当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意；当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．3．如图，在矩形中，，则D的坐标为（

）A． B． C． D．答案:D分析：先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD=AB=6，并证明轴，同理可得轴，由此即可得到答案．【详解】解：∵A（-3，2），B（3，2），∴AB=6，轴，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，轴，同理可得轴，∵点C（3，-1），∴点D的坐标为（-3，-1），故选D．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．4．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（

）A． B． C． D．答案:A分析：证明四边形EFGH为平行四边形，作交于点P，交于点K，设，表示出，，，，进一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，进一步可求出边形EFGH的周长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴，，∵，，∴，，在和中，∴，∴，同理：，∴，∴四边形EFGH为平行四边形，作交于点P，交于点K，设，∵，，，，∴，，，，∴，，∴，∵，∴ABKH为矩形，即，∵，，∴，即，解得：，∴四边形EFGH的周长为：，故选：A.【点睛】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用求出a的值．5．如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为__．答案:##7.5分析：根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．【详解】解：如图：四边形是矩形，，又，，，是的垂直平分线，，，又，，，，解得，，四边形是矩形，，，，是的垂直平分线，，，在和中，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．6．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形．答案:见解析分析：根据平行四边形的性质和E为的中点，易得，得到，，结合得到四边形ABFC是平行四边形，再利用，得到，最后利用矩形的判定定理判定即可．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，，∴，．∵E为的中点，∴．在和中，∴，∴，．∵，延长交的延长线于点F，∴，∴四边形ABFC是平行四边形．∵，，∴．∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到是解答关键．7．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（

）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等答案:C分析：由对角线的相等不能判定平行四边形，可判断A，两个角为不能判定矩形，可判断B，对角线的交点到四个顶点的距离相等，可判断矩形，从而可判断C，由两组对边分别相等判断的是平行四边形，可判断D，从而可得答案．【详解】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意；D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本题的关键．8．如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（

）A．48° B．66° C．72° D．78°答案:C分析：由折叠及矩形的性质可得，再根据平行线的性质求出，根据周角的定义求解即可．【详解】∵将一矩形纸片沿AB折叠，∴，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．9．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．答案:##分析：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．设BE=EF=x，则AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根据勾股定理，建立方程，解方程即可求解．【详解】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴，所以，所以BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:，∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方程求解是关键．10．如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．答案:27分析：根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．【详解】解：四边形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．11．如图，矩形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，，垂足为点H，若，则AD的长为_______________．答案:分析：由矩形的性质得，，求出，利用30°角的直角三角形的性质求出CH的长度，再利用勾股定理求出DH的长度，根据求出，然后由含角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，，，，∴在中，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°的性质是解决本题的关键．12．如图，在菱形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点，的运动时间为（单位：），且，过作于点，连结．(1)求证：四边形是矩形．(2)连结，，点，在运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．答案:(1)见解析(2)与能够全等，此时分析：（1）根据题意可得，再根据菱形的性质和直角三角形的性质可得，从而得到FG=EH，再由FG∥EH，可得四边形EFGH是平行四边形，即可求证；（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质可得∠CBF=∠CDE，，然后分两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）证明：根据题意得：，在菱形ABCD中，AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，∵∠ABC=60°，，∴，∠CBO=30°，又∵∠BGF=90°，∴，∴FG=EH，∵，DH⊥BH，∴FG∥EH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵∠H=90°，∴四边形是矩形．（2）解：能，∵AB∥CD，∠ABC=60°，∴∠DCH=60°，∵∠H=90°，∴∠CDE=30°，∴∠CBF=∠CDE，，∴，∵BC=DC，∴当∠BFC=∠CED或∠BFC=∠DCE时，与能够全等，当∠BFC=∠CED时，，此时BF=DE，∴，解得：t=1；当∠BFC=∠DCE时，BC与DE是对应边，而，∴BC≠DE，则此时不成立；综上所述，与能够全等，此时．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．考向三：菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.1．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形答案:C分析：画出图形，根据菱形的性质得到ACBD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴ACBD，∵E，F，G，H是菱形各边的中点，∴EFBD，FGAC，∴EFFG，同理：FGHG，GHEH，HEEF，∴四边形EFGH是矩形．故选：C．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．2．如图，下列条件中能使成为菱形的是（

）A． B． C． D．答案:D分析：根据菱形的判定定理可得．【详解】解：A、AB=CD不能判定▱ABCD是菱形，故不符合题意；B、AC=BD只能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；C、∠BAD=90°只能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；D、AB=BC能判定▱ABCD是菱形，故符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了菱形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．3．如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（

）A． B．若，则C． D．答案:B分析：利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．【详解】解：由作法得MN垂直平分CD，∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD，∴AB=BC=AC，∴ΔABC为等边三角形，∴∠ABC=60°∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；当AB=3，则CE=DE=，∵∠D=60°，∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°在Rt△ABE中，BE=，所以B选项的结论错误，符合题意；∵菱形ABCD∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；∵ABCD，AB=2DE，∴，所以D选项的结论正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键．4．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是___（限填序号）．答案:①分析：根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得．【详解】解：①时，平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；②时，平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；③由平行四边形的性质可知，，则不能作为构成菱形的条件；故答案为：①．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．5．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（

）A．4 B． C．2 D．答案:C分析：根据菱形的性质得出，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出，进而求出．【详解】是菱形，E为AD的中点，，．是直角三角形，．，，，．，即，，．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出并求得．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．6．如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且，连接BF．FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．答案:见解析分析：先证明四边形DEBF是平行四边形，再结合可得结论．【详解】连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是茥形，∴，，，又∵，∴，即，∴四边形DEBF是平行四边形．又∵，即，∴四边形DEBF是菱形．【点睛】本题主要考查了证明四边形是菱形，证明四边形DEBF是平行四边形是解题的关键．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(

)A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC答案:C分析：根据菱形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确，不能得出，故C选项不正确，故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．8．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（

）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形答案:D分析：由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16 B．6 C．12 D．30答案:B分析：连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．【详解】解：连接AC交BD于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，∵E为AD边的中点，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，，∴AC＝2OC＝，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）．10．如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（）A．50° B．60° C．80° D．90°答案:C分析：由翻折的性质知∠BAE==50°，=AB，再由菱形的性质得∠BAD=120°，=AD，最后利用三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，∵将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，∴∠BAE==50°，=AB，∴=100°，=AD，∴=20°，∴==（180°-20°）÷2=80°，故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出=20°是解题的关键．11．如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________．答案:2分析：首先根据菱形对角线的性质得出AC的长，然后利用菱形对角线平分对角和平移的性质得出等腰，过顶点作垂线段EF，利用三线合一得出CF的长，再利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理列出方程，即可求解．【详解】∵∠BAD=60°，∴连接对角线AC,BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD,∴在Rt△ADO中，利用勾股定理得又∵AC=2AO,∴AC=，由题可知=，∴A’C=;由平移可知=∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,∴=∠DCA，即==30°，∴是等腰三角形；过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示：则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC=,在Rt△ECF中，,设EF=x，则EC=2x，由勾股定理得：，解得x=2，故填：2．【点睛】本题考查菱形的性质，等腰三角形三线合一，直角三角形中30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理；菱形对角线互相垂直且平分，一条对角线平分一组对角，熟知概念定理是解题的关键．12．如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．(1)求证：四边形AECD为菱形；(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．答案:(1)见详解(2)△ABC的面积为分析：（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则，进而问题可求解．【详解】（1）证明：∵ABCD，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∵AB＝2CD，E为AB中点，∴，∵，∴四边形AECD是平行四边形，∵DA=DC，∴四边形AECD是菱形；（2）解：由（1）知：，∵∠D＝120°，∴，∵E为AB中点，∴，∴△BCE是等边三角形，∴，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．考向四：正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.1．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．答案:D分析：连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出，得到△为等腰直角三角形，点在y轴上，利用勾股定理求出O即可．【详解】解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴，，∴，∴△为等腰直角三角形，点在y轴上，∵，∴=2，∴（0，2），故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．2．如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则为（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α答案:B分析：根据题意可得，从而即可．【详解】∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形，∴AP=CP，PF=PB，，∴，∴∠AFP=∠CBP，又∵，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键．3．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．答案:135分析：由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠BAC＝45°∴∠2+∠BCP＝45°∵∠1＝∠2∴∠1+∠BCP＝45°∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP∴∠BPC＝135°故答案为：135．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形．答案:证明过程见解析分析：菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF是正方形．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形∴OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，又∵BE=DF∴OB-BE=OD-DF即OE=OF∵OE=OA∴OA=OC=OE=OF且AC=EF又∵AC⊥EF∴四边形DEBF是正方形．【点睛】此题考查了菱形的性质和正方形的判定，解题的关键是掌握上述知识．5．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（

）A． B． C． D．答案:B分析：利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．【详解】在正方形中：，∴，∵O为正方形对角线的中点，∴，∵为等边三角形,O为的中点，∴，，∴,∴,故选：B．【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．6．如图，在正方形中，，分别是，的中点，，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③答案:D分析：根据正方形的性质得到AB=BC=CD=AD，∠B＝∠BCD＝90°，得到，，根据全等三角形的性质得到∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到CE⊥DF，故②正确；延长CE交DA的延长线于H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根据全等三角形的性质得到BC=AH=AD，由AG是斜边的中线，得到，求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到∠AGE＝∠CDF，故③正确．【详解】解：四边形是正方形，，，，分别是，的中点，，，，在与中，，，，，故①正确；，，，，故②正确；，如图，延长交的延长线于，∵AD//BC，∴∠AHE=∠BCE，点是的中点，，，，，，，是斜边的中线，，，，，．故③正确；故选：D．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．答案:2分析：连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．8．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．答案:问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8分析：问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解；（2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解．【详解】解：问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形是矩形，．．．．又．∴矩形是正方形．（2）是等腰三角形．理由如下：，．又，即是等腰三角形．类比迁移：如图2，延长到点，使得，连接．∵四边形是菱形，．．．又．是等边三角形，，．【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．1．（2023·广东·统考中考真题）如图，在中，一定正确的是（

）A． B． C． D．答案:C分析：根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（

）A．EH=HG B．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BD D．的面积是的面积的2倍答案:B分析：根据三角形中位线的性质和平行四边形的性质分别判断各选项即可解答，【详解】解：因为E、H为OA、OD的中点，所以，EH＝＝2，同理，HG＝＝1，所以，A错误；EH∥AD，EH＝，FG∥BC，FG＝，因为平行四边形ABCD中，AD＝BC，且AD∥BC，所以，EH＝FG，且EH∥FG，所以，四边形EFGH是平行四边形，B正确．AC与BD不一定垂直，C错误；由相似三角形的面积比等于相似比的平方，知：△ABC的面积是△EFO的面积的4倍，D错误；故选B.【点睛】本题考查了三角形中位线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握是解题的关键.3．（2023·广东·统考中考真题）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（

）A．1 B． C． D．2答案:D分析：由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到，进而得到，然后在中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠EFD=∠FEB=60°，由折叠前后对应角相等可知：，∴，∴，设AE=x，则，∴AB=AE+BE=3x=3，∴x=1，∴BE=2x=2，故选：D．【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．4．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（

）A． B． C． D．答案:C分析：根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，，，，，，，，，又，，，，，，，同理可证，，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．5．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知菱形，是动点，边长为4，，则下列结论正确的有几个（

）①；

②为等边三角形

③

④若，则A．1 B．2 C．3 D．4答案:D分析：①易证△ABC为等边三角形，得AC=BC，∠CAF=∠B，结合已知条件BE=AF可证△BEC≌△AFC；②得FC=EC，∠FCA=∠ECB，得∠FCE=∠ACB，进而可得结论；③证明∠AGE=∠BFC则可得结论；④分别证明△AEG∽△FCG和△FCG∽△ACF即可得出结论.【详解】在四边形是菱形中，∵，∴∵∴∴△ABC为等边三角形，∴又，∴，故①正确；∴，∴∠FCE=∠ACB=60°,∴为等边三角形，故②正确；∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，又∵∠CEF=∠CAB=60°,∴∠BEC=∠AGE，由①得，∠AFC=∠BEC，∴∠AGE=∠AFC，故③正确；∴∠AEG=∠FCG∴△AEG∽△FCG，∴，∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG∴∠CFG=∠GAE=∠FAC，∴△ACF∽△FCG，∴∴∵AF=1，∴BE=1，∴AE=3，∴，故④正确.故选D.【点睛】本题主要考查了运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，是一道好题.6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE=1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（

）A． B．C． D．答案:D分析：如图，连接EF，先证明再求解可得再求解可得为等腰直角三角形，求解再利用三角形的中位线的性质可得答案．【详解】解：如图，连接EF，∵正方形ABCD的面积为3，∵∴∴∴∵平分∴∴∴为等腰直角三角形，∵分别为的中点，故选D【点睛】本题考查的是正方形的性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的中位线的性质，求解是解本题的关键．7．（2023·广东·统考中考真题）菱形的边长为5，则它的周长为____________．答案:20分析：根据菱形的四条边相等，即可求出．【详解】∵菱形的四条边相等．∴周长：，故答案为：20．【点睛】本题考查菱形的性质；熟练掌握菱形的性质是本题解题关键．8．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在中，AD=10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________答案:21分析：根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10,∵AC+BD=22，∴OC+BO=11，∵BC=10，∴△BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21．故答案为：21．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．9．（2023·广东·统考中考真题）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．答案:45°分析：根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数．【详解】∵∴∴故答案为：45°．【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．10．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求______.答案:分析：作于点，构造直角三角形，运用勾股定理求解即可.【详解】作于点，由折叠可知：，，∴正方形边长∴.故答案为.【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，11．（2023·广东·统考中考真题）如图，在中，．过点D作，垂足为E，则______．答案:分析：首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出．【详解】∵，∴△ADE为直角三角形，又∵，∴,解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：,又∵AB=12,∴,又∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：,过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图在△EBC中：S△EBC=;又∵S△EBC∴,解得,在Rt△BFC中，,故填：．【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高．12．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP'，CP'．当点P'落在边BC上时，∠PP'C的度数为________；当线段CP'的长度最小时，∠PP'C的度数为________答案:

120°##120度

75°##75度分析：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．∵△BPP′是等边三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°，当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，∴EO＝OB，OP′＝OC，∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC，∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°．故答案为：120°，75°．【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．13．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，连接BD．(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=DF，①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．答案:(1)；(2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12分析：（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO=，即可求解；（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s=S△ABD-S△DEF，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时，s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BO=AB▪sin60°==，∴BD=2BO=；（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE∵，∴MN=，设BE=，则EN=，∴EM=MN-EN=，∵S菱形ABCD=AD▪MN=，∴S△ABD=S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF▪EM==，记四边形ABEF的面积为s，∴s=S△ABD-S△DEF=-（），∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即；①当CE⊥AB时，∵OB⊥AC，∴点E是△ABC重心，∴BE=CE=BO=，此时=，∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为；②作CH⊥AD于H，如图，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴当，即BE=时，s达到最小值，∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．14．（2023·广东·统考中考真题）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长．答案:分析：根据题意，延长交于H连，通过证明、得到，再由得到，进而即可求得的长．【详解】解：延长交于H连，∵由沿折叠得到，∴，，∵E为中点，正方形边长为1，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．15．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使，且CF、DE相交于点G（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；（2）当时，求AE的长；（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．答案:（1）见解析；（2）；（3）．分析：（1）根据E为AB中点可得，再由菱形的性质推出CD∥AB，，则，即可证明结论；（2）过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H，利用菱形及直角三角形的性质可求出，并由勾股定理求得，再根据相似三角形的判定及性质可证得，设，则，可表示出，，即可由建立关于x的方程，求解后可得出AE的长；（3）连接AG并延长交CD于点M，连接BD交AM于点N，并连接BM，首先由菱形的性质得出△ABD为等边三角形，则，再由CD∥AB，得，，由此可证得，再结合得出，则由等腰三角形性质推出，并分别求出，，最后根据题意可得点G运动路径的长度为线段AN的长，由平行线分线段成比例性质可得出，此题得解．【详解】（1）证明：∵E为AB中点，∴．∴．∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，．∴．∴四边形DFEC是平行四边形；（2）解：如图，过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H，∵四边形ABCD是菱形，，∴AD∥BC，．∴．∴．∴．则由勾股定理得