数学湘教九上导学案

反比例函数第一节反比例函数新知探究知识点反比例函数的概念1.以前我们学过了正比例函数，那么有没有反比例函数呢？反比例函数是怎样定义的呢？【归纳概括】一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成①（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的②，其中x是③，常数k（k≠0）称为反比例函数的④.反比例函数的自变量的取值范围是什么？【归纳概括】反比例函数的自变量取值范围是⑤.新知探究参考答案①②反比例函数③自变量④比例系数⑤所有非零实数反比例函数的图象与性质新知探究知识点1反比例函数的图象与性质1.正比例函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是什么曲线？应该怎样画呢？【归纳概括】(1)反比例函数的图象是由两支①组成的，这两支曲线称为②.(2)画反比例函数图象的步骤是：③、④和⑤.2.反比例函数的图象在哪里几个象限内？增减性是怎样的？【归纳概括】当k>0时，图象在第⑥象限，在每个象限内，函数y的值随x的增大而⑦；当k>0时，图象在第⑧象限，在每个象限内，函数y的值随x的增大而⑨.3.反比例函数的图象的对称性是怎样的？【归纳概括】反比例函数的图象关于直线y=x和直线y=-x⑩；反比例函数的图象关于原点成⑪.知识点2反比例函数解析式中k的几何意义反比例函数的解析式可以改写为yx=k，你能从中发现些什么？【归纳概括】过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S=⑫.新知探究参考答案①曲线②双曲线③列表④描点⑤连线⑥一、三⑦减小⑧二、四⑨增大⑩轴对称⑪中心对称⑫|k|反比例函数的应用新知探究知识点反比例函数的应用在生活中有些什么量之间的关系是反比例关系？【归纳概括】（1）三角形中，当面积S一定时，高h与相应的底边长a关系①.（2）矩形中，当面积S一定时，长a与宽b关系②.（3）长方体中当体积V一定时，高h与底面积S的关系③.（4）在行程问题中，当④一定时，⑤与⑥成反比例，即⑦.（5）在工程问题中，当⑧一定时，⑨与⑩成反比例，即⑪.新知探究参考答案①S=ah②S=③V=Sh④路程⑤速度⑥时间⑦s=vt⑧工程总量⑨效率⑩时间⑪工程总量=效率×时间一元二次方程第一节一元二次方程新知探究知识点1一元二次方程的定义1.类比一元一次方程的定义，你能给出一元二次方程的定义么？【归纳概括】一元二次方程的定义：只含有①个未知数x的整式方程，并且都可以化为②（a,b,c为常数，a=0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。2.由一元二次方程的定义，你知道一元二次方程需要同时满足哪些条件么？【归纳概括】一元二次方程需同时满足以下三个条件：（1）③;（2）④;（3）⑤.知识点2一元二次方程的一般形式1.由一元二次方程的定义，你能写出一元二次方程的一般形式么？【归纳概括】一元二次方程的一般形式是⑥(a,b,c为常数，⑦），它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中，ax2叫做⑧，叫做⑨；bx叫做⑩，叫做⑪；叫做⑫。新知探究参考答案①一②ax2+bx+c=0③方程是关于未知数的整式方程④方程只含有一个未知数⑤未知数的最高次数为2⑥ax2+bx+c=0⑦a≠0⑧二次项⑨二次项系数⑩一次项⑪一次项系数⑫常数项第二节一元二次方程的解法第一课时新知探究知识点1一元二次方程的根使一元二次方程等式成立的未知数的值叫做什么？【归纳概括】使一元二次方程等式成立的未知数的值叫做方程的解，也叫做一元二次方程方程的①.知识点2用直接开方法解一元二次方程形如（x+a）2=b的一元二次方程应该怎样解？【归纳概括】当b≥0时，x=②,当b<0时，③.知识点3用配方法解一元二次方程用配方法怎样解一元二次方程？【归纳概括】用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0的一般步骤：（1）化二次项系数为1：方程两边都除以④；（2）移项：使方程左边为⑤和⑥，右边为⑦；（3）配方：方程两边都加上一次项系数⑧，把原方程化为⑨的形式；（4）用直接开方法解变形后的方程.新知探究参考答案①根②③方程没有实数根④二次项系数⑤二次项⑥一次项⑦常数项⑧一次项系数一半的平方⑨（x+m）2=n第二课时新知探究知识点1用公式法解一元二次方程是否有一般性的公式表示一元二次方程的根？【归纳概括】用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化为①，确定②的值；（2）求出③的值，若④，则方程没有实数根；（3）若⑤，则x=⑥.知识点2用因式分解法解一元二次方程我们已经知道，如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个为0.我们是否能利用这个原理来解一元二次方程？【归纳概括】用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为⑦；（3）令每个因式分别为零，得到两个⑧；（4）解⑨，它们的解就是原方程的解.新知探究参考答案①一般形式②a、b、c③b2-4ac④b2-4ac＜0⑤b2-4ac≥0⑥⑦两个一次因式的乘积⑧一元二次方程⑨这两个一元一次方程第3节一元二次方程的根的判别式新知探究知识点一元二次方程根的判别式是否有什么方法在不解方程的情况下知道方程是否有解？【归纳概括】一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式为①.Δ与一元二次方程的根的关系：（1）②方程有两个不相等的实数根；（2）③方程有两个相等的实数根；（3）④方程没有实数根.新知探究参考答案①Δ=b2-4ac②Δ＞0③Δ=0④Δ＜0第4节一元二次方程的根与系数的关系新知探究知识点一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两根之和与两根之积用二次项系数表示出来是什么？【归纳概括】如果一元二次方程的两个根为x1、x2，那么x1+x2=①，x1x2=②.新知探究参考答案①②第5节一元二次方程的应用新知探究知识点一元二次方程的应用通过前面的学习，你知道列方程解应用题时有哪些基本步骤？列方程解决实际问题的关键是什么？【归纳概括】列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：完全系统地审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量及它们之间的①；设：就问题进行设元（未知数），有时设直接未知数，有时需设②；列：提取题意中的③，并用代数式表示，建立数学模型；解：准确解出方程的解；答：针对问题目标下结论.新知探究参考答案①等量关系②间接未知数③等量关系第三章图形的相似第一节比例线段第一课时新知探究知识点比例的性质比例的知识我们在小学就已经学过了，那么比例有什么性质呢？【归纳概括】（1）比例的基本性质：如果，那么ad=①;合比性质：如果，那么=②；等比性质：如果，那么③=④.新知探究参考答案①bc②③④k第二课时新知探究知识点线段的比我们已经学过了数与数的比，那么线段的比的意义是什么呢？【归纳概括】（1）如果选用同一长度单位量得两条线段AB与CD的长度分别是m、n，那么把长度的比①叫做这两条线段的比，记作②或AB：CD=③.（2）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做④.新知探究参考答案①②③m：n④成比例线段第三课时新知探究知识点黄金分割生活中有许多地方有着黄金分割比的存在，那么这个黄金分割比是怎样确定的呢？【归纳概括】把一条线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,如果①，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的②，AC和AB的比叫做③.其中④≈⑤.新知探究参考答案①②黄金分割点③黄金比④⑤0.618第二节平行线分线段成比例新知探究知识点平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，得到的线段之间有什么样的关系？【归纳概括】（1）两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段①；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段②；平行与三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段③。新知探究参考答案①也相等②成比例③成比例第三节相似的图形新知探究知识点1图形的相似请观察下列几幅图片，你能发现些什么？【归纳概括】把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形相似.相似图形只是图形的①相同，大小不一定相同.知识点2相似三角形三角形相似应该怎样定义？【归纳概括】（1）三个角对应②，三条边对应③的两个三角形叫做相似三角形.（2）相似三角形的对应边的比叫做④.知识点3相似多边形前面已经定义了相似三角形，相似多边形的定义是否可以类似地给出呢？【归纳概括】对于两个边数相同的多边形，如果他们的对应角⑤，对应边⑥，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比也叫做⑦.新知探究参考答案①形状②相等③成比例④相似比⑤相等⑥成比例⑦相似比第四节相似三角形的判定与性质第一课时新知探究知识点相似三角形判定定理1.前面学了平行线分线段成比例，那么是否可以利用平行线证明三角形相似呢？【归纳概括】①于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.2.除了利用平行线外，还能有什么方式证明三角形相似？【归纳概括】②对应相等的三角形相似.新知探究参考答案①平行②两角第2课时新知探究知识点相似三角形判定定理三角形全等的判定定理中有“边角边”，那么三角形相似的判定定理中是否有相似的结论呢？【归纳概括】①且②的两个三角形相似.新知探究参考答案①两边对应成比例②夹角相等第3课时新知探究知识点相似三角形判定定理三角形全等的判定定理中有“边边边”，那么三角形相似的判定定理中是否有相似的结论呢？【归纳概括】①的两个三角形相似.新知探究参考答案①三边对应成比例第4课时新知探究知识点相似三角形的性质两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些性质？【归纳概括】（1）相似三角形周长的比等于①，对应高的比等于②.（2）相似三角形面积的比等于③．新知探究参考答案①相似比②相似比③相似比的平方第五节相似三角形的应用新知探究知识点相似三角形的应用在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？【归纳概括】相似三角形的有关知识在实际中应用非常广泛，主要是运用“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”来计算那些不易直接测量的物体的高度（或宽度）等.方法一：利用阳光下的①（如测量旗杆的高度）；方法二：利用②（如测量古塔的高度）；方法三：利用镜子的③（如测量旗杆的高度）.新知探究参考答案①影子②标杆③反射第六节位似第1课时新知探究知识点1位似的定义如图，通过下面的方式得到的两个图形是相似的，这种相似有着什么特别吗？【归纳概括】一般地，如果一个图形G上的点A、B、C、...、P与另一个图形G’上的点A’、B’、C’、...、P’分别对应，且满足：（1）直线AA’、BB’、CC’、....PP’都①；（2）.那么称图形G与图形G’是②，这个点O叫作③，常数k叫作④.知识点2位似的性质位似作为一种特殊的相似，有着什么样的性质？【归纳概括】（1）成位似图形的两个图形相似，且相似比等于⑤；（2）两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在⑥，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于⑦.即对应点连线都经过⑧，到位似中心的距离之比等于⑨.新知探究参考答案①经过同一点O②位似图形③位似中心④位似比⑤位似比⑥一条直线上⑦位似比⑧位似中心⑨位似比第2课时新知探究知识点1位似的作用位似在几何中有着什么样的作用？【归纳概括】利用位似变换可以把一个图形放大或缩小.（1）当位似比k>1时，一个图形被①成原图形的②倍；（2）当位似比k<1时，一个图形被③成原图形的④倍.知识点2画位似图形的方法一个图形和位似中心，怎样画位似图形？【归纳概括】画位似图形的一般步骤为：确定⑤，注意位似中心可能在图形内部，也可能在⑥或⑦上；确定原图形的关键点，通常是多边形的⑧；确定位似比；根据位似比，找出新图形的对应⑨，最后将个点顺次连结.知识点3位似与平面直角坐标系的关系在平面直角坐标系中，位似图形的对应点都可以用坐标表示出来，这些坐标之间有没有什么关系？【归纳概括】（1）一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以⑩为位似中心的位似图形.（2）在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于⑪或⑫.新知探究参考答案①扩大②k③缩小④k⑤位似中心⑥图形外部⑦图形上⑧顶点⑨关键点⑩坐标原点⑪k⑫-k第四章锐角三角函数第一节正弦和余弦第一课时新知探究知识点正弦的定义及性质我们都知道在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，那么在其他直角三角形中，某一度数的角所对的直角边与斜边的比例是否相同呢？【归纳概括】在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫做角α的①，记作sinα，即sinα=②.新知探究参考答案①正弦②第二课时新知探究知识点余弦的定义及性质在直角三角形中，一个角α所对的直角边与斜边的比是定值，那么角α的邻边与斜边的比呢？【归纳概括】（1）在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比称作角α的①，记作cosα，即cosα=②.（2）由正弦和余弦的定义，我们可以知道cosα=sin(③)，sinα=cos(④).新知探究参考答案①余弦②③90°-α④90°-α第二节正切第一课时新知探究知识点1正切的定义前面已经讨论了直角三角形中，直角边与斜边之比，那么两条直角边之间的比应该怎样表示呢？【归纳概括】（1）在直角三角形中，我们把锐角α的对便于邻边的比称作角α的①正切，记作tanα，即tanα=②.（2）由正切的定义，我们可以得到正切与正弦、余弦的关系：tanα=.知识点2特殊角的正弦、余弦和正切值我们常用的三角板有两种，一种的锐角为30°和60°，另一种的锐角为45°，这几个角度的正弦、余弦和正切值是多少呢？30°45°60°Sinα③④⑤cosα⑥⑦⑧tanα⑨⑩⑪新知探究参考答案①正切②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩1⑪第二课时新知探究知识点锐角三角函数为什么我们称正弦、余弦和正切称为三角函数？【归纳概括】任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值sinα（或cosα，tanα）与它对应，并且当锐角α变化时，比值sinα（或cosα，tanα）也随之变化，因此我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的①.新知探究参考答案①锐角三角函数第三节解直角三角形新知探究知识点解直角三角形利用正弦、余弦、正切，我们可以将直角三角形中的角和边联系起来，那么我们只要知道3条边、2个锐角中的几个就能求出剩下的呢？【