专题强化练4 二次函数在闭区间上最大(小)值的求法-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）

第三章函数的概念与性质专题强化练4二次函数在闭区间上最大(小)值的求法一、选择题1.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元2.已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是()A.[160,+∞)B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞)D.(-∞,20]∪[80,+∞)3.已知二次函数f(x)=x2-2x-4在区间[-2,a]上的最小值为-5,最大值为4,则实数a的取值范围是()A.(-2,1) B.(-2,4]C.[1,4] D.[1,+∞)4.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=g(xA.-9B.[0,+∞)C.-D.-9二、填空题5.已知函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[0,m]上有最大值2,最小值1,则m的取值范围为.6.已知函数y=x2+2x在闭区间[a,b]上的值域为[-1,3],则ab的最大值为.

7.已知二次函数f(x)满足f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+1,则函数f(x2+1)的最小值为.

8.已知函数y=-x2+ax-a4在区间[0,1]上的最大值是32,则实数a的值为三、解答题9.2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为100千米/时.研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤220时,求函数v(x)的解析式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大?并求出最大值.易错10.已知函数f(x)为二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12.(1)求f(x)的解析式;(2)设函数f(x)在[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的表达式.答案全解全析一、选择题1.C设公司在甲地销售m辆该品牌车,则在乙地销售(15-m)辆,0≤m≤15,且m∈N,公司获利为L万元,则L=L1+L2=-m2+21m+2(15-m)=-m2+19m+30=-m-192∴当m=9或m=10时,L取得最大值120,即该公司在两地共销售15辆该品牌车时,能获得的最大利润为120万元.故选C.2.C由于函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,因此函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.函数f(x)=4x2-kx-8的图象开口向上,且对称轴方程为x=k8,因此k8≤5或3.C∵f(x)=x2-2x-4=(x-1)2-5,∴f(x)min=f(1)=-5,又由题知f(x)max=4,∴令x2-2x-4=4,解得x=-2或x=4,作出函数f(x)的大致图象如图所示.由题意及图象可知,1≤a≤4.故选C.4.D当x<g(x),即x<x2-2时,x>2或x<-1,f(x)=g(x)+x+4=x2-2+x+4=x2+x+2=x+12f(-1)=2,因此x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数f(x)的值域为(2,+∞);当x≥g(x),即-1≤x≤2时,f(x)=g(x)-x=x2-2-x=x-12其最小值为f12=-94,其最大值为f(2)=f(-1)=0,因此x∈[-1,2]时,函数f(x)的值域为综上可得,函数f(x)的值域为-9二、填空题5.答案[1,2]解析f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象开口向上,对称轴方程为x=1,且f(x)min=f(1)=1.令f(x)=x2-2x+2=2,解得x=0或x=2.由题意及图象可知,1≤m≤2.即m的取值范围是[1,2].解题模板解决二次函数在闭区间上最大(小)值问题的关键是确定二次函数图象的对称轴与闭区间的关系,利用二次函数的图象是常见方法.6.答案3解析∵函数y=x2+2x=(x+1)2-1,图象开口向上,图象的对称轴为直线x=-1,∴当x=-1时,函数取得最小值-1.又由题知,当y=3,即x2+2x=3时,x=-3或x=1.∵函数y=x2+2x在闭区间[a,b]上的值域为[-1,3],∴a=-3,-1≤b≤1,此时-3≤a·b≤3或b=1,-3≤a≤-1,此时-3≤ab≤-1.因此ab的最大值为3.7.答案5解析∵f(x)为二次函数,∴可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(0)=c=2.又f(x)-f(x-1)=2x+1,∴ax2+bx+c-a(x-1)2-b(x-1)-c=2x+1,即2ax-a+b=2x+1,∴2解得a=1,b=2,令t=x2+1,则t≥1,函数f(x2+1)即为f(t)=t2+2t+2=(t+1)2+1.∵f(t)的图象开口向上,图象的对称轴为直线t=-1,∴f(t)在[1,+∞)上单调递增,∴f(t)min=f(1)=5,即f(x2+1)的最小值为5.8.答案-6或10解析函数y=f(x)=-x-a22+14①当0≤a2≤1,即0≤a≤2时,f(x)max=fa2=14则14(a2-a)=3②当a2<0,即a<0时,f(x)在[0,1]上单调递减,f(x)max=f(0)=-a则-a4=3③当a2>1,即a>2时,f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)max=f(1)=3则34a-1=32,解得a=综上所述,a=-6或a=103三、解答题9.解析(1)由题意知,当0≤x≤20时,v(x)=100;当20≤x≤220时,设v(x)=ax+b(a≠0),因为v(20)=20a+b=100,v(220)=220a+b=0,所以a=-12所以v(x)=100,0≤(2)依题意得f(x)=100若0≤x≤20,则f(x)max=f(20)=2000;若20<x≤220,则f(x)=-12(x-110)2+6050,当x=110时,f(x)max综上,当车流密度为110辆/千米时,车流量最大,最大值为6050辆/时.易错警示求与二次函数有关的分段函数的最大(小)值需要注意两点:一是二次函数图象的对称轴与二次函数的定义域之间的关系,二是求出每段函数的最大(小)值后,再进行比较才可得到结论.10.解析(1)由题意可设f(x)=ax(x-5)(a>0),又由题可知,f(x)的图象开口向上,图象的对称轴为直线x=52,则在区间[-1,4]上,f(x)max=f(-1)=6a=12,解得a=2,所以f(x)=2x2(2