高三数学第十章圆锥曲线复习学案(学生版)

第十章圆锥曲线第1节椭圆、双曲线、抛物线【高考考情解读】高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．【知识梳理】圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(eq\f(p,2)，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1)e＝1准线x＝－eq\f(p,2)渐近线y＝±eq\f(b,a)x

【典型题型解析】考点一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)设椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1和双曲线eq\f(y2,3)－x2＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值等于________．(2)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________.(1)(2012·山东)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2).双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 ()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝eq\r(3)x考点二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2013·辽宁)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，则C的离心率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(5,7) C.eq\f(4,5) D.eq\f(6,7)(2)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．(1)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且Beq\o(F,\s\up6(→))＝2Feq\o(D,\s\up6(→))，则C的离心率为________．(2)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝eq\f(a2,4)的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．考点三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(\r(2),2)，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\r(2)－1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．(2013·北京)已知A，B，C是椭圆W：eq\f(x2,4)＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常数，A>B>0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B>A>0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB<0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算e＝eq\f(c,a)；方法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求eq\f(c,a).4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为eq\f(2b2,a)，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c.5．抛物线焦点弦性质：已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)S△AOB＝eq\f(p2,2sinα)；(4)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)为定值eq\f(2,p)；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【当堂达标】1．已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 ()A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(1,1＋eq\r(2)) D．(2,1＋eq\r(2))2．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为e＝eq\f(1,2)，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2) ()A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能【点击高考】一、选择题1．(2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为 ()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x2．与椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是 ()A．y2－eq\f(x2,3)＝1 B.eq\f(y2,3)－x2＝1C.eq\f(3x2,4)－eq\f(3y2,8)＝1 D.eq\f(3y2,4)－eq\f(3x2,8)＝13．(2013·江西)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于 ()A．2∶eq\r(5)B．1∶2C．1∶eq\r(5)D．1∶34．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F，作圆x2＋y2＝a2的切线FM交y轴于点P，切圆于点M,2eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))，则双曲线的离心率是 ()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C．2 D.eq\r(5)5．(2013·山东)抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p>0)的焦点与双曲线C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于()A.eq\f(\r(3),16) B.eq\f(\r(3),8) C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)6．椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且eq\o(PF,\s\up6(→))1·eq\o(PF,\s\up6(→))2的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝eq\r(a2－b2)，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A．[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)] B．[eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2)]C．(eq\f(\r(2),2)，1) D．[eq\f(1,2)，1)二、填空题7．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的离心率为eq\r(5)，则m的值为________．8．(2013·福建)椭圆Г：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝eq\r(3)(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．9．(2013·辽宁)已知F为双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．10．已知P为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．三、解答题11．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－eq\r(3)＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为eq\f(1,2).(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．12．(2013·江西)如图，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，离心率e＝eq\f(1,2)，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．13．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，其一个顶点的抛物线x2＝－4eq\r(3)y的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标；(3)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，且满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．第2节圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．【知识梳理】1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|或|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)，|y2－y1|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2).(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．【典型题型解析】考点一圆锥曲线的弦长及中点问题例1已知椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，右焦点(2eq\r(2)，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的弦被点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))平分，则这条弦所在的直线方程是____________．考点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1经过点(0，eq\r(3))，离心率为eq\f(1,2)，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且eq\o(MA,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝μeq\o(BF,\s\up6(→))，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．考点三圆锥曲线中的最值范围问题例3(2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x1－eq\r(6)4eq\r(3)y－30－61(1)求C1，C2的标准方程；(2)过点A(m,0)作倾斜角为eq\f(π,6)的直线l交椭圆C1于C，D两点，且椭圆C1的左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围．1．求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.【当堂达标】设直线l：y＝k(x＋1)与椭圆x2＋3y2＝a2(a>0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．(1)证明：a2>eq\f(3k2,1＋3k2)；(2)若eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．【点击高考】一、选择题1．已知方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,3－k)＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是 ()A．k<1或k>3 B．1<k<3C．k>1 D．k<32．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是 ()A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3) D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x>4)3．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，则y0的取值范围是 ()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)4．若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为 ()A．2B．3C．6D．85．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F